贪心算法（最优装载问题）

贪心算法

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步决策中都采取当前状态下最优选择 的启发式策略，其核心思想是通过**"局部最优"逐步逼近"全局最优"。**它不追求对所有可能情况的枚举，而是基于某种贪心策略快速做出选择，最终希望等到问题的最优解。

核心思想

贪心算法的本质是"视短"的，它只关注当前步骤中最好的选择（局部最优），不考虑该选择对未来步骤的影响，也不回溯修改之前决策。其逻辑可概括为：

对问题进行分解，将其拆分为一系列可独立决策的子问题；
定义一个 "贪心策略"（如 "选最小""选最早""选单位价值最高" 等），用于在每个子问题中选择局部最优解；
逐步执行这些局部最优选择，累积结果，最终形成全局解。

使用条件

并非所有问题都能用贪心算法求解，它仅适用于满足以下两个条件的问题：

贪心选择性质

全局最优解可以通过一系列局部最优选择（贪心选择）得到。即，存在一种策略，使得每次选择的局部最优解能最终组合成全局最优解。
最优子结构

问题的全局最优解包含其子问题的最优解。即，若将问题拆分为子问题，子问题的最优解可用于构建原问题的最优解。

基本步骤

问题建模：将问题转化为 "多步选择" 的形式，明确每个步骤的可选方案和目标（如 "最大化收益""最小化成本"）。
确定贪心策略：设计一个规则，用于在每一步从可选方案中选择 "局部最优" 的选项（如 "选结束时间最早的活动""选单位重量价值最高的物品"）。
证明策略有效性：验证该贪心策略是否满足 "贪心选择性质" 和 "最优子结构"（关键步骤，否则可能得到非最优解）。
逐步求解：按贪心策略依次选择，累积结果，得到最终解。

典型应用场景

贪心算法在许多经典问题中被证明有效，例如：

1. 活动选择问题

问题：有若干活动，每个活动有开始时间和结束时间，选择最多的不重叠活动。
贪心策略 ：每次选择结束时间最早 的活动，然后排除与其冲突的活动，重复此过程。
原理：结束时间最早的活动能留下更多时间给后续活动，最终可得到最多不重叠活动。

2. 哈夫曼编码（Huffman Coding）

问题：为字符设计前缀码（无歧义编码），使总编码长度最短（压缩最优）。
贪心策略 ：每次选择频率最低的两个字符 合并为一个新节点，重复此过程构建哈夫曼树，树的路径即为编码。
原理：频率低的字符用较长编码，频率高的用较短编码，总长度最优。

3. 最小生成树（Prim/Kruskal 算法）

问题：在连通图中选择 n-1 条边，使所有节点连通且总权重最小。

贪心策略：

Prim 算法：从某节点出发，每次选择连接树内外的最小权重边；

Kruskal 算法：按边权重从小到大排序，每次选择不形成环的边。

原理：通过局部选择最小权重边，最终形成全局权重最小的生成树。

4. 单源最短路径（Dijkstra 算法）

问题：从起点到其他所有节点的最短路径（边权重非负）。
贪心策略 ：每次选择当前已知最短路径的节点 ，并用其更新相邻节点的路径长度。
原理：由于边权重非负，一旦某节点被选中，其最短路径即确定，无需回溯。

贪心算法的框架

例子：最优装载问题

要求：物品不可分割，要求装在最多货物。

思路：

（1）贪心策略：在所有货船里面每次选择重量最小的。

（2）局部最优解：根据贪心策略，一步一步地得到局部最优解，

例如：第一次选择一个重量最小的古董，记位置a1,第二次再从剩下的再选最小的记为a2，一次类推....

(3) 把所有的局部最优解合为原来问题的一个最优解（a1、a2......）

(4)设计古董重量的排序。（冒泡排序，快速排序都行）如图：

代码：

cpp 复制代码

#include<stdio.h>

// 函数功能：用贪心算法选择最多数量的古董（优先选轻的）
// 参数：N-古董总数，W-最大载重，q-古董重量数组
int loadAntiques(int N, double W, double q[])
{
	int ans = 0;        // 已装载的古董数量
	double totalWeight = 0.0;  // 已装载的总重量
	
	// 1. 冒泡排序：将古董按重量从小到大排序（贪心策略基础）
	for (int i = 0; i < N - 1; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N - i - 1; j++)
		{
			// 若前一个比后一个重，则交换（注意用double类型临时变量）
			if (q[j] > q[j + 1])
			{
				double temp = q[j];  // 修正：temp应为double类型（原代码用int错误）
				q[j] = q[j + 1];
				q[j + 1] = temp;
			}
		}
	}
	
	// 2. 贪心选择：从最轻的开始装，直到超重
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		// 修正：先判断加上当前古董是否超重，不超重才装载（原代码逻辑反了）
		if (totalWeight + q[i] <= W)
		{
			totalWeight += q[i];
			ans++;
		}
		else
		{
			break;  // 超重则停止装载
		}
	}
	
	// 输出结果
	printf("最大古董数量为：%d个\n", ans);
	printf("船上总重量为：%lf吨\n", totalWeight);
	
	return 0;
}

int main()
{
	int N = 8;          // 古董总数
	double W = 30.0;    // 船的最大载重
	double q[8];        // 存储每个古董的重量
	
	// 修正：循环读取8个古董的重量（原代码只读取了1个）
	printf("请输入8个古董的重量（吨）：\n");
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		scanf("%lf", &q[i]);  // 注意取地址符&
	}
	
	// 调用函数计算最大装载量
	loadAntiques(N, W, q);
	
	return 0;
}

结果：