图论-最短路 Bellman-Ford算法

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Bellman-Ford算法
- SPFA优化
- 路径记录与传输

Bellman-Ford算法

此算法是基于松弛操作 的单源最短路算法。

e[u]存u点的出边的邻边和边权，d[u]存u点到源点的距离。

1.初始化，d[s]=0,d[其他点]=INT_MAX。
2.执行多轮循环，对所有边都尝试进行一次松弛操作。
3.当一轮中没有成功的松弛操作时，算法停止。

如图，3为源点

代码展示

cpp 复制代码

struct edug{
	int v,w;
}; 
vector<edge>e[N];
int d[N];
bool Bellman-Ford(int s)
{
	//把所有点到源点的距离初始为无穷大
	memset(d,0x3f3f3f,sizeof d);
	d[s]=0;//源点到自身的距离为0
	bool f;//标记是否有松弛操作
	for(int i=1;i<=n;i++)//n轮操作 
	{
		f=false;
		for(int u=1;u<=n;u++)//n个点 
		{
			if(d[u]==0x3f3f3f)continue;
			for(auto x:ed[u])//遍历u的出边 
			{
				int v=x.v,w=x.w;
				if(d[u]+w<d[v])
				{
					d[v]=d[u]+w;
					f=true;
				}
			}
		}
		if(!f)break;//没有得到更新就退出 
	 } 
	 return f;//第n轮=true则有环 
}

int main()
{
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		cin>>a>>b>>c;
		e[a].push_back({b,c});
	}
	return 0;
 }

优点：

可以正确处理负边权 。

可以判负环，如果n轮循环后仍存在能松弛的边，则说明存在负环。

时间复杂度:O(nm)

SPFA优化

我们可以想到只有本轮被更新的点，其出边才有可能引起下一轮的松弛操作，因此用队列来维护被更新的点的集合。

vis[u]标记u点是否在队内，cnt[v]记录边数，判负环。

1.初始化，s入队，并标记s在队内，d[s]=0,d[其他点]=INT_MAX
2.从队头弹出u点，标记u不在队内
3.枚举u的所有出边，执行松弛操作 ，记录s到v的边数，并判负环。如果v不在队内则把v 压入队尾，并标记
重复2，3操作，直到队列为空。

代码展示

cpp 复制代码

struct edug{
	int v,w;
}; 
vector<edge>e[N];
int d[N];
queue<int>q;
bool spfa(int s)
{
	memset(d,0x3f3f3f,sizeof d);
	d[s]=0,vis[s]=1;
	q.push(s);
	while(q.size())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		vis[u]=0;
		for(auto x:e[u])
		{
			int v=x.v,w=x.w;
			if(d[u]+w<d[v])
			{
				d[v]=d[u]+w;
				cnt[v]=cnt[u]+1;
				if(cnt[v]>=n)
				return true;
				if(!vis[v])q.push(v),vis[v]=1;
			}
		}
	}
	return false;
}

路径记录与传输

cpp 复制代码

void dfs_path(int u)
{
	if(u==1)
	{
		cout<<u<<" ";
		return ;
	}
	dfs_path(pre[u]);
	cout<<u<<" ";
}