【逆序对博弈】P10737 [SEERC 2020] Reverse Game|普及+

本文涉及知识点

【C++】树状数组的使用、原理、封装类、样例

博弈逆序对

P10737 [SEERC 2020] Reverse Game

题目描述

Alice 和 Bob 在玩一个游戏，规则如下：

游戏开始前给定一个字符串 s s s。
每次行动，选择 s s s 的一个子串 t t t， t t t 只能是 10、100、110、1010 中的一个，反转 t t t 的每个字符，例如 100 翻转为 001。
不能操作者输掉游戏。
Alice 先手，问双方同时采取最优策略的情况下，谁能赢。

输入格式

一个仅包含 01 01 01 的字符串 s ( 1 ≤ ∣ s ∣ ≤ 10 6 ) s\ (1 \leq |s| \leq 10^6) s (1≤∣s∣≤106)。

输出格式

如果 Alice 胜利输出 Alice，Bob 胜利输出 Bob。

输入输出样例 #1

输入 #1

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输出 #1

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Alice

输入输出样例 #2

输入 #2

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输出 #2

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Bob

输入输出样例 #3

输入 #3

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输出 #3

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Bob

输入输出样例 #4

输入 #4

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1010001011001

输出 #4

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Alice

说明/提示

对于样例 1 1 1，选择子串 10 进行反转后 Bob 无法操作。

逆序对

性质一 ：操作一减少一个逆序对。操作二三四减少2个逆序对。
性质三 ：如果只有两个逆序，这两个逆序对之间不会有其它数字。
10 X 10 10X10 10X10，X无论是0还是1，都会产生新的逆序对。
性质四 ：只有两个逆序对的情况：

4个字符： 1010 1010 1010

三个字符： 100 、 110 100、110 100、110
000 、 001 、 011 、 111 000、001、011、111 000、001、011、111无逆序 010 、 101 010、101 010、101一个逆序对

即：如果有两个逆序，通过操作二三四，可以一次消除。

0逆序对：先手方失败。

1个2个逆序对：先手方胜利。

3个逆序对：先手方失败。

4个先手方胜利，选取1个。

5个先手胜利，选取2个。

6个逆序，无论选取一个还是2个，都是失败。
结论：逆序对3的倍数，先手方失败，其它先手方胜利。

即 3 × i 3\times i 3×i失败, 3 × i + 1 3\times i+1 3×i+1和 3 × i + 2 3\times i+2 3×i+2胜利。

用数学归纳法证明， i = = 0 i==0 i==0已证
3 × i + 1 3\times i+1 3×i+1 选取1，后手方变成 3 × i 3\times i 3×i必败
3 × i + 2 3\times i+2 3×i+2 类似。
3 × i + 3 3\times i+3 3×i+3，无论选取1还是2，后手方必胜。

逆序对可以用归并排序或逆序对。本题只有0和1。

b[i] = a[i...]中0的数量。
∑ ( b [ i ] ∗ a [ i ] ) \sum(b[i]*a[i]) ∑(b[i]∗a[i])就是逆序对的数量。

代码

核心代码

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#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	string str;
	cin >> str;
#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d", N);
		//Out(ps, ",ps=");
		//Out(P, ",P=");
		//Out(ss, ",ss=");
		//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG		
	const int N = str.length();
	vector<int> b(N + 1);
	long long ans = 0;
	for(int i = N-1; i >=0; i--){
		b[i] = b[i + 1] + ('0' == str[i]);
		ans += ('1' == str[i]) * b[i];
	}
	cout << ((ans % 3) ?"Alice" :"Bob");
	return 0;
}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

【逆序对 博弈】P10737 [SEERC 2020] Reverse Game|普及+

本文涉及知识点

P10737 [SEERC 2020] Reverse Game

题目描述

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输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

输入输出样例 #3

输入 #3

输出 #3

输入输出样例 #4

输入 #4

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说明/提示

逆序对

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核心代码

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测试环境

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