关于二进制的规律

关于二进制的规律

打完第二周的牛客萌新联赛出现了这个的板子，于是趁着机会对二进制的规律进行总结。可以和下一篇的B题结合着看，本篇也是为了让下一篇不显得太过冗余

规律总结

二进制的每一位都遵循固定周期，低位周期短，高位周期长，且呈倍数关系。通过 0-15 的二进制直观感受：

十进制	二进制	第 0 位（个位）	第 1 位（2 位）	第 2 位（4 位）	第 3 位（8 位）
0	0000	0	0	0	0
1	0001	1	0	0	0
2	0010	0	1	0	0
3	0011	1	1	0	0
4	0100	0	0	1	0
5	0101	1	0	1	0
6	0110	0	1	1	0
7	0111	1	1	1	0
8	1000	0	0	0	1
9	1001	1	0	0	1
10	1010	0	1	0	1
11	1011	1	1	0	1
12	1100	0	0	1	1
13	1101	1	0	1	1
14	1110	0	1	1	1
15	1111	1	1	1	1

通过枚举我们可以比较直观的看到下面的规律：

1. 第 k 位的周期是 2^(k+1)
   • 第 0 位（1 位）：周期 2（0→1 交替）
   • 第 1 位（2 位）：周期 4（0→0→1→1 重复）
   • 第 2 位（4 位）：周期 8（0→0→0→0→1→1→1→1 重复）
   • 以此类推，高位周期是低位的 2 倍。
2. 周期内的规律
   每个周期中，前半段（2^k 个数）该位为 0，后半段（2^k 个数）为 1。

二进制位的变化具有周期性 。以第 k 位为例：

• 周期长度为 2^(k+1)。
• 在每个周期内，前 2^k 个数的第 k 位为 0 ，后 2^k 个数的第 k 位为 1。

例如：

• 当 k=0（最低位）时，周期长度为 2^1=2，序列为 0,1,0,1,0,1,...。
• 当 k=1（次低位）时，周期长度为 2^2=4，序列为 0,0,1,1,0,0,1,1,...。
• 当 k=2（第三位）时，周期长度为 2^3=8，序列为 0,0,0,0,1,1,1,1,...。

有了上面的介绍，相信应该对二进制的规律有了直观的感受，下面有两道相关的题目。

小蓝的二进制询问

来源：D-小蓝的二进制询问_河南萌新联赛2024第（一）场：河南农业大学

思路

本题就是利用此规律求解的纯板子题

先求周期，再求余下的部分。最后将周期内的1和余下的1全部相加求解。将原来的O(n)优化到了O(60)

代码

int count(int k, int x)
{
	int t=1LL<<(k+1);//计算周期
	int full=(x+1)/t;//整周期的个数
	int re=x+1-t*full;//计算余下个数
	return (t*full/2+max(0LL, re-t/2))%mod;
	//整周期中1的个数+剩余一段1的个数
	//例如k=2:周期为0,0,0,0,1,1,1,1·····
	//周期为8,可以观察到一个周期内前一半为0,后一半为1根据此规律进行计算
}
void solve()
{
	cin >> l >> r;
	int ans=0;
	for(int k=0; k<=60; k++)//注意：别开大了，不然超long long了
	{
		ans+=count(k,r)-count(k,l-1);//将区间内在k位上1的个数相加
		ans%=mod;
	}
	cout << ans << endl;
}

累加器

来源：F-累加器_河南萌新联赛2024第（三）场：河南大学

思路

这题虽然问法变了，从问统计1的个数变成了会变化多少次，其实本质都是围绕着二进制的规律展开的。

一个周期有相同个数的0和1，那么一个周期就可以分成两半。那么变化周期就是原周期的两倍。每个变化周期就会变一次，利用此规律就能很容易解决

代码

// 计算第k位在累加过程中翻转的次数
int count(int k)
{
    if(k == 0) return y; // 最低位每次加1必翻转，共y次
    int t = 1LL << k; //变化周期为2^k
    int cnt1 = r / t; //0~r变化次数
    int cnt2 = l / t; //0~l变化次数
    return cnt1 - cnt2;    // 区间[l, r]内的翻转次数
}

void solve()
{
    cin >> x >> y;
    l = x;
    r = x + y;
    int ans = 0;
    for(int k = 0; k <= 31; k++)
        ans += count(k);

    cout << ans << endl;
}

好了，本篇就到此结束。下一篇的B题也是此类型，敬请期待···