数据结构 二叉树理论、递归理论与快速排序理论 6.19

前言

由于今天的理论内容及其之多，加上自己希望早点睡觉，所以今天的博客将主要讲述理论，具体的代码实现会放在明天的博客中。

概述

1.手写笔记

2.数据结构与算法理论

1.手写笔记

2.数据结构与算法理论​

​1. 树与递归算法​

• 树的定义
  树是一种递归定义的数据结构（max递归深度为4），由多个子树或森林组成。
• 树的结构
  • 可由多个数组或森林表示
  • 核心操作基于递归实现

​2. 二叉树​

• ​性质​

  • 第 n 层最多有 2^(n-1) 个节点
  • 完全二叉树的节点排列遵循特定规则

• ​二叉树的类型​

  类型	说明
  满二叉树	所有层节点数均达最大值
  完全二叉树	除最后一层外完全填充，最后一层从左向右填充

• ​遍历方法​

  前序遍历：根 → 左 → 右  (ABDEC)
  中序遍历：左 → 根 → 右  (DEEAC)
  后序遍历：左 → 右 → 根  (DEECA)
  层次遍历：自上而下逐层遍历

• ​创建代码​

  typedef struct tree_node {
      char data;
      struct tree_node* lchild;
      struct tree_node* rchild;
  } tree_node, *tree_p;
  
  tree_p create_tree() {
      char data;
      scanf("%c", &data);
      if(data == '#') return NULL;
      tree_p T = create_node(data);
      T->lchild = create_tree();
      T->rchild = create_tree();
      return T;
  }

​3. 递归原理​

// 基础形式
f(0) = C;
if(终止条件) return C;
f(n) = F[f(n-1)];
return F[f(n-1)];

• ​实现要点​

  void func(...) {
      if(终止条件) return;
      // 执行体
      func(参数); // 递归调用
  }

​4. 核心算法实现​

• ​折半查找（二分查找）​​

  while (end > start) {
      int mid = (start + end) / 2;
      if(arr[mid] > key) end = mid - 1;
      else if(arr[mid] < key) start = mid + 1;
      else return mid; // 找到目标
  }

• ​快速排序​

  // 分区函数
  int partition(int* arr, int low, int high) {
      int base = arr[low];
      int left = low + 1, right = high;
      while(left <= right) {
          while(left <= right && arr[left] <= base) left++;
          while(left <= right && arr[right] > base) right--;
          if(left < right) swap(&arr[left], &arr[right]);
      }
      swap(&arr[low], &arr[right]);
      return right;
  }
  
  // 主函数
  void quicksort(int* arr, int low, int high) {
      if(low >= high) return;
      int mid = partition(arr, low, high);
      quicksort(arr, low, mid - 1);
      quicksort(arr, mid + 1, high);
  }

• ​插入排序​

  void insert_sort(int* arr, int len) {
      for(int i = 1; i < len; i++) {
          int temp = arr[i];
          int j = i;
          while(j > 0 && arr[j-1] > temp) {
              arr[j] = arr[j-1];
              j--;
          }
          arr[j] = temp;
      }
  }

​5. 理论基础​

• ​算法定义​

  "算法 = 数据结构 + 计算方法"

  程序 = 数据结构 + 算法

• ​时间复杂度​

  T(n) = O(f(n))  
  常见复杂度：  
  • O(1)   常数阶  
  • O(n)   线性阶  
  • O(n²)  平方阶  
  • O(nk)  多项式阶

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​图示说明​

1. 树形结构示意图（含A/B/C节点关系）
2. 二叉树遍历路径示意图
3. 递归调用栈示意图

​注意事项​

• 遍历本质："第几次访问"决定了遍历类型
• 二叉树本质是"度为2的树"
• 深度优先遍历包含前/中/后序遍历
• 层次遍历即广度优先遍历

结语

快速排序较为复杂，需要一定的逻辑能力。