龟兔赛跑算法(Floyd‘s Cycle-Finding Algorithm)寻找重复数

龟兔赛跑算法(Floyd's Cycle-Finding Algorithm)寻找重复数

问题描述

给定一个长度为 N+1 的数组 nums,其中每个元素的值都在 [1, N] 范围内。根据鸽巢原理,至少有一个数字是重复的。请找出这个重复的数字。

要求:

  • 时间复杂度 O(N)
  • 空间复杂度 O(1)(不能使用哈希表等额外存储)

算法思路(龟兔赛跑法)

我们可以将数组视为一个链表 ,其中 nums[i] 表示 i → nums[i] 的边。由于存在重复数字,这个链表必然存在一个,而环的入口就是重复的数字。

步骤:

  1. 快慢指针找相遇点(判断是否有环):

    • 慢指针 slow 每次走 1 步:slow = nums[slow]
    • 快指针 fast 每次走 2 步:fast = nums[nums[fast]]
    • 直到 slow == fast,说明两者在环内相遇。
  2. 找环的入口(即重复的数字)

    • fast 重置到起点 0
    • slowfast 都每次走 1 步,直到再次相遇,相遇点就是重复的数字。

代码实现

java 复制代码
public int findDuplicate(int[] nums) {
    int slow = 0;
    int fast = 0;

    // 第一阶段:快慢指针找相遇点
    do {
        slow = nums[slow];          // 慢指针走 1 步
        fast = nums[nums[fast]];     // 快指针走 2 步
    } while (slow != fast);

    // 第二阶段:找环的入口(重复数字)
    fast = 0;
    while (slow != fast) {
        slow = nums[slow];
        fast = nums[fast];
    }

    return slow;  // 或 fast,此时它们相等
}

为什么这个算法有效?

  1. 第一阶段(找相遇点)

    • 假设环的长度为 L,环外长度为 F
    • slow 进入环时,fast 已经在环内,且距离 slowd0 ≤ d < L)。
    • 由于 fast 每次比 slow 多走 1 步,它们会在 L - d 步后相遇。
  2. 第二阶段(找环入口)

    • slowfast 在环内相遇时,slow 走了 F + a 步(a 是环内走的步数)。
    • fast 走了 F + a + kL 步(k 是整数,因为 fast 可能绕环多圈)。
    • 由于 fast 速度是 slow2 倍:

      2(F + a) = F + a + kL \\implies F + a = kL \\implies F = kL - a

    • 这意味着,从起点走 F 步,刚好到达环的入口(即重复数字)。

示例

输入: nums = [1, 3, 4, 2, 2]
步骤:

  1. 第一阶段
    • slow = 0 → 1 → 3 → 2 → 4 → 2 → 4 → ...
    • fast = 0 → 1 → 3 → 2 → 4 → 2 → 4 → ...
    • 它们在 24 相遇(具体取决于实现)。
  2. 第二阶段
    • fast 重置到 0,然后 slowfast 都每次走 1 步:
      • fast = 0 → 1 → 3 → 2
      • slow = 4 → 2
    • 它们在 2 相遇,因此 2 是重复数字。

复杂度分析

  • 时间复杂度O(N)(最多遍历 2N 次)。
  • 空间复杂度O(1)(仅用两个指针)。

总结

龟兔赛跑算法是一种高效的链表环检测方法,适用于:

  • 检测链表是否有环。
  • 找出数组中的重复数字(数组值在 [1, N] 范围内)。
  • 不修改原数组,且满足 O(1) 额外空间。
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