Dijkstra 算法 - 技术栈

Dijkstra 算法用来计算边权均非负的单源最短路径算法。

Dijkstra 算法简介

Dijkstra 算法是一种用于在加权图中找到单源最短路径的贪心算法，适用于边权非负的图。其核心思想是通过逐步扩展已知最短路径的顶点集合，最终得到从源点到所有其他顶点的最短路径。

算法步骤

初始化
- 创建一个距离数组 dist[]，dist[v] 表示源点到顶点 v 的当前最短距离。初始时，dist[源点] = 0，其余顶点为无穷大（∞）。
- 创建一个优先队列（最小堆）或未处理顶点集合，用于存储待处理的顶点。
选择未处理顶点中距离最小的顶点
- 从优先队列中取出距离最小的顶点 u，标记为已处理。
松弛操作（Relaxation）
- 遍历 u 的所有邻接顶点 v，检查是否通过 u 可以缩短到 v 的距离：
  - 若 dist[u] + weight(u, v) < dist[v]，则更新 dist[v] 为 dist[u] + weight(u, v)。
  - 将 v 加入优先队列（若未处理）。
重复步骤 2-3
- 直到所有顶点均被处理或优先队列为空。

伪代码实现

复制代码

def dijkstra(graph, source):
    dist = {v: float('infinity') for v in graph}
    dist[source] = 0
    priority_queue = [(0, source)]
    visited = set()

    while priority_queue:
        current_dist, u = heapq.heappop(priority_queue)
        if u in visited:
            continue
        visited.add(u)
        
        for v, weight in graph[u].items():
            if dist[v] > current_dist + weight:
                dist[v] = current_dist + weight
                heapq.heappush(priority_queue, (dist[v], v))
    
    return dist

时间复杂度

优先队列实现 （如二叉堆）：
- 时间复杂度为 $O((V + E) \\log V)$ ，其中 $V$ 为顶点数， $E$ 为边数。
数组实现 （未优化）：
- 时间复杂度为 $O(V\^2)$ ，适用于稠密图。

应用场景

路由协议（如 OSPF）。
地图导航中的最短路径规划。
网络延迟分析。

注意事项

仅适用于边权非负的图。若存在负权边，需使用 Bellman-Ford 算法。
稠密图中，使用斐波那契堆可将时间复杂度优化至 $O(E + V \\log V)$ 。

示例

假设有以下加权图（邻接表表示）：

复制代码

graph = {
    'A': {'B': 1, 'C': 4},
    'B': {'A': 1, 'C': 2, 'D': 5},
    'C': {'A': 4, 'B': 2, 'D': 1},
    'D': {'B': 5, 'C': 1}
}

以 'A' 为源点，运行 Dijkstra 算法后得到的 dist 结果为：

复制代码

{'A': 0, 'B': 1, 'C': 3, 'D': 4}