控制建模matlab练习14：线性状态反馈控制器-③极点配置

此练习，主要是使用状态空间方程来设计控制器的方法和思路：
①系统建模；
②系统的能控性；
③极点配置；
④最优化控制LQR；
⑤轨迹追踪；
以下是，第③部分：极点配置；

一、系统模型

还是以前面的①系统建模；里面的这个模型为基础进行分析。

先介绍一下这个极点配置：（引用书中的介绍）
本质上说，这依然是比例控制，但相较于传统方法（只反馈位移信息），所有的状态信息（包括位移和速度）都被用作反馈，因此有两个比例增益 k₁ k₂ 。
并且，状态矩阵的特征值对应于传递函数的极点。
所以，这种设计思路就被称为极点配置。

二、分析与控制器设计

书中分析这个系统，是一个不稳定的系统。若想要改变平衡点的性质，则需要设计合适的输入 u(t) ，并且在设计之前，也要先判断系统的能控性。
通过分析，说明只依靠输出的比例反馈控制 不能满足设计要求，所以需要考虑设计全状态反馈控制器 ，可以令 u(t) = -Kz(t) ，其中 K=[k₁ k₂] 。全状态的反馈，将 z(t) 完全反馈到系统当中。
此时的输入 u(t) 就与所有状态变量 z(t) 有关。
得到闭环系统 (A - BK)z(t) = A_clz(t)
再通过求闭环控制系统的状态矩阵 A_cl的特征值 ，希望两个特征值均为-1＜0（此时平衡点将变成稳定节点），因此可解出 k₁ 、 k₂ 。

在MATLAB中的代码如下：

matlab 复制代码

clc;clear;close all;
%% 定义参数
  g=10;
  d=1;
%% 定义矩阵
 A=[0 1;g/d 0];
 B=[0;1];
 C = [1, 0];
 D = 0;
%% 建立状态空间方程表达式
sys = ss(A,B,C,D);
%% 定义初始状态
z0=[pi/20;0];
%% 定义系统控制
K = [1+g/d 2];

%% 此时设计好之后，再定义的闭环系统
%% 此时没有B矩阵了，B矩阵为0
sys_cl=ss(A-B*K,[0; 0],C,D);
%% 对初始条件的响应
t=0:0.01:10; %% 时间间隔
[y,t,z]=initial(sys_cl,z0,t);
%% 绘图
%% z1
subplot (2,1,1);
plot(t,z(:,1));
legend('角度：z1(t)');
grid on
%% z1
subplot (2,1,2);
plot(t,z(:,2));
legend('角速度：z2(t)');
grid on

三、运行结果

图中看出，角度 z₁(t) ，从初始位置 π/20 开始，逐渐变成0；
而角速度 z₂(t) ，因为初始状态就是0，所以先是向下变化，再变为0。（因为看前面模型图，角速度是要向回走，往反方向，所以是负的）
这里 k₁ k₂ 的选择，将会决定系统的收敛速度 和决定系统输入的值 ，而此练习的 k₁ k₂ 是随机选择的。
如果考虑更多的条件，则需要再用到最优化控制 ；在下一个练习，则看如何使用最优化的思路来设计 k₁ 、 k₂ 。

学习来源：《控制之美》 $卷1$ ，王天威