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03. 山峰观测站数据分析
问题描述
LYA是一名地理数据分析师，负责分析山峰观测站收集的海拔高度数据。观测站在一条直线上设置了 m m m 个测量点，按顺序测量得到了海拔高度序列。
LYA需要找出所有满足"山峰特征"的连续区间。一个区间具有山峰特征需要满足：
- 区间内的海拔高度先呈现单调非递减趋势（即对于任意 i ≤ j ≤ k i \leq j \leq k i≤j≤k，有 h e i g h t [ i ] ≤ h e i g h t [ j ] height[i] \leq height[j] height[i]≤height[j]）
- 然后呈现单调非递增趋势（即对于任意 k ≤ p ≤ q k \leq p \leq q k≤p≤q，有 h e i g h t [ p ] ≥ h e i g h t [ q ] height[p] \geq height[q] height[p]≥height[q]）
- 允许相邻测量点有相同的海拔高度
在所有满足山峰特征的区间中，LYA想要找到海拔高度最大值与最小值差值最大的区间，并返回这个最大差值。
输入格式
第一行包含一个正整数 m m m，表示测量点的数量。
第二行包含 m m m 个非负整数，用空格分隔，表示各测量点的海拔高度。
输出格式
输出一个整数，表示所有山峰特征区间中海拔高度最大差值。
样例输入
8
1 2 3 5 4 4 8 1
5
15 15 15 15 15
6
3 8 12 10 6 9样例输出
7
0
9数据范围
- 1 ≤ m ≤ 1000 1 \leq m \leq 1000 1≤m≤1000
- 0 ≤ h e i g h t [ i ] ≤ 1 0 6 0 \leq height[i] \leq 10^6 0≤height[i]≤106
| 样例 | 解释说明 |
|---|---|
| 样例1 | 存在区间[1,2,3,5,4,4]和[4,8,1]都满足山峰特征，其中[4,8,1]的差值最大为8-1=7 |
| 样例2 | 整个数组都满足山峰特征（所有值相等），海拔差值为15-15=0 |
| 样例3 | 区间[3,8,12,10,6]满足山峰特征，最大差值为12-3=9 |
题解
这道题的关键在于理解山峰特征的定义，然后高效地找出所有满足条件的区间。
核心思路：
与其枚举所有可能的区间（这样会超时），不如换个思路：将每个位置都当作可能的"山峰顶点"，然后向左右扩展找到最大的满足条件的区间。
算法步骤：
- 预处理左边界： 对于每个位置 i i i，计算从 i i i 向左能扩展到的最远位置 l e f t [ i ] left[i] left[i]，使得这段区间满足单调非递减
- 预处理右边界： 对于每个位置 i i i，计算从 i i i 向右能扩展到的最远位置 r i g h t [ i ] right[i] right[i]，使得这段区间满足单调非递增
- 计算答案： 对于每个位置 i i i 作为峰顶，区间 [ l e f t [ i ] , r i g h t [ i ] ] [left[i], right[i]] [left[i],right[i]] 就是一个满足条件的山峰区间
- 区间的最大值就是 h e i g h t [ i ] height[i] height[i]（峰顶）
- 区间的最小值只能出现在两端，即 min ( h e i g h t [ l e f t [ i ] ] , h e i g h t [ r i g h t [ i ] ] ) \min(height[left[i]], height[right[i]]) min(height[left[i]],height[right[i]])
- 差值为 h e i g h t [ i ] − min ( h e i g h t [ l e f t [ i ] ] , h e i g h t [ r i g h t [ i ] ] ) height[i] - \min(height[left[i]], height[right[i]]) height[i]−min(height[left[i]],height[right[i]])
为什么这样是对的？
- 任何满足山峰特征的区间都必然有一个峰顶位置
- 通过预处理，我们能快速找到以任意位置为峰顶的最大山峰区间
- 这样可以保证不遗漏任何可能的区间，同时避免重复计算
时间复杂度： O ( m ) O(m) O(m)
空间复杂度： O ( m ) O(m) O(m)
参考代码
- Python
python
import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()
# 读取输入数据
m = int(input())
if m == 0:
print(0)
exit()
heights = list(map(int, input().split()))
# 预处理每个位置向左的边界
left_bound = [0] * m
left_bound[0] = 0
for i in range(1, m):
if heights[i-1] <= heights[i]: # 满足非递减条件
left_bound[i] = left_bound[i-1] # 继续向左扩展
else:
left_bound[i] = i # 无法扩展，边界就是自己
# 预处理每个位置向右的边界
right_bound = [0] * m
right_bound[m-1] = m-1
for i in range(m-2, -1, -1):
if heights[i] >= heights[i+1]: # 满足非递增条件
right_bound[i] = right_bound[i+1] # 继续向右扩展
else:
right_bound[i] = i # 无法扩展，边界就是自己
# 计算最大差值
max_diff = 0
for i in range(m):
# 以位置i为峰顶的山峰区间
peak_val = heights[i] # 峰顶值（最大值）
min_val = min(heights[left_bound[i]], heights[right_bound[i]]) # 最小值在两端
curr_diff = peak_val - min_val
max_diff = max(max_diff, curr_diff)
print(max_diff)- Cpp
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
int m;
cin >> m;
if (m == 0) {
cout << 0 << endl;
return 0;
}
vector<int> h(m); // 海拔高度数组
for (int i = 0; i < m; i++) {
cin >> h[i];
}
// 预处理左边界数组
vector<int> left(m);
left[0] = 0;
for (int i = 1; i < m; i++) {
if (h[i-1] <= h[i]) {
left[i] = left[i-1]; // 向左扩展
} else {
left[i] = i; // 边界为当前位置
}
}
// 预处理右边界数组
vector<int> right(m);
right[m-1] = m-1;
for (int i = m-2; i >= 0; i--) {
if (h[i] >= h[i+1]) {
right[i] = right[i+1]; // 向右扩展
} else {
right[i] = i; // 边界为当前位置
}
}
// 计算最大差值
int result = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int peak = h[i]; // 峰顶高度
int valley = min(h[left[i]], h[right[i]]); // 两端最小值
result = max(result, peak - valley);
}
cout << result << endl;
return 0;
}- Java
java
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException {
BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
int m = Integer.parseInt(br.readLine());
if (m == 0) {
System.out.println(0);
return;
}
String[] heightStrs = br.readLine().split(" ");
int[] heights = new int[m];
for (int i = 0; i < m; i++) {
heights[i] = Integer.parseInt(heightStrs[i]);
}
// 计算每个位置的左边界
int[] leftBound = new int[m];
leftBound[0] = 0;
for (int i = 1; i < m; i++) {
if (heights[i-1] <= heights[i]) {
leftBound[i] = leftBound[i-1]; // 继续向左扩展
} else {
leftBound[i] = i; // 边界为当前位置
}
}
// 计算每个位置的右边界
int[] rightBound = new int[m];
rightBound[m-1] = m-1;
for (int i = m-2; i >= 0; i--) {
if (heights[i] >= heights[i+1]) {
rightBound[i] = rightBound[i+1]; // 继续向右扩展
} else {
rightBound[i] = i; // 边界为当前位置
}
}
// 计算最大差值
int maxDiff = 0;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int peakHeight = heights[i]; // 峰顶高度
int minHeight = Math.min(heights[leftBound[i]], heights[rightBound[i]]); // 两端最小值
maxDiff = Math.max(maxDiff, peakHeight - minHeight);
}
System.out.println(maxDiff);
}
}