数据结构：查找

梁辰兴2025-09-07 10:12

📌目录

  • [🔍 一，查找的基本概念](#🔍 一，查找的基本概念)
    • [1. 核心定义](#1. 核心定义)
    • [2. 查找效率的评价指标](#2. 查找效率的评价指标)
  • [📏 二，线性表的查找](#📏 二，线性表的查找)
  • [🌳 三，树表的查找](#🌳 三，树表的查找)
  • [🔑 四，散列表的查找](#🔑 四，散列表的查找)
    • （一）散列表的基本概念
      • [1. 核心定义](#1. 核心定义)
      • [2. 示例](#2. 示例)
      • [3. 设计目标](#3. 设计目标)
    • （二）散列函数的构造方法
      • [1. 直接定址法](#1. 直接定址法)
      • [2. 数字分析法](#2. 数字分析法)
      • [3. 平方取中法](#3. 平方取中法)
      • [4. 折叠法](#4. 折叠法)
      • [5. 除留余数法（最常用）](#5. 除留余数法（最常用）)
      • [6. 随机数法](#6. 随机数法)
    • （三）处理冲突的方法
      • [1. 开放定址法](#1. 开放定址法)
        • [（1）线性探测法（Linear Probing）](#（1）线性探测法（Linear Probing）)
        • [（2）二次探测法（Quadratic Probing）](#（2）二次探测法（Quadratic Probing）)
        • （3）伪随机探测法
      • [2. 链地址法（Chaining，最常用）](#2. 链地址法（Chaining，最常用）)
      • [3. 其他方法](#3. 其他方法)
    • （四）散列表的查找
  • [👊 章结](#👊 章结)
    • 一、查找算法的核心逻辑与分类
      • [1. 线性表查找：基于"线性遍历"或"区间划分"](#1. 线性表查找：基于“线性遍历”或“区间划分”)
      • [2. 树表查找：基于"层级划分"与"平衡维护"](#2. 树表查找：基于“层级划分”与“平衡维护”)
      • [3. 散列表查找：基于"直接映射"与"冲突处理"](#3. 散列表查找：基于“直接映射”与“冲突处理”)
    • 二、核心算法性能与适用场景对比
    • 三、查找算法的选型原则
      • [1. 数据规模：小规模优先简单算法，大规模侧重高效算法](#1. 数据规模：小规模优先简单算法，大规模侧重高效算法)
      • [2. 数据动态性：静态查用"无需维护"算法，动态查用"支持增删"算法](#2. 数据动态性：静态查用“无需维护”算法，动态查用“支持增删”算法)
      • [3. 存储环境：内存查找侧重时间，外部查找侧重I/O优化](#3. 存储环境：内存查找侧重时间，外部查找侧重I/O优化)
      • [4. 业务需求：是否需要有序性或范围查找](#4. 业务需求：是否需要有序性或范围查找)
    • 四、核心结论

🔍 一，查找的基本概念

查找（Searching）是数据处理中最频繁的操作之一，指从一组无序或有序的数据元素（称为"查找表"）中，根据给定的"关键字"找到满足条件的数据元素的过程。小到手机通讯录中查找联系人，大到数据库中千万级数据的检索，都依赖高效的查找算法。

1. 核心定义

  • 查找表（Search Table）：由若干个数据元素（或记录）组成的集合，每个元素包含一个或多个属性，其中用于标识元素的属性称为"关键字"。
  • 关键字（Key） ：分为两类：
    • 主关键字（Primary Key）：唯一标识一个数据元素（如身份证号、学号），通过主关键字查找时，结果要么唯一，要么不存在；
    • 次关键字（Secondary Key）：非唯一标识（如姓名、年龄），通过次关键字查找可能返回多个满足条件的元素。
  • 查找操作 ：
    • 静态查找：仅查询元素是否存在或获取元素信息，不改变查找表的结构（如查询字典中的单词释义）；
    • 动态查找：在查找过程中可能插入新元素或删除已有元素（如购物车中添加/删除商品后查找商品）。
  • 查找成功与失败 ：
    • 查找成功：找到与关键字匹配的元素，返回元素的位置或相关信息；
    • 查找失败：未找到匹配元素，返回特定标识（如-1、NULL）。

2. 查找效率的评价指标

查找算法的效率主要通过平均查找长度（Average Search Length, ASL） 衡量，指在查找过程中，平均需要比较的关键字次数，计算公式为：
A S L = ∑ i = 1 n P i ⋅ C i ASL = \sum_{i=1}^{n} P_i \cdot C_i ASL=i=1∑nPi⋅Ci

  • n n n：查找表中数据元素的个数；
  • P i P_i Pi：查找第 i i i个元素的概率（若未指定，通常假设所有元素查找概率相等，即 P i = 1 / n P_i = 1/n Pi=1/n）；
  • C i C_i Ci：查找第 i i i个元素时，需要比较的关键字次数。

ASL越小，查找算法效率越高。此外，还需考虑算法的空间复杂度（额外占用的内存）和对数据有序性的要求。

📏 二，线性表的查找

线性表的查找指基于线性表（顺序表、链表）结构的查找方法，核心特点是数据元素按线性关系存储，查找过程需按线性顺序或特定规则遍历元素。根据线性表是否有序，分为顺序查找、折半查找和分块查找。

（一）顺序查找

顺序查找（Sequential Search）又称"线性查找"，是最简单的查找方法，对线性表的有序性无要求，既适用于顺序存储的线性表，也适用于链式存储的线性表。

1. 核心思想

从线性表的一端（通常是第一个元素或最后一个元素）开始，逐个将元素的关键字与给定的查找关键字进行比较，直至找到匹配元素（查找成功）或遍历完所有元素（查找失败）。

2. 两种实现方式

（1）无哨兵的顺序查找（顺序表）

从第一个元素开始，依次比较至最后一个元素：

c 复制代码 
#define MAXSIZE 100
// 查找表元素结构
typedef struct {
    int key;  // 关键字（假设为整数）
    // 其他数据项（如姓名、年龄等）
} ElemType;

// 顺序表结构
typedef struct {
    ElemType elem[MAXSIZE];  // 存储元素的数组
    int length;              // 线性表的实际长度
} SqTable;

// 顺序查找（无哨兵，顺序表）
int SequentialSearch(SqTable ST, int key) {
    // 从第一个元素开始遍历
    for (int i = 0; i < ST.length; i++) {
        if (ST.elem[i].key == key) {
            return i;  // 查找成功，返回元素下标
        }
    }
    return -1;  // 查找失败，返回-1
}
（2）有哨兵的顺序查找（优化版）

在顺序表的第一个元素（或最后一个元素）位置设置"哨兵"（将查找关键字存入哨兵位置），避免在循环中每次判断"是否越界"，减少比较次数：

c 复制代码 
// 顺序查找（有哨兵，顺序表，哨兵存在elem[0]）
int SequentialSearchWithGuard(SqTable ST, int key) {
    ST.elem[0].key = key;  // 哨兵：将查找关键字存入elem[0]
    int i = ST.length;     // 从最后一个元素开始向前遍历
    while (ST.elem[i].key != key) {
        i--;
    }
    return i;  // 若i=0，说明查找失败；否则返回元素下标
}

3. 链式存储的顺序查找

对于单链表，需从表头开始遍历，通过指针逐个访问节点：

c 复制代码 
// 单链表节点结构
typedef struct LNode {
    int key;               // 关键字
    struct LNode *next;    // 指向下一个节点的指针
} LNode, *LinkList;

// 顺序查找（单链表）
LNode* SequentialSearchLink(LinkList L, int key) {
    LNode *p = L->next;  // 从首元节点开始遍历
    while (p != NULL && p->key != key) {
        p = p->next;
    }
    return p;  // 查找成功返回节点指针，失败返回NULL
}

4. 性能分析

以顺序表（有哨兵）、等概率查找为例分析ASL：

  • 查找成功 ：若查找的元素是第 i i i个（ i i i从1到 n n n），比较次数 C i = n − i + 1 C_i = n - i + 1 Ci=n−i+1（从最后一个元素向前遍历），则：
    A S L 成功 = ∑ i = 1 n 1 n ⋅ ( n − i + 1 ) = 1 n ⋅ ( n + ( n − 1 ) + ⋯ + 1 ) = n + 1 2 ASL_{成功} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot (n - i + 1) = \frac{1}{n} \cdot (n + (n-1) + \dots + 1) = \frac{n+1}{2} ASL成功=i=1∑nn1⋅(n−i+1)=n1⋅(n+(n−1)+⋯+1)=2n+1

  • 查找失败 ：需遍历至哨兵位置，比较次数 C 失败 = n + 1 C_{失败} = n + 1 C失败=n+1，则：
    A S L 失败 = n + 1 ASL_{失败} = n + 1 ASL失败=n+1

  • 时间复杂度 ：无论成功或失败，最坏情况下需遍历所有元素，时间复杂度为O(n)；

  • 空间复杂度 ：仅需1个临时变量或指针，空间复杂度为O(1)；

  • 特点：算法简单，对线性表的有序性、存储结构无要求；但效率较低，适合小规模数据或无序线性表。

（二）折半查找

折半查找（Binary Search）又称"二分查找"，是一种高效的查找方法，但仅适用于有序的顺序表（链表无法随机访问，不支持折半查找）。

1. 核心思想

利用线性表的有序性（假设为升序），每次将查找范围缩小一半：

  1. 设查找范围的左边界为low（初始为0），右边界为high（初始为length-1）；
  2. 计算中间位置mid = (low + high) / 2，比较中间元素elem[mid].key与查找关键字key：
    • 若elem[mid].key == key：查找成功，返回mid；
    • 若elem[mid].key > key：关键字在左半区，更新high = mid - 1；
    • 若elem[mid].key < key：关键字在右半区，更新low = mid + 1；
  3. 重复步骤2，直至low > high（查找失败）。

2. 示例（有序顺序表：[5, 13, 19, 21, 37, 56, 64, 75, 80, 88, 92]，查找key=21）

  • 初始：low=0，high=10，mid=5（elem[5].key=56 > 21）→ 左半区，high=4；
  • 第二次：mid=2（elem[2].key=19 < 21）→ 右半区，low=3；
  • 第三次：mid=3（elem[3].key=21 == 21）→ 查找成功，返回3。

3. 代码实现

c 复制代码 
// 折半查找（有序顺序表，升序）
int BinarySearch(SqTable ST, int key) {
    int low = 0, high = ST.length - 1;  // 初始化查找范围
    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;     // 计算中间位置
        if (ST.elem[mid].key == key) {
            return mid;  // 查找成功，返回下标
        } else if (ST.elem[mid].key > key) {
            high = mid - 1;  // 关键字在左半区
        } else {
            low = mid + 1;   // 关键字在右半区
        }
    }
    return -1;  // 查找失败，返回-1
}

4. 性能分析

折半查找的过程可通过"二叉判定树"直观表示：树的每个节点对应顺序表中的一个元素，左子树节点为该元素左侧的元素，右子树节点为右侧的元素，查找过程即从根节点到目标节点的路径。

以等概率查找、n=11（有序表长度） 为例：

  • 二叉判定树的深度为 ⌈ l o g 2 ( n + 1 ) ⌉ = 4 \lceil log_2(n+1) \rceil = 4 ⌈log2(n+1)⌉=4（根节点深度为1）；

  • 查找成功 ：每个节点的比较次数等于其深度，ASL为：
    A S L 成功 = 1 11 ⋅ ( 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 4 + 4 × 4 ) = 33 11 = 3 ASL_{成功} = \frac{1}{11} \cdot (1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 4 + 4 \times 4) = \frac{33}{11} = 3 ASL成功=111⋅(1×1+2×2+3×4+4×4)=1133=3

  • 查找失败 ：失败位置对应判定树的空节点，每个空节点的比较次数等于其双亲节点的深度，ASL为：
    A S L 失败 = 1 12 ⋅ ( 3 × 4 + 4 × 8 ) = 44 12 ≈ 3.67 ASL_{失败} = \frac{1}{12} \cdot (3 \times 4 + 4 \times 8) = \frac{44}{12} \approx 3.67 ASL失败=121⋅(3×4+4×8)=1244≈3.67

  • 时间复杂度 ：每次查找范围缩小一半，时间复杂度为O(log n)，远优于顺序查找；

  • 空间复杂度 ：仅需3个变量（low、high、mid），空间复杂度为O(1)；

  • 特点：效率高，但依赖有序的顺序表，插入/删除元素时需移动大量数据（维护有序性成本高），适合静态有序查找表。

（三）分块查找

分块查找（Block Search）又称"索引顺序查找"，结合了顺序查找和折半查找的优点，适用于**"分块有序"的线性表**（将线性表分为若干块，块内元素无序，但块间元素有序）。

1. 核心概念

  • 分块有序：假设线性表按升序分块，满足"第一块中所有元素的关键字 ≤ 第二块中所有元素的关键字 ≤ ... ≤ 第k块中所有元素的关键字"，但块内元素无需有序；
  • 索引表：为每个块建立一个索引项，包含"块的最大关键字"和"块的起始位置"，索引表按块的最大关键字有序排列。

2. 核心思想

分块查找分为两步：

  1. 查找索引表：根据查找关键字，在有序的索引表中找到目标元素所在的块（可用顺序查找或折半查找）；
  2. 查找块内元素：在找到的块中，用顺序查找（块内无序）找到目标元素。

3. 示例（线性表：[8, 3, 12, 17, 9, 26, 15, 21, 30, 28, 36]，分块有序）

  • 分块 ：分为3块，块1：[8,3,12]（最大关键字12）、块2：[17,9,26]（最大关键字26）、块3：[15,21,30,28,36]（最大关键字36）；
  • 索引表 ：[(12, 0), (26, 3), (36, 6)]（每个索引项为"最大关键字，块起始下标"）；
  • 查找key=21 ：
    1. 索引表有序，用折半查找：21介于12和26之间，确定在块2（起始下标3）；
    2. 块2元素：[17,9,26]，顺序查找找到21（下标7）→ 查找成功。

4. 代码实现

c 复制代码 
// 索引表项结构
typedef struct {
    int max_key;  // 块的最大关键字
    int start;    // 块的起始下标
} IndexItem;

// 分块查找结构
typedef struct {
    ElemType elem[MAXSIZE];    // 原始线性表（分块有序）
    IndexItem index[MAXSIZE];  // 索引表
    int block_num;             // 块的数量
    int elem_num;              // 线性表元素总数
} BlockTable;

// 分块查找（索引表用折半查找，块内用顺序查找）
int BlockSearch(BlockTable BT, int key) {
    // 步骤1：查找索引表，确定目标块（折半查找）
    int low = 0, high = BT.block_num - 1;
    int block_idx = -1;  // 目标块的索引表下标
    while (low <= high) {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (BT.index[mid].max_key >= key) {
            block_idx = mid;
            high = mid - 1;  // 继续向左查找更小的符合条件的块
        } else {
            low = mid + 1;
        }
    }
    if (block_idx == -1) {
        return -1;  // 无符合条件的块，查找失败
    }

    // 步骤2：在目标块内顺序查找
    int start = BT.index[block_idx].start;  // 块的起始下标
    int end;  // 块的结束下标
    if (block_idx == BT.block_num - 1) {
        end = BT.elem_num - 1;  // 最后一块，结束下标为线性表末尾
    } else {
        end = BT.index[block_idx + 1].start - 1;  // 非最后一块，结束下标为下一块起始前1
    }

    // 块内顺序查找
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        if (BT.elem[i].key == key) {
            return i;  // 查找成功，返回元素下标
        }
    }
    return -1;  // 块内未找到，查找失败
}

5. 性能分析

分块查找的ASL由"索引表查找的ASL"和"块内查找的ASL"两部分组成，设：

  • 线性表元素总数为 n n n，分为 b b b块，每块含 s s s个元素（ n = b × s n = b \times s n=b×s）；
  • 索引表查找的ASL为 A S L 索引 ASL_{索引} ASL索引，块内查找的ASL为 A S L 块内 ASL_{块内} ASL块内；
    则总ASL为： A S L 总 = A S L 索引 + A S L 块内 ASL_{总} = ASL_{索引} + ASL_{块内} ASL总=ASL索引+ASL块内。
（1）等概率查找，索引表用折半查找，块内用顺序查找
  • A S L 索引 ≈ l o g 2 ( b + 1 ) − 1 ASL_{索引} \approx log_2(b + 1) - 1 ASL索引≈log2(b+1)−1（折半查找ASL）；
  • A S L 块内 = s + 1 2 ASL_{块内} = \frac{s + 1}{2} ASL块内=2s+1（顺序查找ASL）；
  • 总ASL： A S L 总 ≈ l o g 2 ( n s + 1 ) − 1 + s + 1 2 ASL_{总} \approx log_2(\frac{n}{s} + 1) - 1 + \frac{s + 1}{2} ASL总≈log2(sn+1)−1+2s+1。

当 s = n s = \sqrt{n} s=n 时，总ASL最小，约为 n + l o g 2 n \sqrt{n} + log_2\sqrt{n} n +log2n ，介于顺序查找（O(n)）和折半查找（O(log n)）之间。

（2）复杂度与特点
  • 时间复杂度 ：取决于块的大小 s s s，通常为O( n \sqrt{n} n )；
  • 空间复杂度 ：需额外存储索引表（ b b b个索引项），空间复杂度为O(b) （ b = n / s b = n/s b=n/s，通常较小）；
  • 特点：兼顾顺序查找（块内无序，插入/删除方便）和折半查找（块间有序，索引查找高效）的优点

🌳 三，树表的查找

树表的查找指基于树形结构（如二叉排序树、平衡二叉树、B-树等）的查找方法。与线性表查找相比，树表查找通过树形结构的层级划分，将查找范围逐层缩小，平均查找效率更高，且支持动态插入/删除操作（无需大规模移动数据），适用于动态查找场景（如数据库索引、字典检索）。

（一）二叉排序树

二叉排序树（Binary Sort Tree，简称BST）又称"二叉查找树"，是一种特殊的二叉树，其结构天然支持高效查找、插入和删除操作，核心特点是"左子树关键字 ≤ 根节点关键字 ≤ 右子树关键字"。

1. 定义与性质

二叉排序树的递归定义：

  • 若左子树不为空，则左子树上所有节点的关键字均小于等于根节点的关键字；
  • 若右子树不为空，则右子树上所有节点的关键字均大于等于根节点的关键字；
  • 左、右子树本身也为二叉排序树。

示例：一棵合法的二叉排序树（关键字为整数）：

复制代码 
      15
    /    \
  10      20
 /  \    /  \
8   12  18  25

2. 查找操作

核心思路

利用二叉排序树的有序性，从根节点开始逐层比较：

  1. 若查找关键字key等于当前节点关键字，查找成功，返回当前节点；
  2. 若key小于当前节点关键字，递归查找左子树（若左子树存在）；
  3. 若key大于当前节点关键字，递归查找右子树（若右子树存在）；
  4. 若遍历至空节点，查找失败。
代码实现
c 复制代码 
// 二叉排序树节点结构
typedef struct BSTNode {
    int key;                // 关键字
    struct BSTNode *lchild; // 左孩子指针
    struct BSTNode *rchild; // 右孩子指针
} BSTNode, *BSTree;

// 二叉排序树查找（递归版）
BSTNode* BST_Search_Rec(BSTree T, int key) {
    if (T == NULL) {
        return NULL; // 查找失败
    }
    if (key == T->key) {
        return T;    // 查找成功，返回节点
    } else if (key < T->key) {
        return BST_Search_Rec(T->lchild, key); // 查找左子树
    } else {
        return BST_Search_Rec(T->rchild, key); // 查找右子树
    }
}

// 二叉排序树查找（非递归版，效率更高）
BSTNode* BST_Search_Iter(BSTree T, int key) {
    BSTNode *p = T;
    while (p != NULL && p->key != key) {
        if (key < p->key) {
            p = p->lchild;
        } else {
            p = p->rchild;
        }
    }
    return p; // 成功返回节点，失败返回NULL
}

3. 插入与删除操作（动态维护）

（1）插入操作

插入的核心是"找到合适的空节点位置"，确保插入后仍满足二叉排序树性质：

  1. 若树为空，直接创建新节点作为根节点；
  2. 若树非空，从根节点开始比较：
    • 若key小于当前节点关键字，且左子树为空，将新节点作为左孩子插入；否则递归遍历左子树；
    • 若key大于当前节点关键字，且右子树为空，将新节点作为右孩子插入；否则递归遍历右子树；
    • （注：通常不插入关键字重复的节点，若需支持重复关键字，可规定"重复关键字插入左子树或右子树"）。
（2）删除操作

删除操作需分三种情况处理，确保删除后树的结构仍为二叉排序树：

  • 情况1：删除节点为叶子节点 ：直接删除该节点，将其父节点的对应指针设为NULL；
  • 情况2：删除节点仅有一棵子树：将该节点的子树直接连接到其父节点，替代被删除节点的位置；
  • 情况3：删除节点有两棵子树：找到该节点的"中序前驱"（左子树中关键字最大的节点）或"中序后继"（右子树中关键字最小的节点），用其关键字替换被删除节点的关键字，再删除前驱/后继节点（前驱/后继节点必为情况1或情况2）。

4. 性能分析

二叉排序树的查找效率取决于树的高度（层级数）：

  • 理想情况（树为平衡二叉树） ：树的高度为 l o g 2 ( n + 1 ) log_2(n+1) log2(n+1)（ n n n为节点数），平均查找长度 A S L ≈ l o g 2 n ASL \approx log_2 n ASL≈log2n，时间复杂度为O(log n)；
  • 最坏情况（树退化为单链表） ：如插入的关键字有序（如1,2,3,4,5），树退化为左斜树或右斜树，高度为 n n n，平均查找长度 A S L = n + 1 2 ASL = \frac{n+1}{2} ASL=2n+1，时间复杂度退化为O(n)；
  • 空间复杂度 ：需存储 n n n个节点的指针，空间复杂度为O(n)。

5. 适用场景

  • 动态查找表（需频繁插入/删除元素）；
  • 关键字分布随机的场景（可避免树退化为单链表）；
  • 不适用于关键字有序或分布极端的场景（需用平衡二叉树优化）。

（二）平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又称"AVL树"（以发明者Adelson-Velsky和Landis命名），是对二叉排序树的优化。其核心目标是通过维护"树的平衡性"，避免二叉排序树退化为单链表，确保查找、插入、删除操作的时间复杂度稳定为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。

1. 定义与平衡条件

平衡二叉树的定义（基于二叉排序树）：

  • 树上所有节点的平衡因子（Balance Factor, BF） 的绝对值不超过1；
  • 平衡因子定义： B F ( n o d e ) = 左子树高度 − 右子树高度 BF(node) = 左子树高度 - 右子树高度 BF(node)=左子树高度−右子树高度。

示例：一棵平衡二叉树（每个节点标注平衡因子）：

复制代码 
      15 (BF=0)
    /    \
  10(BF=0)20(BF=0)
 /  \    /  \
8(BF=0)12(BF=0)18(BF=0)25(BF=0)

若在上述树中插入关键字7，节点8的左子树高度变为1，右子树高度为0， B F ( 8 ) = 1 BF(8)=1 BF(8)=1（仍平衡）；若继续插入6，节点8的 B F = 2 BF=2 BF=2，树失去平衡，需通过"旋转"恢复平衡。

2. 失衡与旋转调整

当插入或删除节点导致树失衡（某节点 ∣ B F ∣ > 1 |BF|>1 ∣BF∣>1）时，需通过"旋转"操作调整树的结构，恢复平衡。旋转分为单旋转 （左旋、右旋）和双旋转（左右旋、右左旋），核心是通过调整节点的父子关系，降低树的高度，同时保持二叉排序树的性质。

（1）左旋（Left Rotation）

适用于"右子树失衡"场景（如插入节点导致根节点的右子树高度过高）：

  • 操作步骤：

    1. 设失衡节点为A，其右孩子为B；
    2. 将B的左子树作为A的右子树；
    3. 将A作为B的左子树；
    4. 更新A和B的高度（从下往上）。

  • 示例 ：失衡场景（A的 B F = − 2 BF=-2 BF=−2）：

    复制代码 
      失衡前：        左旋后：
     A(-2)          B(0)
      \            / \
       B(-1)      A(0) C(0)
        \
         C(0)
（2）右旋（Right Rotation）

与左旋对称，适用于"左子树失衡"场景（插入节点导致根节点的左子树高度过高）：

  • 操作步骤：
    1. 设失衡节点为A，其左孩子为B；
    2. 将B的右子树作为A的左子树；
    3. 将A作为B的右子树；
    4. 更新A和B的高度。
（3）双旋转（左右旋、右左旋）

适用于"子树的子树失衡"场景（单旋转无法恢复平衡）：

  • 左右旋（Left-Right Rotation） ：先对失衡节点的左孩子左旋，再对失衡节点右旋；
    • 适用场景：失衡节点A的 B F = 2 BF=2 BF=2，且其左孩子B的 B F = − 1 BF=-1 BF=−1（左子树的右子树过高）。
  • 右左旋（Right-Left Rotation） ：先对失衡节点的右孩子右旋，再对失衡节点左旋；
    • 适用场景：失衡节点A的 B F = − 2 BF=-2 BF=−2，且其右孩子B的 B F = 1 BF=1 BF=1（右子树的左子树过高）。

3. 查找与动态操作性能

  • 查找操作 ：与二叉排序树一致，时间复杂度取决于树的高度。由于平衡二叉树的高度严格控制在 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)（最坏情况下高度为 1.44 l o g 2 ( n + 2 ) − 1.328 1.44log_2(n+2)-1.328 1.44log2(n+2)−1.328），查找时间复杂度稳定为O(log n)；
  • 插入/删除操作 ：插入时最多需2次旋转（双旋转）恢复平衡，删除时最多需 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)次旋转，整体时间复杂度仍为O(log n)；
  • 空间复杂度 ：需额外存储每个节点的平衡因子（或高度），空间复杂度为O(n)。

4. 适用场景

  • 需频繁进行插入、删除和查找的动态查找表；
  • 对查找效率要求稳定，不允许出现 O ( n ) O(n) O(n)最坏情况的场景（如实时系统、高频访问的数据库索引）；
  • 不适用于插入/删除频率远高于查找频率的场景（旋转调整会带来额外开销）。

（三）B-树

B-树是一种多路平衡查找树，由R.Bayer和E.McCreight于1972年提出，核心设计目标是"减少磁盘I/O次数"，适用于外部查找（如数据库、文件系统的索引结构）------外部存储中，数据按"块"读取，B-树通过增大每个节点的关键字数量（降低树的高度），减少每次查找需访问的磁盘块数。

1. 定义与核心特征

B-树的阶（Order）通常定义为m（m≥2），一棵m阶B-树需满足以下条件：

  1. 每个节点最多有m个子节点（称为"分支"），最多包含m-1个关键字；
  2. 根节点最少有2个子节点（若根节点非叶子节点），最少包含1个关键字；
  3. 除根节点外，所有非叶子节点最少有⌈m/2⌉个子节点，最少包含⌈m/2⌉ - 1个关键字；
  4. 所有叶子节点位于同一层（树的高度一致，确保平衡）；
  5. 每个节点的关键字按升序排列，且第i个关键字对应第i+1个子节点的所有关键字（即子节点关键字范围与父节点关键字划分对应）。

示例 ：一棵3阶B-树（m=3，每个节点最多2个关键字、3个子节点；非根非叶子节点最少1个关键字、2个子节点）：

复制代码 
          [15, 30]  （根节点，2个关键字，3个子节点）
         /    |    \
[5,10]  [20,25]  [35,40]  （叶子节点，位于同一层）

2. 查找操作

B-树的查找过程与二叉排序树类似，区别在于每个节点需比较多个关键字，确定下一层的子节点：

  1. 从根节点开始，在当前节点的关键字中顺序或折半查找目标关键字key：
    • 若找到key，查找成功；
    • 若未找到，根据key与节点关键字的大小关系，确定下一个待访问的子节点（如key小于第i个关键字，则访问第i个子节点）；
  2. 重复步骤1，直至访问到叶子节点仍未找到key，查找失败。

示例 ：在上述3阶B-树中查找key=25：

  • 根节点[15,30]：25介于15和30之间，访问中间子节点[20,25]；
  • 子节点[20,25]：找到25，查找成功（共访问2个磁盘块：根节点块、子节点块）。

3. 插入与分裂操作

B-树的插入需确保插入后仍满足阶的约束，核心操作是"节点分裂"（当节点关键字数量超过m-1时）：

  1. 找到插入位置（叶子节点，按关键字顺序插入）；
  2. 若插入后节点关键字数量≤m-1，插入完成；
  3. 若插入后节点关键字数量=m（超出限制），执行"分裂"：
    • 取节点的中间关键字key_mid（位置⌈m/2⌉）；
    • 将节点分裂为左、右两个子节点：左节点包含前⌈m/2⌉ - 1个关键字，右节点包含后m - ⌈m/2⌉个关键字；
    • 将key_mid插入父节点，并将左、右子节点作为父节点的子节点；
    • 若父节点分裂后仍超出限制，递归向上分裂，直至根节点（根节点分裂会导致树的高度加1）。

4. 性能分析

B-树的性能核心在于"树的高度"，设m为阶，n为总关键字数，h为树的高度：

  • 树的高度上限： h ≤ l o g ⌈ m / 2 ⌉ n + 1 2 + 1 h ≤ log_{\lceil m/2 \rceil} \frac{n+1}{2} + 1 h≤log⌈m/2⌉2n+1+1（叶子节点位于第h层）；
  • 查找次数：每次查找需访问h个节点（每个节点对应一个磁盘块），磁盘I/O次数为h；
  • 时间复杂度：磁盘I/O时间占主导，为O(log_m n) （m越大，高度h越小，I/O次数越少）；
  • 空间复杂度：需存储n个关键字和n+1个子节点指针，空间复杂度为O(n)。

5. 适用场景

  • 磁盘索引（如关系型数据库的索引，如MySQL的InnoDB存储引擎早期使用B-树索引）；
  • 外部查找（数据存储在磁盘，需减少I/O次数）；
  • 不适用于内存中的查找（内存访问速度快，B-树的多路优势不明显，二叉树或平衡二叉树更高效）。

（四）B+树

B+树是B-树的变种，由B-树优化而来，在数据库和文件系统中应用更广泛（如MySQL的InnoDB、Oracle的索引均采用B+树）。其核心改进是"将所有关键字集中在叶子节点"，进一步优化范围查找和磁盘I/O效率。

1. 定义与核心特征

与B-树类似，B+树也以"阶（Order）"作为核心参数（通常用m表示，m≥2），用于约束节点的关键字数量和子节点数量。作为B-树的优化变种，B+树在结构上做了针对性改进，以更适配外部存储（如磁盘）的I/O特性和范围查找需求，其核心特征需满足以下条件：

（1）节点结构约束（基于m阶）
  • 非叶子节点 （索引节点）：
    • 最多包含m个关键字和m个子节点（分支），关键字按升序排列；
    • 除根节点外，所有非叶子节点最少包含⌈m/2⌉个关键字和⌈m/2⌉个子节点；
    • 根节点若为非叶子节点，最少包含1个关键字和2个子节点（保证树的层级扩展）。
  • 叶子节点 （数据节点）：
    • 最多包含m个关键字（每个关键字对应一条实际数据或数据地址），按升序排列；
    • 除根节点外，所有叶子节点最少包含⌈m/2⌉个关键字；
    • 根节点若为叶子节点（树中仅一个节点），关键字数量可在1~m之间。
（2）核心结构差异（与B-树对比）

  1. 关键字存储分离：

    • 非叶子节点的关键字仅作为"索引路标"，不关联实际数据，仅用于指引下一层子节点的访问方向；
    • 所有关键字（包括非叶子节点的索引关键字）均重复存储在叶子节点中，叶子节点包含完整的关键字集合和对应数据，是实际数据的唯一载体。
    • 例：非叶子节点中的15仅作为索引，指向"关键字≤15"的子节点，而15对应的实际数据仅存于叶子节点[5,10,15]中。

  2. 叶子节点有序串联：

    • 所有叶子节点通过"双向指针"连接，形成一个有序链表（如示例中[5,10,15] ↔ [20,25,30] ↔ [35,40,45]）；
    • 链表的有序性与叶子节点内部关键字的有序性一致，无需回溯父节点即可完成跨节点的范围查找。

  3. 层级平衡特性：

    • 所有叶子节点严格位于同一层（树的高度由叶子节点层级决定），确保任意关键字的查找路径长度一致，避免因树的倾斜导致查找效率波动。

  4. 索引与子节点的对应关系：

    • 非叶子节点中，第i个关键字（1≤i≤m）对应第i个子节点，且该子节点中所有关键字的取值范围为：
      • 若i=1：子节点关键字 ≤ 第1个关键字；
      • 若1<i<m：第i-1个关键字 < 子节点关键字 ≤ 第i个关键字；
      • 若i=m：子节点关键字 > 第m-1个关键字（最后一个关键字仅用于分隔倒数第二个子节点和最后一个子节点）。
（3）示例解析（3阶B+树）

以m=3（3阶B+树）为例，结合结构约束理解节点关系：

复制代码 
          [15, 30, 45]  （非叶子节点/根节点）
         /    |    \
[5,10,15]  [20,25,30]  [35,40,45]  （叶子节点，双向串联）
   ←───────→ ←───────→
  • 非叶子节点（根节点） ：
    • 关键字数量=3（符合"最多m=3个"的约束），子节点数量=3（符合"最多m=3个"的约束）；
    • 第1个关键字15对应第1个子节点[5,10,15]（子节点关键字≤15）；
    • 第2个关键字30对应第2个子节点[20,25,30]（15<子节点关键字≤30）；
    • 第3个关键字45对应第3个子节点[35,40,45]（30<子节点关键字≤45）。
  • 叶子节点 ：
    • 每个叶子节点关键字数量=3（符合"最多m=3个"的约束），且均包含完整关键字（如15、30、45同时存在于非叶子节点和叶子节点）；
    • 叶子节点通过双向指针串联，形成有序链表，支持从5到45的连续范围遍历。

若删除叶子节点[5,10,15]中的10，该叶子节点关键字数量变为2（≥⌈3/2⌉=2，符合最少约束），无需分裂或合并；若继续删除5，关键字数量变为1（<2），则需触发"合并"操作（与相邻叶子节点合并，并更新父节点索引），确保树的结构约束不被破坏。

2. 查找操作

B+树的查找分为"精确查找"和"范围查找"，两种场景均利用其结构特性实现高效检索：

（1）精确查找

流程与B-树类似，但最终需定位到叶子节点（非叶子节点仅为索引，不存储实际数据）：

  1. 从根节点开始，在当前节点的关键字中顺序或折半查找，根据目标关键字key与节点关键字的大小关系，确定下一个待访问的子节点（例如，若key≤第i个关键字，则访问第i个子节点）；
  2. 重复步骤1，直至访问到叶子节点；
  3. 在叶子节点的关键字中查找key，找到则返回对应数据（或数据地址），未找到则查找失败。

示例 ：在上述3阶B+树中查找key=25：

  • 根节点[15,30,45]：25≤30且25>15，访问第2个子节点[20,25,30]（叶子节点）；
  • 叶子节点中找到25，返回对应数据（共访问2个磁盘块，与B-树相同）。
（2）范围查找

B+树的核心优势之一，借助叶子节点的"有序链表"结构，无需回溯即可完成范围查询：

  1. 按精确查找流程，找到范围的起始关键字（如查找10≤key≤35，先找到key=10所在的叶子节点）；
  2. 沿叶子节点的串联指针，依次遍历后续叶子节点，收集所有符合范围的关键字，直至超出范围上限（如遍历到key=35所在节点后停止）。

示例 ：查找10≤key≤35：

  • 找到key=10所在叶子节点[5,10,15]，收集10、15；
  • 沿串联指针访问下一个叶子节点[20,25,30]，收集20、25、30；
  • 继续访问下一个叶子节点[35,40,45]，收集35；
  • 停止遍历，最终结果为[10,15,20,25,30,35]（仅需访问3个磁盘块，若用B-树需回溯父节点，磁盘I/O次数更多）。

3. 插入与分裂操作

B+树的插入逻辑与B-树类似，核心差异在于"分裂后中间关键字的处理"（B+树中间关键字需复制到父节点，而非移动，确保叶子节点包含所有关键字）：

  1. 找到插入位置（叶子节点，按关键字顺序插入，保持叶子节点有序）；
  2. 若插入后叶子节点的关键字数量≤m（m为阶，叶子节点最多m个关键字），插入完成；
  3. 若插入后叶子节点关键字数量=m+1（超出限制），执行"分裂"：
    • 取中间位置⌊(m+1)/2⌋，将叶子节点分裂为左、右两个子节点：左节点包含前⌊(m+1)/2⌋个关键字，右节点包含剩余关键字；
    • 将中间关键字（左节点的最后一个关键字）复制到父节点，作为索引，并将左、右子节点作为父节点的子节点；
    • 若父节点分裂后关键字数量超出m（非叶子节点最多m个关键字），递归向上分裂，直至根节点（根节点分裂会导致树的高度加1）。

示例 ：3阶B+树（m=3，叶子节点最多3个关键字）插入key=38（原叶子节点[35,40,45]插入后变为[35,38,40,45]，需分裂）：

  • 分裂为左节点[35,38]、右节点[40,45]，中间关键字38复制到父节点；
  • 父节点原关键字[15,30,45]变为[15,30,38,45]（超出3个关键字限制），继续分裂父节点，最终树高加1。

4. B+树与B-树的核心差异

对比维度 B-树 B+树
关键字存储位置 非叶子节点和叶子节点均存储关键字 仅叶子节点存储所有关键字，非叶子节点仅存索引（复制自叶子节点）
数据存储位置 非叶子节点和叶子节点均存储数据（或地址） 仅叶子节点存储数据（或地址）
叶子节点关系 叶子节点独立，无直接关联 叶子节点通过指针串联，形成有序链表
范围查找效率 需回溯父节点，效率低 沿叶子节点链表遍历，效率高
分裂后关键字处理 中间关键字从原节点移动到父节点 中间关键字复制到父节点，原节点保留

5. 性能分析

B+树的性能优势集中在外部查找场景，核心指标仍为"磁盘I/O次数"：

  • 树的高度 ：与B-树相近，m阶B+树的高度h ≤ log_{\lceil (m+1)/2 \rceil} \frac{n}{m} + 1（n为总关键字数），m越大，高度越低，I/O次数越少；
  • 查找时间复杂度 ：精确查找与B-树一致，为O(log_m n)；范围查找效率更高，仅需额外遍历叶子节点链表，时间复杂度为O(log_m n + k)（k为范围内关键字数量）；
  • 空间复杂度 ：因非叶子节点需复制叶子节点的关键字，空间开销略高于B-树，但仍为O(n)（额外空间可忽略）。

6. 适用场景

B+树是数据库和文件系统索引的首选结构，主要适用于：

  • 关系型数据库索引 （如MySQL InnoDB、PostgreSQL）：需频繁进行范围查询（如WHERE age BETWEEN 20 AND 30）和排序操作（如ORDER BY id）；
  • 文件系统索引（如NTFS文件系统）：需高效定位文件块，且支持按文件名范围检索；
  • 大规模外部存储查找：数据存储在磁盘，需通过减少I/O次数提升效率，且需兼顾精确查找和范围查找。

相比之下，B-树更适用于"无需范围查找，仅需精确查找"的场景（如NoSQL数据库中的部分索引），但实际应用中B+树因功能更全面（支持范围查找、排序），应用范围更广。

🔑 四，散列表的查找

散列表（Hash Table）又称"哈希表"，是一种通过"关键字直接映射存储位置"的查找结构，核心思想是"以空间换时间"------通过预设的"散列函数"将关键字转换为存储地址，实现平均O(1)时间复杂度的查找、插入和删除操作，是效率最高的查找方法之一。

（一）散列表的基本概念

散列表的设计围绕"关键字→地址"的直接映射展开，核心术语包括：

1. 核心定义

  • 散列表（Hash Table）：由有限个连续的存储单元组成的数组，每个单元称为"桶（Bucket）"，用于存储关键字对应的元素；
  • 散列函数（Hash Function） ：将关键字key映射到散列表中存储位置的函数，记为H(key)，其中H(key)的取值范围为散列表的下标（0 ≤ H(key) < m，m为散列表长度）；
  • 冲突（Collision） ：不同的关键字通过散列函数映射到同一个存储位置，即key1 ≠ key2但H(key1) = H(key2)，这种现象称为冲突，key1和key2互称为"同义词"。

2. 示例

设散列表长度m=11，散列函数H(key) = key % 11（取模运算）：

  • 关键字key=22 → H(22)=22%11=0（存储在地址0）；
  • 关键字key=33 → H(33)=33%11=0（与22冲突，均映射到地址0）；
  • 关键字key=14 → H(14)=14%11=3（存储在地址3）。

3. 设计目标

散列表的核心目标是：

  1. 设计均匀的散列函数，使关键字尽可能均匀分布在散列表中，减少冲突；
  2. 设计高效的冲突处理方法，当冲突发生时，能快速找到新的存储位置。

（二）散列函数的构造方法

一个好的散列函数应满足：计算简单 （时间开销小）、分布均匀（减少冲突）。常用构造方法如下：

1. 直接定址法

直接以关键字或关键字的线性函数作为散列地址：
H ( k e y ) = k e y 或 H ( k e y ) = a ⋅ k e y + b H(key) = key \quad \text{或} \quad H(key) = a \cdot key + b H(key)=key或H(key)=a⋅key+b

  • 示例 ：存储学生信息，关键字为学号（如2023001, 2023002, ...），可直接用H(key) = key - 2023000，映射到地址1,2,...
  • 特点：无冲突（关键字不重复时），但仅适用于关键字分布连续且范围较小的场景（否则散列表会过大）。

2. 数字分析法

分析关键字的各位数字，选择分布均匀的若干位作为散列地址（适用于关键字位数较多且已知分布的场景）。

  • 示例 ：存储手机号（11位：前3位运营商，中间4位地区码，后4位用户码），若后4位分布均匀，可取H(key) = 后4位数字。
  • 特点：针对性强，需预知关键字的分布规律。

3. 平方取中法

将关键字平方后，取中间几位作为散列地址（利用平方后中间位与关键字各位均相关的特性，使分布更均匀）。

  • 示例 ：关键字key=123 → 平方为15129 → 取中间3位512作为H(key)。
  • 特点：适用于关键字位数较少且分布未知的场景，如字符串哈希（先将字符串转换为数字再平方）。

4. 折叠法

将关键字分割为位数相同的若干部分（最后一部分可短些），取各部分的叠加和（舍去进位）作为散列地址。

  • 示例 ：关键字key=123456789，分割为123、456、789 → 叠加和123+456+789=1368 → 取H(key)=368（舍去高位1）。
  • 特点：适用于关键字位数较多的场景，如身份证号、长编号。

5. 除留余数法（最常用）

取关键字除以散列表长度m的余数作为散列地址：
H ( k e y ) = k e y m o d    m H(key) = key \mod m H(key)=keymodm

  • 关键 ：m的选择直接影响分布均匀性，通常取质数 （如11, 13, 17）或不包含小于20的质因数的合数（如100=2²×5²，避免与关键字的因子冲突）。
  • 示例 ：m=11（质数），关键字22,33,44 → 余数均为0（冲突）；若m=13（质数），则22%13=9，33%13=7，44%13=5（无冲突）。
  • 特点：计算简单，适用范围广，是最常用的散列函数构造方法。

6. 随机数法

选择一个随机函数，取H(key) = random(key)作为散列地址（random为随机函数）。

  • 特点：适用于关键字长度不固定的场景（如变长字符串），但需确保随机函数的稳定性（同一关键字映射到同一地址）。

（三）处理冲突的方法

即使散列函数设计得再均匀，冲突仍不可避免（称为"哈希碰撞"）。处理冲突的核心是为冲突的关键字找到新的空闲存储位置，常用方法分为"开放定址法"和"链地址法"两类。

1. 开放定址法

当冲突发生时（H(key)已被占用），按照某种规则在散列表中寻找下一个空闲位置，公式为：
H i ( k e y ) = ( H ( k e y ) + d i ) m o d    m ( i = 1 , 2 , . . . , k ,   k ≤ m − 1 ) H_i(key) = (H(key) + d_i) \mod m \quad (i=1,2,...,k, \, k ≤ m-1) Hi(key)=(H(key)+di)modm(i=1,2,...,k,k≤m−1)

  • d_i为增量序列，决定了寻找下一个位置的规则，常见增量序列如下：
（1）线性探测法（Linear Probing）

d_i = i（i=1,2,...,m-1），即依次探测下一个位置（H(key)+1, H(key)+2, ...，超过表长则循环到表头）。

  • 示例 ：m=11，H(key)=key%11，插入关键字22(0)、33(0)（冲突）：
    • 33的H_1=(0+1)%11=1（若地址1空闲，存入1）；
    • 若地址1已被占用，继续探测H_2=2，以此类推。
  • 特点：实现简单，但易产生"聚集（Clustering）"现象（冲突的关键字集中在某一区域，导致后续插入/查找效率下降）。
（2）二次探测法（Quadratic Probing）

d_i = ±i²（i=1,2,...,k，k≤m/2），即探测H(key)±1, H(key)±4, H(key)±9,...。

  • 示例 ：H(key)=0，冲突后探测1, -1(10), 4, -4(7), ...（m=11）。
  • 特点 ：减少聚集现象，但需要散列表长度m为4k+3型质数（确保能探测到所有位置），且空间利用率较低。
（3）伪随机探测法

d_i为预设的随机序列（如d_i = random(i)）。

  • 示例 ：随机序列为3,5,2,...，H(key)=0冲突后探测(0+3)%11=3、(0+5)%11=5等。
  • 特点：无聚集现象，但需保存随机序列，实现稍复杂。

2. 链地址法（Chaining，最常用）

将所有冲突的关键字（同义词）存储在同一个链表中，散列表的每个位置作为链表的头节点，指向对应同义词的链表。

  • 示例 ：m=11，H(key)=key%11，插入22(0)、33(0)、44(0)：

    复制代码 
    散列表地址0 → 22 → 33 → 44（链表串联所有同义词）
地址1 → NULL
...

  • 插入流程 ：计算H(key)，将关键字插入对应链表的头部或尾部（通常头部，插入更快）；

  • 查找流程 ：计算H(key)，遍历对应链表，比较关键字是否匹配。

  • 特点 ：

    • 无聚集现象，冲突仅影响链表长度，不扩散到其他地址；
    • 空间利用率高（散列表和链表动态分配）；
    • 插入/删除方便（无需移动其他元素），是实际应用中最常用的冲突处理方法（如Java的HashMap、Python的dict）。

3. 其他方法

  • 再散列法 ：准备多个散列函数，冲突时依次使用下一个散列函数H_1(key), H_2(key), ...，直至找到空闲位置；
  • 公共溢出区法：将散列表分为"基本表"和"溢出表"，冲突的关键字统一存入溢出表，查找时先查基本表，未找到再查溢出表。

（四）散列表的查找

散列表的查找过程与插入过程对应，核心是"通过散列函数定位初始位置，若冲突则按处理规则继续查找"。

1. 查找步骤（以链地址法为例）

  1. 计算待查找关键字key的散列地址H(key)；
  2. 遍历散列表H(key)位置对应的链表：
    • 若找到关键字等于key的节点，查找成功，返回该节点；
    • 若遍历完链表仍未找到，查找失败。

2. 代码实现（链地址法）

c 复制代码 
#define m 11  // 散列表长度（质数）
#define NULL_KEY -1  // 空关键字标识

// 链表节点结构（存储同义词）
typedef struct Node {
    int key;                // 关键字
    struct Node *next;      // 指向下一个同义词
} Node, *LinkList;

// 散列表结构（数组+链表）
typedef struct {
    LinkList elem[m];       // 散列表数组，每个元素为链表头指针
} HashTable;

// 初始化散列表
void InitHashTable(HashTable *HT) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        HT->elem[i] = NULL;  // 所有链表初始为空
    }
}

// 散列函数（除留余数法）
int Hash(int key) {
    return key % m;
}

// 插入关键字到散列表
void InsertHash(HashTable *HT, int key) {
    int addr = Hash(key);                // 计算散列地址
    Node *p = (Node*)malloc(sizeof(Node));// 创建新节点
    p->key = key;
    p->next = HT->elem[addr];            // 插入到链表头部（头插法）
    HT->elem[addr] = p;
}

// 散列表查找
Node* SearchHash(HashTable HT, int key) {
    int addr = Hash(key);                // 计算初始地址
    Node *p = HT->elem[addr];            // 指向对应链表
    // 遍历链表查找关键字
    while (p != NULL && p->key != key) {
        p = p->next;
    }
    return p;  // 成功返回节点，失败返回NULL
}

3. 性能分析

散列表的查找效率取决于装载因子（Load Factor） ：
α = n m \alpha = \frac{n}{m} α=mn

  • n：散列表中关键字的实际数量；
  • m：散列表的长度；
  • α越小，冲突概率越低，查找效率越高（理想情况α=0，无冲突）。
（1）平均查找长度（ASL）
  • 链地址法 ：在随机情况下，查找成功的ASL ≈ 1 + α/2，查找失败的ASL ≈ α（α为链表平均长度）；
  • 开放定址法 ：查找成功的ASL ≈ -\frac{1}{\alpha} \ln(1-\alpha)，查找失败的ASL ≈ \frac{1}{1-\alpha}（0 < α < 1）。
（2）时间复杂度
  • 理想情况（无冲突）：O(1)；
  • 平均情况：O(1)（α控制在0.7~0.8以下时）；
  • 最坏情况（所有关键字冲突，如链地址法退化为单链表）：O(n)。
（3）空间复杂度
  • 链地址法：O(n + m)（n个关键字节点，m个头指针）；
  • 开放定址法：O(m)（固定大小的数组）。

4. 适用场景

散列表是"以空间换时间"的典型应用，适用于：

  • 需频繁查找、插入、删除的场景（如缓存系统、数据库索引、哈希表数据结构）；
  • 关键字分布较均匀，且可设计有效散列函数的场景；
  • 不要求关键字有序存储的场景（散列表中的关键字无序）。

实际应用中，Java的HashMap、Python的字典、C++的unordered_map等均基于散列表实现，核心是通过链地址法处理冲突，并动态调整散列表大小（当α过大时扩容）以维持高效查找。

👊 章结

"查找"是数据结构中针对"数据检索"的核心操作，其效率直接决定了数据处理系统的性能。本章围绕不同存储结构（线性表、树、散列表），系统讲解了多种查找算法的原理、实现与适用场景，核心是根据数据的规模、有序性、动态性及存储环境，选择最优的查找策略。以下从核心逻辑、算法对比、选型原则三方面进行总结：

一、查找算法的核心逻辑与分类

查找的本质是"根据关键字在查找表中定位目标元素"，根据查找表的存储结构，可将算法分为三大类，其核心逻辑各有侧重：

1. 线性表查找：基于"线性遍历"或"区间划分"

  • 核心特点：数据按线性关系存储（顺序表/链表），查找过程依赖元素的线性顺序或块间有序性；
  • 代表算法 ：
    • 顺序查找：无前提条件，通过逐元素比较定位，逻辑最简单但效率最低；
    • 折半查找：依赖"有序顺序表"，通过二分缩小查找范围，效率高但需维护有序性；
    • 分块查找：结合"块间有序、块内无序"，先查索引表（缩小范围），再查块内（线性遍历），兼顾灵活性与效率。

2. 树表查找：基于"层级划分"与"平衡维护"

  • 核心特点：数据按树形结构存储，通过树的层级关系逐层缩小查找范围，支持动态插入/删除（无需大规模移动元素）；
  • 代表算法 ：
    • 二叉排序树：利用"左小右大"的特性，查找逻辑与二分思想类似，但易退化为单链表；
    • 平衡二叉树（AVL树）：在二叉排序树基础上通过"旋转"维护平衡性，确保查找效率稳定为O(log n)；
    • B-树/B+树：多路平衡查找树，针对外部存储（磁盘）设计，通过增大节点关键字数量降低树高，减少磁盘I/O次数，B+树额外优化范围查找（叶子节点串联）。

3. 散列表查找：基于"直接映射"与"冲突处理"

  • 核心特点 ：通过散列函数将关键字直接映射到存储地址，跳过中间比较过程，理论上可实现O(1)平均时间复杂度；
  • 关键设计 ：
    • 散列函数：需满足"计算简单、分布均匀"（如除留余数法），减少冲突；
    • 冲突处理：通过开放定址法（线性探测）或链地址法（链表串联）解决同义词冲突，链地址法因无聚集问题应用最广。

二、核心算法性能与适用场景对比

不同查找算法的性能（时间复杂度、空间复杂度、稳定性）差异显著，需结合实际需求选择，下表为核心指标对比：

算法类型 代表算法 时间复杂度（平均） 空间复杂度 稳定性 核心前提条件 适用场景
线性表查找 顺序查找 O(n) O(1) 稳定 无（顺序表/链表均可） 小规模数据、无序表、链表存储
折半查找 O(log n) O(1) 稳定 有序顺序表 静态有序数据、高频查找、低频插入/删除
分块查找 O(√n) O(b) 稳定 分块有序（块间有序、块内无序） 中等规模数据、需兼顾查找与插入灵活性
树表查找 二叉排序树 O(log n)(理想) O(n) 不稳定 无（动态维护有序） 动态查找表、关键字分布随机
平衡二叉树 O(log n) O(n) 不稳定 动态维护平衡（旋转调整） 动态查找表、需稳定查找效率（如实时系统）
B+树 O(log_m n) O(n) 稳定 多路平衡、外部存储 数据库索引、文件系统（需高效范围查找）
散列表查找 链地址法散列 O(1) O(n+m) 不稳定 散列函数均匀、冲突处理合理 高频查找/插入/删除、不要求有序（如缓存）

三、查找算法的选型原则

在实际应用中，需结合以下4个核心因素选择查找算法，平衡效率、复杂度与业务需求：

1. 数据规模：小规模优先简单算法，大规模侧重高效算法

  • 小规模数据（n≤100）：顺序查找（实现简单，无需额外维护成本）；
  • 中等规模数据（100<n≤10000）：折半查找（有序时）、分块查找（无序但可分块时）；
  • 大规模数据（n>10000）：平衡二叉树（内存中动态数据）、B+树（磁盘中数据库索引）、散列表（内存中高频操作）。

2. 数据动态性：静态查用"无需维护"算法，动态查用"支持增删"算法

  • 静态查找表（仅查询，不增删）：折半查找（有序）、顺序查找（无序）；
  • 动态查找表（需增删）：二叉排序树（分布随机）、平衡二叉树（需稳定效率）、散列表（高频操作）。

3. 存储环境：内存查找侧重时间，外部查找侧重I/O优化

  • 内存查找：优先选择时间复杂度低的算法（散列表、平衡二叉树），无需考虑磁盘I/O；
  • 外部查找（数据存磁盘）：必须选择B-树/B+树（通过降低树高减少磁盘块访问次数），避免频繁I/O导致效率骤降。

4. 业务需求：是否需要有序性或范围查找

  • 需有序输出或范围查找（如BETWEEN查询）：B+树（叶子节点串联，效率最高）、折半查找（有序表，支持简单范围查找）；
  • 仅需精确查找，无需有序：散列表（O(1)平均效率）、二叉排序树（实现简单）。

四、核心结论

查找算法的设计与选择，本质是"在时间复杂度、空间复杂度、实现复杂度之间寻找平衡"：

  • 追求极致效率且内存充足：优先选择散列表（需设计好散列函数和冲突处理）；
  • 需稳定效率且支持动态操作：平衡二叉树（内存中）或B+树（磁盘中）；
  • 数据有序且仅静态查询：折半查找（最简单高效）；
  • 数据无序或小规模：顺序查找（实现成本最低）。

在实际工程中（如数据库、缓存系统），往往会结合多种算法的优势（如散列表+链表解决冲突、B+树+索引优化范围查找），以适应复杂的业务场景。

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