今日总结
1、动态规划的五部曲要复习
2、动态规划的dp数组的含义及下标一定要定义清楚
3、动态规划的dp数组的递推公式一定要根据题目进行分析
4、动态规划的初始化一定要分析清楚(一定要在递推公式确定后再进行初始化分析)
动态规划的基础理论
1、动态规划是什么
动态规划的英文：Dynamic Programming，简称DP，**如果某一个问题有很多的重叠子问题，**使用动态规划是最有效的，
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分与贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选择最优
2、动态规划的解题步骤
状态转移公式（递推公式）很重要，但是动态规划不仅仅只有递推公式
动态规划的五部曲
（1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义
（2）确定递推公式
（3）dp数组如何初始化
（4）确定遍历顺序
（5）举例推导dp数组
先确定递推公式再考虑初始化的原因：
一些情况是递推公式决定dp数组如何初始化
3、动态规划如何debug
最好的方式就是把dp数组打印出来，看看是不是按照自己思路推导的
（1）做动态规划的题目，写代码前一定要把状态转移在dp数组上的具体情况模拟一遍，做到心中有数，确定最后推出的是想要的结果
（2）然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的一样。
（3）如果打印的dp数组和自己推导的一样，就是自己的递归公式、初始化、遍历顺序有问题
（4）如果和自己预先模拟推导的不一，就是代码的实现细节有问题
斐波那契数
题目链接：509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）
整体思路：
1、使用递归的方式做
2、使用动态规划dp做
dp五部曲
（1）确定dp数组及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值为dp[i];
（2）确定递推公式(就是当前的dp值与前边的有什么关系)
状态转移方程dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
（3）qp数组初始化
dp[0]=0,dp[1]=1;
（4）确定遍历顺序
从状态转移方程可以看出当前dp[i]依赖于i-1,i-2，所以是从前往后遍历
（5）举例推导dp数组
当N=10：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
整体代码：
1、递归
cppclass Solution { public: //1、确定递归的返回值、输入值 //返回值当前的计算结果 //输入值：当前的N int digui(int N) { //确定停止条件 if(N==1)return 1; else if(N==0)return 0; //确定单层递归逻辑 return digui(N-1)+digui(N-2); } int fib(int n) { return digui(n); } };2、动态规划（dp）
cppclass Solution { public: int fib(int n) { //1、确定dp数组及下标含义：下标为当前的斐波那契数值 vector<int>dp(n+1,0); //2、确定递推公式dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2] //3、dp数组初始化 if(n<1)return 0; dp[0]=0; dp[1]=1; if(n<=1)return n; //4、确定遍历顺序：前-->后 //5、举例推导 for(int i=2;i<n+1;i++) { dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]; } return dp[n]; } };
爬楼梯
整体思路：
第一层楼梯：1
第二层楼梯：1+1；2
第三层楼梯：1+1+1（2，1，1）；2+1（2，2，1）；1+2（1，1，2）
第四层楼梯：1+1+1+1(3,1,1);2+1+1(3,2,1);1+2+1(3,3,1);1+1+2(2,1,2);2+2(2,2,2)
可以看出，当前i层的楼梯是通过i-1层的楼梯+1或者i-2层的楼梯+2的全部方法，所以当前层是与前边层的状态有关的，可以使用动态规划dp
（1）确定dp数组及下标
dp数组是当前楼梯的方法数，下标是当前楼梯的层数+1
（2）确定dp数组的递推公式
dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]
（3）确定dp数组的初始化
dp[1]=1.dp[2]=2
（4）确定dp数组遍历方向：从前往后
（5）举例
整体代码：
cppclass Solution { public: int climbStairs(int n) { //（1）确定dp数组及下标 //dp数组是当前楼梯的方法数，下标是当前楼梯的层数 vector<int>dp(n+1,0); if(n==1)return 1; //（2）确定dp数组的递推公式 // dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2] //（3）确定dp数组的初始化 //dp[1]=1.dp[2]=2 dp[1]=1; dp[2]=2; for(int i=3;i<n+1;i++) { dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]; } //（4）确定dp数组遍历方向：从前往后 return dp[n]; //（5）举例 } };使用最小花费爬楼梯
题目链接：746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）
整体思路：
由题目可知：
（1）可以从0级台阶、1级台阶进行向上爬1级或者两级，支付当前台阶的cost
（2）最终到达楼梯顶，也就是需要通过最后一级台阶或者倒二台阶
（3）需要花费最少的cost，
（4）所以当前层最少一定是前边花费的最小-->动态规划
使用dp动态规划
（1）dp数组的含义：dp[i]表示当前层花费最少的cost
（2）dp数组的状态转移方程
dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
（3）dp数组的初始化
dp[0]=cost[0];
dp[1] =cost[1];
（4）dp数组的遍历方式：从前到后
（5）举例
整体代码：
cppclass Solution { public: int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) { /* （1）dp数组的含义：dp[i]表示当前层花费最少的cost （2）dp数组的状态转移方程 dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]) （3）dp数组的初始化 dp[0]=cost[0]; dp[1] =cost[1]; （4）dp数组的遍历方式：从前到后 */ vector<int>dp(cost.size()+1); dp[0] = 0; dp[1] = 0; for(int i=2;i<cost.size()+1;i++) { dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]); } return dp[cost.size()]; } };