洛谷 P3128 [USACO15DEC] Max Flow P -普及+/提高

P3128 [USACO15DEC] Max Flow P

题目描述

Farmer John 在他的谷仓中安装了 N−1N-1N−1 条管道，用于在 NNN 个牛棚之间运输牛奶（2≤N≤50,0002 \leq N \leq 50,0002≤N≤50,000），牛棚方便地编号为 1...N1 \ldots N1...N。每条管道连接一对牛棚，所有牛棚通过这些管道相互连接。

FJ 正在 KKK 对牛棚之间泵送牛奶（1≤K≤100,0001 \leq K \leq 100,0001≤K≤100,000）。对于第 iii 对牛棚，你被告知两个牛棚 sis_isi 和 tit_iti，这是牛奶以单位速率泵送的路径的端点。FJ 担心某些牛棚可能会因为过多的牛奶通过它们而不堪重负，因为一个牛棚可能会作为许多泵送路径的中转站。请帮助他确定通过任何一个牛棚的最大牛奶量。如果牛奶沿着从 sis_isi 到 tit_iti 的路径泵送，那么它将被计入端点牛棚 sis_isi 和 tit_iti，以及它们之间路径上的所有牛棚。

输入格式

输入的第一行包含 NNN 和 KKK。

接下来的 N−1N-1N−1 行每行包含两个整数 xxx 和 yyy（x≠yx \ne yx=y），描述连接牛棚 xxx 和 yyy 的管道。

接下来的 KKK 行每行包含两个整数 sss 和 ttt，描述牛奶泵送路径的端点牛棚。

输出格式

输出一个整数，表示通过谷仓中任何一个牛棚的最大牛奶量。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 10
3 4
1 5
4 2
5 4
5 4
5 4
3 5
4 3
4 3
1 3
3 5
5 4
1 5
3 4

输出 #1

9

说明/提示

2≤N≤5×104,1≤K≤1052 \le N \le 5 \times 10^4,1 \le K \le 10^52≤N≤5×104,1≤K≤105。

solution

• 1 对于一条路径 x -> y. 设 lca(A, B) = u, 则 u -> x 和 u -> y 所有节点次数 +1，但是u重复了一次

   如果 u = x (或者y) 也可以这么处理

• 2 对于 1 中可以标记 g[x]++, g[y]++, g[u]--, g[fa[u]]--，然后从下往上求前缀和即可

代码

#include <iostream>
#include "bit"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "set"
#include "queue"
#include "algorithm"
#include "bitset"
#include "cstring"

using namespace std;

/*
 * P3128 [USACO15DEC] Max Flow P
 * 题目大意： n (n <= 50000) 个节点组成一颗树, k (<=10^5) 条路径，求每个顶点被路径通过的次数的最大值
 *
 * 思路：树上差分+最近公共祖先
 * 1 对于一条路径 x -> y. 设 lca(A, B) = u, 则 u -> x 和 u -> y 所有节点次数 +1，但是u重复了一次
 *      如果 u = x (或者y) 也可以这么处理
 * 2 对于 1 中可以标记 g[x]++, g[y]++, g[u]--, g[fa[u]]--，然后从下往上求前缀和即可
 */

const int N = 5e4 + 1;

int n, K, d[N], f[N][20], g[N], ans;
vector<int> e[N];

void dfs(int u, int p) {
    f[u][0] = p;
    for (int i = 1; i < 20; i++) f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
    d[u] = d[p] + 1;
    for (int v: e[u]) if (v != p) dfs(v, u);
}

void dfs2(int u, int p) {
    for (int v: e[u])
        if (v != p) {
            dfs2(v, u);
            g[u] += g[v];
        }
    ans = max(ans, g[u]);
}

int lca(int x, int y) {
    if (x == y) return x;
    if (d[x] < d[y]) swap(x, y);
    for (int i = 19; d[x] != d[y]; i--) if (d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];

    if (x == y) return x;
    for (int i = 19; i >= 0; i--) if (f[x][i] != f[y][i]) x = f[x][i], y = f[y][i];

    return f[x][0];
}

int main() {
    cin >> n >> K;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        e[x].push_back(y);
        e[y].push_back(x);
    }

    dfs(1, 0);

    for (int i = 0, x, y; i < K; i++) {
        cin >> x >> y;
        int u = lca(x, y);
        g[x]++, g[y]++, g[u]--, g[f[u][0]]--;
    }

    dfs2(1, 0);
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

结果