代码随想录刷题day29

1、不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

感悟：通过举例推导，n=1，只有一颗二叉搜索树；n=2，有两颗；n=3，有5颗，且可以看出，是在n=2的前提上演变过来的。得出递归公式：dp $i$ += dp $以j为头结点左子树节点数量$ * dp $以j为头结点右子树节点数量$ ，即：dp $i$ += dp $j - 1$ * dp $i - j$ ;

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class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        //dp[1] = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

2、分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的非空数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

感悟：典型的0-1背包问题，数组元素的和是固定的，所以背包容量是sum/2，看是否有能刚好装满背包的元素。0-1背包问题的递推公式：dp $j$ = max(dp $j$ , dp $j - weight\[i$ ] + value $i$ )；当dp $target$ =target时，表示找到了能装满背包的元素。

注意：动态数组使用一维数组时，第二层循环需要倒序，不然可能会把某个元素放入多次；

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class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int target = 0;
        for(int n :nums){
            target += n;
        }
        if(target % 2 >0) return false;
        int m = target/2;
        int[] dp = new int[m+1];
        for(int i=0;i<nums.length-1;i++){
            for(int j=m;j>0 && j>=nums[i];j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        return dp[m] == m;
    }
}

3、最后一块石头的重量II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头 ，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；

如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

感悟：和上题类似，当两块石头尽可能接近时，可以获得最小的重量。

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class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        if(stones == null || stones.length == 0) return 0;
        int len = stones.length;
        int sum = 0;
        for(int n : stones){
            sum += n;
        }
        int m = sum/2;
        int[] dp = new int[m+1];
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=m;j>=stones[i];j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
            }
        }
        return sum-2*dp[m];
    }
}

4、目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

感悟：整个数组分成left、right两部分，left+right=sum,left-right=target，所以left = (sum+target)/2，又转化为0-1背包问题了。用二维数组时，能更清晰的推导出转移方程。

归纳总结如下：

不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp $i - 1$ $j$ 中方法。
放物品i：即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp $i - 1$ $j - 物品i容量$ 种方法。

本题中，物品i的容量是nums $i$ ，价值也是nums $i$ 。

递推公式：dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ + dp $i - 1$ $j - nums\[i$ ];

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class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum = 0;
        int len = nums.length;
        for(int n : nums){
            sum += n;
        }
        if((sum+target)%2 == 1) return 0;
        if((sum+target) < 0) return 0;
        int left = (sum+target)/2;
        int[] dp = new int[left+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i=0;i<len;i++){
            for(int j=left;j>=nums[i];j--){
                dp[j] += dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[left];
    }
}

5、一和零

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中最多有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的子集。

感悟：本题稍有点特殊，背包有两个维度，0和1分别是一个维度。递推公式：dp $i$ $j$ = max(dp $i$ $j$ , dp $i - zeroNum$ $j - oneNum$ + 1);

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class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        if(strs.length == 0) return 0;
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for(String s:strs){
            int zeroNum = 0,oneNum = 0;
            for(char c:s.toCharArray()){
                if(c == '0'){
                    zeroNum++;
                }else{
                    oneNum++;
                }
            }
            for(int i=m;i>=zeroNum;i--){
                for(int j=n;j>=oneNum;j--){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i-zeroNum][j-oneNum]+1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

总结：0-1背包问题，当递推公式不好直接看出来时，可以先尝试使用二维数组去推理。

0-1背包的递推公式推理过程抽象化如下：

不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp $i - 1$ $j$ 。
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight $i$ ，dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] 为背包容量为j - weight $i$ 且不放物品i的最大价值，那么dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);