BD202402跑步 线性求逆元 素数筛 数学

思路

参考 橙之夏 小码_205886 题解

• 设整个过程用时t，第i个人跑 t i t\over i it圈
• 每个人在整数倍时回到起点，即 t = l c m ( 1 , . . . , n ) = l t=lcm(1,...,n)=l t=lcm(1,...,n)=l时
• 假设 i < j i<j i<j，两个人差了 t i − t j {t\over i}-{t\over j} it−jt圈，也是相遇的次数

快的人相对于慢的人的速度为 v 1 − v 2 v_1 - v_2 v1−v2，相对路程为 ( v 1 − v 2 ) t (v_1 - v_2)t (v1−v2)t。

每相遇一次，相对路程增加 L L L（1 圈），因此相遇次数为 ( v 1 − v 2 ) t L = v 1 t L − v 2 t L = a − b \frac{(v_1 - v_2)t}{L} = \frac{v_1 t}{L} - \frac{v_2 t}{L} = a - b L(v1−v2)t=Lv1t−Lv2t=a−b。

• 总招呼数 ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n ( l i − l j ) \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n({l\over i}-{l\over j}) ∑i=1n∑j=i+1n(il−jl)
• 公式化简
  

1 i 1\over i i1使用线性求逆元

void init(int n){//求线性逆元
	//递推法
    inv[1]=1;
    forr(i,2,n){
        inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;
    }

    //利用阶乘求
	// fact[0]=1;
	// forr(i,1,n)fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%M;
	// ifac[n]=qpow(fact[n]);
	// reforr(i,0,n-1)ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%M;
	// forr(i,1,n)inv[i]=1LL*fact[i-1]*ifac[i]%M;
}

递推法推导

模m意义下， i > 1 i>1 i>1时，设 m / i = k . . . . . . r , k ⋅ i + r ≡ 0 ( m o d m ) m/i=k......r,k\cdot i+r\equiv 0(mod\ m) m/i=k......r,k⋅i+r≡0(mod m)

• 两边乘 i − 1 r − 1 , k ⋅ r − 1 + i − 1 ≡ 0 ( m o d m ) i^{-1}r^{-1},k\cdot r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\ m) i−1r−1,k⋅r−1+i−1≡0(mod m)
• 移项 i − 1 ≡ − k ⋅ r − 1 ( m o d m ) i − 1 ≡ ( m − m i ) ⋅ r − 1 ( m o d m ) i^{-1}\equiv -k\cdot r^{-1}(mod\ m) \\i^{-1}\equiv (m-{m\over i}) \cdot r^{-1}(mod\ m) i−1≡−k⋅r−1(mod m)i−1≡(m−im)⋅r−1(mod m)

质因子分解求lcm

//p[]是素数数组
int L=1;
forr(i,0,p.size()-1){//LCM(1,...,n)
	int c=0,tp=1;
	while (tp*p[i]<=n)tp*=p[i],c++;
	L=1LL*L*qpow(p[i],c)%M;
}

代码

const int N=1e7+10,M=998244353;
int fact[N],ifac[N],vis[N],inv[N];
vector<int>p;
//不会就学
int qpow(int x,int p=M-2,int mul=1)
{
	for (;p;p>>=1,x=1LL*x*x%M) if (p&1) mul=1LL*mul*x%M; return mul;
}
void init(int n){//求线性逆元
    inv[1]=1;
    forr(i,2,n){
        inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;
    }

    //利用阶乘求
	// fact[0]=1;
	// forr(i,1,n)fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%M;
	// ifac[n]=qpow(fact[n]);
	// reforr(i,0,n-1)ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%M;
	// forr(i,1,n)inv[i]=1LL*fact[i-1]*ifac[i]%M;
}
void pfind(int n){
	vis[1]=vis[0]=1;
	forr(i,2,n){
		if(!vis[i]){
			p.push_back(i);
		}
		if(!p.empty())for(auto j:p){
			if(i*j>n)break;
			vis[i*j]=1;
			if(i%j==0)break;
		}
	}
}
void solve(){
	int n;cin>>n;
	init(n);
	int ans=0;
	forr(i,1,n){//(n-2i+1)*1/i
		// ans+=1LL*((n-2*i+1+M)%M)*inv[i]%M;//运算顺序错误 应该先乘再取模
		(ans+=1LL*inv[i]*(n-2*i+1+M)%M)%=M;
	}
	pfind(n);
	int L=1;
	forr(i,0,p.size()-1){//LCM(1,...,n)
		int c=0,tp=1;
		while (tp*p[i]<=n)tp*=p[i],c++;
		L=1LL*L*qpow(p[i],c)%M;
	}
	cout<<1LL*L*ans%M<<endl;

}