【分治法 BFS 质因数分解】P12255 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 园丁|普及+

闻缺陷则喜何志丹2025-08-30 19:47

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理
C++BFS算法

P12255 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 园丁

题目描述

小明是一位尽职尽责的园丁。这天他负责维护一棵树，树上有 n n n 个结点 1 , 2 , ... , n 1, 2, \ldots, n 1,2,...,n，根结点为 1 1 1，结点 i i i 的权值为 a i a_i ai。他需要更改一些结点的权值为任意正整数，使得对于任意一个至少有 2 2 2 个儿子结点的结点 i i i 满足：任意两个 i i i 的儿子结点的权值的乘积都不是完全平方数。请问小明至少需要修改多少个结点的权值？

输入格式

输入共 n + 1 n+1 n+1 行。

第一行为一个正整数 n n n。

第二行为 n n n 个由空格分开的正整数 a 1 , a 2 , ... , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,...,an。

后面 n − 1 n-1 n−1 行，每行两个正整数表示树上的一条边。

输出格式

输出共 1 1 1 行，一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
6
1 2 9 8 4 4
1 2
1 3
1 4
2 5
2 6

输出 #1

复制代码 
2

说明/提示

样例说明

其中一种方案：将结点 2 , 5 2, 5 2,5 的权值分别修改为 3 , 2 3, 2 3,2。

评测用例规模与约定

  • 对于 20 % 20\% 20% 的评测用例，保证 n ≤ 10 3 n \leq 10^3 n≤103。
  • 对于 100 % 100\% 100% 的评测用例，保证 1 ≤ n ≤ 10 5 1\leq n \leq 10^5 1≤n≤105， 1 ≤ a i ≤ 10 9 1 \leq a_i \leq 10^9 1≤ai≤109。

P12255 [蓝桥杯 2024 国 Java B] 园丁

分治法：枚举cur的孩子。非兄弟节点，无影响。

性质一： X = x 1 × x 2 × x 2 , x × y 是否是完全平方数    ⟺    x 1 × y 是否是完全平方数 X=x1\times x2 \times x2,x \times y 是否是完全平方数 \iff x1 \times y 是否是完全平方数 X=x1×x2×x2,x×y是否是完全平方数⟺x1×y是否是完全平方数,f(x):如果x包括相同的因子x2，x/=(x2x2)。
性质二 ： x × y 是完全平方数，则 f ( x ) = = f ( y ) x \times y 是完全平方数，则f(x)==f(y) x×y是完全平方数，则f(x)==f(y)。

w[i]=f(w[i])。BFS或DFS求出各节点的孩子，依次处理。如果cur的孩子某个权重有c个，则ans += c-1。
时间复杂度：O(nsqrt(1e9)) 可以只枚举小于等于sqrt(1e9)的质数。理论上超时。实际上可以过。

代码

核心代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

template<class T = int>
class CUniqueFactorization
{
public:
	CUniqueFactorization(T iPrime, int cnt) {
		m_data.emplace_back(iPrime, cnt);
	}
	CUniqueFactorization(vector<T> primes = {}, vector<int> cnts = {}) {
		for (int i = 0; i < primes.size(); i++) {
			m_data.emplace_back(primes[i], cnts[i]);
		}
	}
	CUniqueFactorization operator+ (const CUniqueFactorization& o)const {
		return Add(o, true);
	}
	CUniqueFactorization Add(const CUniqueFactorization& o, bool bIgornZero = false)const {
		CUniqueFactorization ret;
		int i = 0, j = 0;
		while ((i < m_data.size()) && (j < o.m_data.size())) {
			if (m_data[i].first == o.m_data[j].first) {
				int cnt = m_data[i].second + o.m_data[j].second;
				if ((0 != cnt) || !bIgornZero)
				{
					ret.m_data.emplace_back(m_data[i].first, cnt);
				}
				i++, j++;
			}
			else if (m_data[i].first < o.m_data[j].first) {
				ret.m_data.emplace_back(m_data[i]);
				i++;
			}
			else {
				ret.m_data.emplace_back(o.m_data[j]);
				j++;
			}
		}
		ret.m_data.insert(ret.m_data.end(), m_data.begin() + i, m_data.end());
		ret.m_data.insert(ret.m_data.end(), o.m_data.begin() + j, o.m_data.end());
		return ret;
	}
	CUniqueFactorization negation()const {
		CUniqueFactorization ret;
		ret = *this;
		for (auto& [i, cnt] : ret.m_data) {
			cnt *= -1;
		}
		return ret;
	}
	CUniqueFactorization GetValue(const CUniqueFactorization& o)const {
		CUniqueFactorization ret;
		for (const auto& [pri, cnt] : m_data) {
			ret.m_data.emplace_back(pri, 0);
		}
		return ret + o;
	};
	pair<T, T> Union()const {
		long long ll1 = 1, ll2 = 1;
		for (auto [pri, cnt] : m_data) {
			auto& ll = (cnt >= 0) ? ll1 : ll2;
			for (int j = 0; j < abs(cnt); j++) {
				ll *= pri;
			}//可以用快速指数幂加速
		}
		return { ll1,ll2 };
	}
	vector<pair<T, int>> m_data;
};

class CCreatePrime {
public:
	CCreatePrime(int iMax) :m_isPrime(iMax + 1, true)
	{
		m_isPrime[0] = m_isPrime[1] = false;
		for (int i = 2; i <= iMax; i++)
		{
			if (m_isPrime[i])
			{
				m_vPrime.emplace_back(i);
			}
			for (const auto& n : m_vPrime)
			{
				if ((long long)n * i > iMax) { break; }
				m_isPrime[n * i] = false;
				if (0 == i % n) { break; }
			}
		}
	}
	vector<int> m_vPrime;
	vector<bool> m_isPrime;
};
template<class T = int>
class CUniqueFactorizationFactory {
public:
	CUniqueFactorizationFactory(T iMax) :m_cc(sqrt(iMax) + 2), m_vPrime(m_cc.m_vPrime) {
	}
	CUniqueFactorization<T> Factorization(T x) {
		CUniqueFactorization<T> ret;
		for (const auto& iPre : m_vPrime) {
			int cnt = 0;
			while (0 == x % iPre) {
				cnt++;
				x /= iPre;
			}
			if (cnt > 0) {
				ret.m_data.emplace_back(iPre, cnt);
			}
			if (iPre * iPre > x) { break; }
		}
		if (x > 1) {
			ret.m_data.emplace_back(x, 1);
		}
		return ret;
	}
	const vector<int>& m_vPrime;
protected:
	CCreatePrime m_cc;
};
class CNeiBo
{
public:
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& [i1, i2] : edges)
		{
			vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& [u, v, w] : edges)
		{
			vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};
class Solution {
public:
	int  Ans(vector<int>& a, vector<pair<int, int>>& edge) {
		static CUniqueFactorizationFactory uff(1000'000'000);
		for (auto& i : a) {
			auto uf = uff.Factorization(i);
			i = 1;
			for (const auto& [p, cnt] : uf.m_data) {
				if (cnt & 1) { i *= p; }
			}
		}
		auto neiBo = CNeiBo::Two(a.size(), edge, false, 1);
		function<void(int, int)> DFS = [&](int cur, int par) {
			unordered_map<int, int> m;
			for (const auto& next : neiBo[cur]) {
				if (next == par) { continue; }
				m[a[next]]++;
				DFS(next, cur);
			}
			for (const auto& [tmp, cnt] : m) {
				m_ans += (cnt - 1);
			}
		};
		DFS(0, -1);
		return m_ans;
	}
	int m_ans = 0;
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
		int N;
		cin >> N   ;
		auto a = Read<int>(N);
		auto edge = Read<pair<int, int>>(N - 1);
#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d,K=%d", N,K);
		//Out(W, ",W=");
		Out(edge, ",edge=");
		////Out(grid, ",grid=");
		Out(a, ",a=");
		////Out(rr, ",rr=");
	 //  //Out(ab, ",ab=");
	 //  //Out(par, "par=");
	 //  //Out(que, "que=");
	 //  //Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(a,edge);	
		cout << res;
	return 0;
};

单元测试

cpp 复制代码 
vector<int> a;
		vector<pair<int, int>> edge;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			edge = { {1,2},{1,3},{1,4},{2,5},{2,6} }, a = { 1,2,9,8,4,4 };
			auto res = Solution().Ans(a, edge);
			AssertEx(2, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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