人工智能-python-机器学习-线性回归与梯度下降：理论与实践

文章目录

• 线性回归与梯度下降：理论与实践
• • [1. 引言](#1. 引言)
  • [2. 回归分析](#2. 回归分析)
  • • [2.1 什么是回归？](#2.1 什么是回归？)
    • [2.2 线性回归](#2.2 线性回归)
    • [2.3 损失函数](#2.3 损失函数)
    • [2.4 多参数回归](#2.4 多参数回归)
  • [3. 参数求解：最小二乘法](#3. 参数求解：最小二乘法)
  • • [3.1 最小二乘法 MSE](#3.1 最小二乘法 MSE)
    • [3.2 最小二乘法的优缺点](#3.2 最小二乘法的优缺点)
    • • 优点：
      • 缺点：
  • [4. 梯度下降](#4. 梯度下降)
  • • [4.1 梯度下降概念](#4.1 梯度下降概念)
    • [4.2 梯度下降步骤](#4.2 梯度下降步骤)
    • [4.3 梯度下降公式](#4.3 梯度下降公式)
    • [4.4 学习率](#4.4 学习率)
    • [4.5 自己实现梯度下降](#4.5 自己实现梯度下降)
    • [4.6 梯度下降的变种](#4.6 梯度下降的变种)
    • • BGD（批量梯度下降）
      • SGD（随机梯度下降）
      • MBGD（小批量梯度下降）
    • [4.7 梯度下降优化](#4.7 梯度下降优化)
  • [5. 使用场景](#5. 使用场景)
  • [6. 优缺点](#6. 优缺点)
  • • [6.1 线性回归](#6.1 线性回归)
    • • 优点：
      • 缺点：
    • [6.2 梯度下降](#6.2 梯度下降)
    • • 优点：
      • 缺点：
  • [7. 总结](#7. 总结)

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线性回归与梯度下降：理论与实践

1. 引言

回归分析是一种常用的统计方法，用于建立一个因变量与一个或多个自变量之间的关系模型。本文将重点讨论线性回归 和梯度下降，两者是数据科学和机器学习中常见的基础方法。

2. 回归分析

2.1 什么是回归？

回归分析是一种统计方法，用于建模因变量（目标值）与自变量（特征）之间的关系。在回归分析中，目标是找到一个数学函数来预测因变量的值。

• 回归定义：通过建立数学模型，研究自变量(X)与因变量(Y)的映射关系 ✨
• 核心价值：预测连续型变量（如房价预测、销量分析），揭示变量间因果关系
• 回归模型：预测连续值，如房价、温度、销售额等。

2.2 线性回归

线性回归是回归分析中最简单的一种方法，它假设因变量与自变量之间存在线性关系。

• 线性回归模型的公式为：

  y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β n x n + ϵ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n + \epsilon y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn+ϵ

  其中：

  • y y y 是因变量。
  • x 1 , x 2 , . . . , x n x_1, x_2, ..., x_n x1,x2,...,xn 是自变量（特征）。
  • β 0 \beta_0 β0 是截距（模型基准点）。
  • β 1 , β 2 , . . . , β n \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n β1,β2,...,βn 是回归系数（特征权重系数）。
  • ϵ \epsilon ϵ 是误差项。

2.3 损失函数

损失函数用于度量模型预测值与实际值之间的误差。在线性回归 中，通常使用 均方误差 (MSE) 作为损失函数。

• 数学本质：误差平方和的期望最小化

• 几何意义：寻找最佳拟合超平面（高维空间中的直线）📐

• 均方误差（MSE） 公式：

  M S E = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y ^ i ) 2 MSE = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - \hat{y}_i)^2 MSE=m1i=1∑m(yi−y^i)2

  其中：

  • y i y_i yi 是实际值。
  • y ^ i \hat{y}_i y^i 是预测值。
  • m m m 是样本数量。

2.4 多参数回归

在多参数回归中，目标是通过多个特征来预测一个因变量。例如，在房价预测中，可能有多个因素（如面积、房间数量、位置等）影响房价。多参数回归即通过多个自变量来建立线性关系。

3. 参数求解：最小二乘法

最小二乘法（Least Squares）是一种优化方法，常用于线性回归中，用来找到最佳拟合的线。

3.1 最小二乘法 MSE

最小二乘法通过最小化损失函数（MSE）来求解回归系数。在矩阵形式下，最小二乘法的公式为：

β ^ = ( X T X ) − 1 X T y \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y β^=(XTX)−1XTy

• X X X 是样本特征矩阵。
• y y y 是目标变量。
• β ^ \hat{\beta} β^ 是回归系数向量。

前景知识：矩阵相关公式

• 矩阵运算前提 ：
  • 特征矩阵需满秩（无多重共线性）
  • 样本量 > 特征维度

• 矩阵转置 ： ( A T ) T = A (A^T)^T = A (AT)T=A

• 矩阵逆 ： ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1

  from sklearn.linear_model import LinearRegression
  
  model = LinearRegression().fit(X_train, y_train)
  
  print(f"系数: {model.coef_}, 截距: {model.intercept_}")

3.2 最小二乘法的优缺点

优点：

• 简单且易于理解。
• 对小数据集表现良好，计算效率高。

缺点：

• 对异常值敏感。
• 需要满足线性假设。

4. 梯度下降

梯度下降（Gradient Descent）是一种优化算法，用于最小化损失函数。它通过计算损失函数关于参数的梯度，并沿梯度的反方向更新参数。

4.1 梯度下降概念

梯度下降通过迭代的方式不断优化参数，直到找到损失函数的最小值。假设我们有损失函数 L ( θ ) L(\theta) L(θ)，梯度下降的更新公式为：

θ : = θ − α ∇ θ L ( θ ) \theta := \theta - \alpha \nabla_\theta L(\theta) θ:=θ−α∇θL(θ)

• θ \theta θ 是模型参数。
• α \alpha α 是学习率。
• ∇ θ L ( θ ) \nabla_\theta L(\theta) ∇θL(θ) 是损失函数关于参数的梯度。

4.2 梯度下降步骤

1. 初始化参数：随机或通过某种方式初始化参数。
2. 计算梯度：计算损失函数对参数的偏导数。
3. 更新参数：按照梯度反方向更新参数。
4. 迭代：重复以上步骤，直到损失函数收敛或达到最大迭代次数。

4.3 梯度下降公式

损失函数 L ( θ ) L(\theta) L(θ) 相对于参数 θ \theta θ 的梯度计算公式为：

∇ θ L ( θ ) = ∂ ∂ θ ( 1 m ∑ i = 1 m ( y i − y ^ i ) 2 ) \nabla_\theta L(\theta) = \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - \hat{y}_i)^2 \right) ∇θL(θ)=∂θ∂(m1i=1∑m(yi−y^i)2)

4.4 学习率

学习率（ α \alpha α）决定了每次更新的步长大小。选择一个合适的学习率非常重要：

• 学习率过大，可能导致跳过最优解。
• 学习率过小，收敛速度会很慢。

4.5 自己实现梯度下降

import numpy as np

# 假设数据集X和y已经准备好
def gradient_descent(X, y, theta, alpha=0.01, iterations=1000):
    m = len(y)
    cost_history = []

    for i in range(iterations):
        predictions = X.dot(theta)
        error = predictions - y
        gradient = (1/m) * X.T.dot(error)
        theta = theta - alpha * gradient
        cost = (1/2*m) * np.sum(np.square(error))
        cost_history.append(cost)
    
    return theta, cost_history

# 初始化theta，假设X和y已经定义
theta_initial = np.zeros(X.shape[1])
theta, cost_history = gradient_descent(X, y, theta_initial, alpha=0.01, iterations=1000)

4.6 梯度下降的变种

BGD（批量梯度下降）

在批量梯度下降中，每次迭代都使用整个训练集计算梯度。它收敛稳定，但计算量大，尤其在数据集较大时。

SGD（随机梯度下降）

在随机梯度下降中，每次迭代使用一个样本来计算梯度，收敛较快，但噪声大。

MBGD（小批量梯度下降）

小批量梯度下降结合了BGD和SGD的优点。每次迭代使用一个小批量的样本进行计算，能有效减少计算开销并加速收敛。

4.7 梯度下降优化

为加速梯度下降的收敛速度，可以使用动量法（Momentum）、**自适应梯度（AdaGrad）**等优化算法。

5. 使用场景

• 线性回归：适用于预测房价、销售量、温度等连续变量，尤其是特征之间存在线性关系时。
• 梯度下降：适用于大数据集或高维数据集，尤其是在无法直接求解闭式解（如最小二乘法）时。

6. 优缺点

6.1 线性回归

优点：

• 简单易懂。
• 计算效率高，尤其是数据量小的时候。

缺点：

• 对异常值敏感。
• 假设特征与目标变量之间存在线性关系。

6.2 梯度下降

优点：

• 适用于大规模数据集，尤其是在线性回归无法使用最小二乘法时。
• 可以处理复杂的非线性模型。

缺点：

• 可能收敛到局部最优解。
• 需要选择合适的学习率。

7. 总结

本文介绍了线性回归 和梯度下降的基本理论及实现方法，分析了它们的优缺点和应用场景。通过结合这些方法，能够为不同的数据问题提供高效的解决方案。

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