数学建模-线性规划(LP)

📘 线性规划（Linear Programming, LP）介绍

一、什么是线性规划？

1. 定义：

线性规划（Linear Programming，简称 LP） 是运筹学中最基础、最重要的一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下，寻找某个线性目标函数的最优值（通常是最大值或最小值）。

简单来说：在一定限制条件下，怎么安排资源、做出决策，使得某个目标达到最好（比如利润最大、成本最小）。

2. 核心思想：

在满足一系列线性等式或不等式约束的前提下，通过调整决策变量，使得一个线性目标函数达到最大值或最小值。

二、线性规划问题的基本构成

一个标准的线性规划问题通常由以下三个部分组成：

1️⃣ 决策变量（Decision Variables）

• 是我们需要确定的未知量，通常用 x1,x2,...,xn表示

• 代表实际问题中的各种决策，比如生产数量、投资额度、运输量等

🔹 例如：生产产品A的数量为 x1，产品B的数量为 x2

2️⃣ 目标函数（Objective Function）
• 是我们要最大化或最小化的线性函数
• 通常表示为：
复制代码
Z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn
其中 c1,c2,...,cn是系数，表示每单位决策变量对目标的贡献

🔹 目标可以是：

• 最大化：如利润、收益、效率

• 最小化：如成本、时间、消耗

🔹 例如：
复制代码
Max Z=3x1+5x2（求最大利润）
或
复制代码
Min Z=2x1+4x2（求最小成本）
3️⃣ 约束条件（Constraints）

• 是对决策变量的一系列限制，通常是线性等式或不等式

• 包括：

• 资源限制（如原材料、工时、资金）

• 需求要求

• 变量的非负限制（通常 xi≥0）

🔹 一般形式为：
复制代码
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn≥b2⋮x1,x2,…,xn≥0
🔹 例如：

• 生产产品A、B需要的总工时不超过 100 小时

• 使用的原材料不能超过库存

• 销售量不能为负数

三、线性规划的标准形式（简化版）

虽然实际问题可能形式多样，但为了求解方便，通常会将 LP 问题转化为如下标准形式：
复制代码
目标：Max Z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn
复制代码
约束条件：⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn≤b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn≤b2⋮x1,x2,…,xn≥0
如果有 ≥ 约束，可以两边乘以 -1 变为 ≤；如果有等式约束，可以拆分为两个不等式；非负约束一般保留。

四、线性规划的求解方法

线性规划问题有多种求解算法，最著名的是：

1. 单纯形法（Simplex Method） ⭐⭐⭐

• 由 George Dantzig 在 1947 年提出

• 是解决线性规划问题的经典算法

• 通过在可行域的顶点上逐步移动，找到使目标函数最优的解

• 适用于大多数 LP 问题，尤其在变量和约束不太大时效率很高

2. 内点法（Interior Point Method）

• 是一种较新的算法，尤其适合大规模线性规划问题

• 从可行域内部逐步逼近最优解，而不是沿着边界（顶点）走

3. 软件工具求解（推荐）

在实际应用、论文写作、数学建模竞赛中，我们通常不手算单纯形法，而是借助以下工具快速建模与求解：

工具是否需要编程特点

Excel 规划求解 否简单易用，适合小型 LP 问题，直观展示

MATLAB 是（但简单）内置 linprog函数，适合算法实现

Python（PuLP / SciPy / CVXPY） 是强大灵活，适合建模与自动化求解

Lingo / Gurobi / CPLEX 是专业优化软件，求解大规模 LP 极快，常用于学术研究与工业优化

🔹 在数学建模竞赛（如美赛、国赛）中，常用 Excel、Python 或 Lingo 快速求解 LP 问题。

五、线性规划的应用场景（超实用！）

线性规划是应用最广泛的优化方法之一，几乎任何涉及"有限资源下如何最优配置"的问题都可以用 LP 建模，典型应用包括：

✅ 1. 生产计划问题

• 如何安排几种产品的生产数量，在有限原材料、工时下，使得利润最大？

✅ 2. 运输问题

• 多个供应商与多个需求点之间，如何安排运输方案，使得运输总成本最小？

✅ 3. 饮食搭配 / 营养问题

• 在一定预算和营养要求下，如何购买食物使得既健康又经济？

✅ 4. 投资组合 / 资金分配

• 有限的资金，如何分配到不同项目或资产，使得收益最大或风险最小？

✅ 5. 人力资源安排

• 如何安排员工工作时间，使得任务完成且总工资支出最小？

✅ 6. 混合问题（如生产 + 运输 + 库存）

• 多阶段、多环节的资源优化问题

六、线性规划的优点与局限性

✅ 优点：

模型简单、结构清晰：目标与约束都是线性的，易于理解和建模

求解高效：有成熟算法和软件工具，能快速得到最优解

应用广泛：几乎所有资源分配、优化类问题都可以尝试 LP 建模

结果明确：能给出最优解及其对应决策变量的具体数值

可拓展性强：是整数规划、非线性规划、动态规划等的基础

❌ 局限性：

要求线性关系：目标函数和约束必须是线性的，非线性问题无法直接使用

变量连续性假设 ：经典 LP 假设变量是连续的，若必须是整数（如设备台数、人数），则需要用整数线性规划（ILP）

对复杂系统建模有限：当问题涉及复杂逻辑、不确定性、动态过程时，LP 可能不再适用

七、举个实际例子（便于理解）

🎯 问题：工厂生产计划

某工厂生产两种产品 A 和 B，生产一个 A 需要 2 小时工时和 1 单位原料，生产一个 B 需要 1 小时工时和 2 单位原料。

• 工时总限制：100 小时

• 原料总限制：80 单位

• A 的利润为 3 元/个，B 的利润为 4 元/个

问：如何安排 A 和 B 的产量，使得总利润最大？

🧮 建立线性规划模型：
• 决策变量：

x1= 生产 A 的数量，x2= 生产 B 的数量
• 目标函数（最大化利润）：
复制代码
Max Z=3x1+4x2
• 约束条件：
复制代码
⎩⎨⎧2x1+x2≤100x1+2x2≤80x1≥0,x2≥0(工时限制)(原料限制)
👉 你可以用 Excel 规划求解、Python（PuLP）、Lingo、MATLAB 等工具轻松求解这个模型，得到最优生产方案与最大利润值！

八、总结一句话：

线性规划（LP）是一种在给定线性约束条件下，通过调整决策变量使得某个线性目标函数达到最优（最大或最小）的数学优化方法，广泛应用于生产、运输、投资、资源配置等实际问题中，是运筹学与数学建模中最基础、最实用的优化工具之一。

✅ 类比熵权法介绍风格总结表：

项目熵权法线性规划（LP）

类型 多指标评价方法数学优化方法

目的 确定各指标的客观权重在限制条件下优化某个目标

核心思想 基于信息熵，反映指标数据离散程度来确定权重在满足线性约束下，优化线性目标函数

输入 多指标数据矩阵决策变量、目标函数、约束条件

输出 各指标权重 or 方案排序最优解（决策变量的取值）与最优目标值

适用问题 综合评价类问题资源配置、生产计划、投资决策等优化问题

是否需要优化 否（主要是计算权重）是（求解最优解）

常用工具 Excel、Python、MATLAB Excel、Python、Lingo、Gurobi、MATLAB

工具	是否需要编程	特点
Excel 规划求解	否	简单易用，适合小型 LP 问题，直观展示
MATLAB	是（但简单）	内置 `linprog`函数，适合算法实现
Python（PuLP / SciPy / CVXPY）	是	强大灵活，适合建模与自动化求解
Lingo / Gurobi / CPLEX	是	专业优化软件，求解大规模 LP 极快，常用于学术研究与工业优化

项目	熵权法	线性规划（LP）
类型	多指标评价方法	数学优化方法
目的	确定各指标的客观权重	在限制条件下优化某个目标
核心思想	基于信息熵，反映指标数据离散程度来确定权重	在满足线性约束下，优化线性目标函数
输入	多指标数据矩阵	决策变量、目标函数、约束条件
输出	各指标权重 or 方案排序	最优解（决策变量的取值）与最优目标值
适用问题	综合评价类问题	资源配置、生产计划、投资决策等优化问题
是否需要优化	否（主要是计算权重）	是（求解最优解）
常用工具	Excel、Python、MATLAB	Excel、Python、Lingo、Gurobi、MATLAB

2-理论知识

介绍

原理

定义

应用

3-基于matlab实现线性规划

以这道题为例

源代码

Matlab 复制代码

%% 目标函数的系数列向量
%f = input('请输入目标函数的系数列向量：');
f = [-40;-30];
%% 不等式约束
% A = input('请输入不等式的系数矩阵：');
% b = input('请输入不等式的常数向量：');
% 因为按行写比按列写方便，所以这样写
A = [1 -1 0 240;1 0 -1 120];
% 把A转置一下
A = A';
b = [6 -1 -1 1200]';
%% 等式约束
% Aeq = input('请输入等式的系数矩阵：');
% beq = input('请输入等式的常数向量：');
Aeq = [];
beq = [];
%% 上下界约束
% lb = input('请输入上界约束：');
% ub = input('请输入下界约束：');
% 这道题没有上界，下界为0
lb = [0 0]';
ub = +Inf;
%% 计算目标函数的最小值value以及此时的x
[x,value] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

数学建模-线性规划(LP)

1-AI带你认识LP

📘 线性规划（Linear Programming, LP）介绍

一、什么是线性规划？

1. 定义：

2. 核心思想：

二、线性规划问题的基本构成

1️⃣ ​​决策变量（Decision Variables）​​

2️⃣ ​​目标函数（Objective Function）​​

3️⃣ ​​约束条件（Constraints）​​

三、线性规划的标准形式（简化版）

四、线性规划的求解方法

1. ​​单纯形法（Simplex Method）​​ ⭐⭐⭐

2. ​​内点法（Interior Point Method）​​

3. ​​软件工具求解（推荐）​​

五、线性规划的应用场景（超实用！）

✅ 1. ​​生产计划问题​​

✅ 2. ​​运输问题​​

✅ 3. ​​饮食搭配 / 营养问题​​

✅ 4. ​​投资组合 / 资金分配​​

✅ 5. ​​人力资源安排​​

✅ 6. ​​混合问题（如生产 + 运输 + 库存）​​

六、线性规划的优点与局限性

✅ 优点：

❌ 局限性：

七、举个实际例子（便于理解）

🎯 问题：工厂生产计划

🧮 建立线性规划模型：

八、总结一句话：

✅ 类比熵权法介绍风格总结表：

2-理论知识

介绍

原理

定义

应用

3-基于matlab实现线性规划

源代码

运行结果

1️⃣ 决策变量（Decision Variables）

2️⃣ 目标函数（Objective Function）

3️⃣ 约束条件（Constraints）

1. 单纯形法（Simplex Method） ⭐⭐⭐

2. 内点法（Interior Point Method）

3. 软件工具求解（推荐）

✅ 1. 生产计划问题

✅ 2. 运输问题

✅ 3. 饮食搭配 / 营养问题

✅ 4. 投资组合 / 资金分配

✅ 5. 人力资源安排

✅ 6. 混合问题（如生产 + 运输 + 库存）