纳什均衡第二部分
性别之战------回顾
背景：
Alice 和 Bob 这两位玩家是朋友，他们想见面喝杯咖啡。Alice 喜欢去 Costa，Bob 更喜欢去星巴克，但最重要的是，对他们来说最重要的是去同一个地方，这样他们才能真正见面。
存在纯纳什均衡
Best response 法
得到两个纯纳什均衡。
存在混合纳什均衡
对于Alice：
EU B C = EU B S σ A C ( 1 ) + ( 1 − σ A C ) ( 0 ) = σ A C ( 0 ) + ( 1 − σ A C ) ( 3 ) σ A C = 3 − 3 σ A C 4 σ A C = 3 σ A C = 3 4 \begin{aligned} \text{EU}{BC} &= \text{EU}{BS} \\ \sigma_{AC}(1) + (1 - \sigma_{AC})(0) &= \sigma_{AC}(0) + (1 - \sigma_{AC})(3) \\ \sigma_{AC} &= 3 - 3\sigma_{AC} \\ 4\sigma_{AC}&=3 \\ \sigma_{AC} &= \frac{3}{4} \end{aligned} EUBCσAC(1)+(1−σAC)(0)σAC4σACσAC=EUBS=σAC(0)+(1−σAC)(3)=3−3σAC=3=43
Alice的混合策略是（3/4 ，1/4）
对于Bob：
EU A C = EU A S σ B C ( 3 ) + ( 1 − σ B C ) ( 0 ) = σ B C ( 0 ) + ( 1 − σ B C ) ( 1 ) 3 σ B C = 1 − σ B C 4 σ B C = 1 σ B C = 1 4 \begin{aligned} \text{EU}{AC} &= \text{EU}{AS} \\ \sigma_{BC}(3) + (1 - \sigma_{BC})(0) &= \sigma_{BC}(0) + (1 - \sigma_{BC})(1) \\ 3\sigma_{BC} &= 1 - \sigma_{BC} \\ 4\sigma_{BC}&=1 \\ \sigma_{BC} &= \frac{1}{4} \end{aligned} EUACσBC(3)+(1−σBC)(0)3σBC4σBCσBC=EUAS=σBC(0)+(1−σBC)(1)=1−σBC=1=41
Bob的混合策略是（1/4 ，3/4）
总结
混合策略的求法：设定自己的概率，让对方无差别，用对方的payoff×自己的概率，并相等。
一个博弈是否可以同时存在纯纳什均衡和混合纳什均衡？
是的，可以同时存在。
许多博弈（如"性别之战"）既有纯策略纳什均衡，也有混合策略纳什均衡。
一个博弈是否一定存在至少一种纳什均衡？
是的，每个有限博弈（有限个玩家 + 有限个策略）根据纳什定理（Nash's Theorem），至少存在一个纳什均衡（可能是纯的，也可能是混合的）
payoffs收益求法
计算方法：
- 求出每个玩家的混合纳什策略概率；
- 相乘，求出每个事件发生的概率；
- 每个事件发生的概率乘以这个事件发生对这个玩家的payoff影响。相加求和。
性别之战
相乘，求事件概率
对于玩家1,
P a y o f f 1 = 1 ∗ 2 / 9 + 0 ∗ 1 / 9 + 0 ∗ 4 / 9 + 2 ∗ 2 / 9 = 5 / 9 Payoff_1 = 1 * 2/9 + 0 * 1/9 + 0 * 4/9 + 2 * 2/9 = 5/9 Payoff1=1∗2/9+0∗1/9+0∗4/9+2∗2/9=5/9
对于玩家2，
P a y o f f 2 = 2 ∗ 2 / 9 + 0 ∗ 1 / 9 + 0 ∗ 4 / 9 + 1 ∗ 2 / 9 = 2 / 3 Payoff_2 = 2 * 2/9 + 0 * 1/9 + 0 * 4/9 + 1 * 2/9 = 2/3 Payoff2=2∗2/9+0∗1/9+0∗4/9+1∗2/9=2/3