快速幂
前言
这些是数学相关的算法，理解一下思路，记一下模板代码即可，多用于数据处理，即解题中的某一步。
问题引入
- 根据以往的学习经验，我们在计算5的10次方这个问题时，需要多少次的运算呢?
一般来说你可能会想到for循环次方数 ，一直累乘，这样算的时间复杂度为O(n)
那么对于这种运算，我们能否对其进行优化 ，从而缩短运算时间呢?
解决过程
- 我们很容易发现，10个5相乘是一个完全重复的过程，如果它变成(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)×(5×5)，因为我们把5*5这个重复的运算先完成了，这样运算次数缩短为5次 。
继续下去可以发现(5×5)×(5×5)也是重复进行的。
如果我们进一步优化，那么就可以变成(5×5×5×5)×(5×5×5×5)×(5×5)。 - 由上面可以知道的是(5×5×5×5)就是(5×5)的平方(5×5)又是5的平方，那么这个过程就变为了:一个数字始终在平方，当你需要它的时候就取它的值 。
比如我要计算510,那么我需要取2个数的值：52的值和58的值，因为52×58=510
问题产生及解决
- 取值怎么取，是固定的吗？比如能不能取53的值和57的值？
答：不能。上面推理的时候我们是两两合为一个，比如5×5×5×5合成为(5×5)×(5×5)，(5×5)×(5×5)又合成为(5×5×5×5)，也就是上面的一句话：一个数字始终在平方，当你需要它的时候就取它的值 ，也就是说，我们取的数一定是2的幂次数。为什么？方便以后复用 。复用就是比如54由前面已经得到的52经过乘以自己 （即52×52）得到。
- 既然要得到2的幂累积和的形式，也就是我们把一个十进制的次方数转成了二进制，怎么转？
答：进制转换:任何数都可以写成2^n相加的形式。
5=22+20;
7=22+21+20;
为什么？
除基取余法 。
做法
- 此时我们结合进制转换的知识，把幂数拆成了几个2的幂累和的形式，也就是我们把一个十进制的次方数转成了二进制，但是不直接写成二进制形式而是把二进制形式里为1的部分，写出来做累加。
- 58,52如何求?
5不断平方:51 52 54 58 516
计算nx:
- 任务一 :有一个变量 始终保存当前是2的几次方，即20、21、22以此类推，如果我们以n作为底数，那么到此题中就变成了n1、n2、n4，我们只需要每次n*=n即可
- 任务二 :如果x%2==1证明该二进制位的值为1，因此应该用累乘变量res乘上当前的n。当然在循环的最后，和10进制转2进制一样，x需要除以2，只要x不为零这个循环始终执行下去
代码：
c
int n,x; //底数，次方数
int res=1; //累乘变量
int main(){
scanf("%d %d",&n,&x);
while(x!=0){ //只要x不为0就始终执行下去
int j=x%2;
if(j==1){
res*=n; //当前2进制位为1，乘上当前位置的n,即我们的任务二
}
x/=2; //x除以2，和短除法一样
n*=n; //n每次乘以自身，即我们的任务一
}
printf("%d\n",res);
return 0;
}时间复杂度：O(log x)
以510为例：
10的二进制 为1010，即1×23+0×22+1×21+0×20,根据代码，当任务一持续执行时 ，在第二位和第四位执行代码res*=n（即任务二）；在第二位时，n=52。在第四位时，n=58。52×58=510,代码结束。
第一轮：
j=10%2=0;(任务二不执行)
x=10/2=5;(x不为0，程序继续执行任务一)
n=5×5=52;（任务一）
第二轮：
j=5%2=1;(任务二执行)
res=1×52=52;（任务二）
x=5/2=2;(x不为0，程序继续执行任务一)
n=52×52=54;（任务一）
第三轮：
j=2%2=0;(任务二不执行)
x=2/2=1；(x不为0，程序继续执行任务一)
n=54×54=58;（任务一）
第四轮：
j=1%2=1;(任务二执行)
res=52×58=510;（任务二）
x=1/2=0;(x为0，程序结束任务一不执行)
此时输出res就是510的值.
板子题
-
如果题目提示要你把算出来的答案取余输出 ，说明算出来的答案非常大，甚至连long long都存不下，所以在计算的过程中就要把取摸运算加上去，不要想着等算出答案再取摸（要保证每一步都能用正常的数据类型存的下）。
-
在计算过程中取余遵循下面的模运算理论：
(a×b)%c=( (a%c) × (b%c) )%c
加法同理
(a+b)%c=(a%c+b%c)%c
证明如下：
证明 (a×b)%c= ( (a%c) × (b%c) ) % c
令：
a%c=y ------>a= i×c + y (i为常数)
b%c=z ------>b= j×c + z (j为常数)
有：
(a×b)%c= ( (i×c+y) × (j×c+z) ) % c ·····················①
(i×c+y) × (j×c+z)= i×j×c× c + i×z× c + j×y× c + y×z
······················= (i×j×c×i×z×j×y )×c + y×z
令：
i×j×c×i×z×j×y =k则有：
(i×c + y) × (j×c + z)= k×c + y×z ··························②
把②代入①式：
(a×b)%c= (k×c + y×z)%c
···········=(k×c)%c + (y×z)%c
···········=0 + (y×z)%c
把y,z展开：
(a×b)%c=0 + ( (a%c) × (b%c) )%c
证毕.