在前一节我们聊过集合与逻辑，它们像是数学的"语法规则"。
这一节我们要进入"数列与级数"------这是数学中描述"无限"的重要工具。
为什么它们重要？
- 机器学习中的 迭代优化算法（比如梯度下降），其实就是在研究数列是否"收敛"。
- 神经网络里的 激活函数展开 （如 exe^xex 的泰勒展开），背后依赖幂级数。
0-2 数列与级数
1. 什么是数列？
数列就是一个 有序的数的排列。
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数学符号：
a1,a2,a3,...,an,...a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dotsa1,a2,a3,...,an,... -
生活类比：
就像每天的天气温度记录：第 1 天 30℃，第 2 天 29℃，第 3 天 28℃......这就是一个数列。
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Python 里：
pythona = [1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5] # 1/n 数列
数列的关键问题：当 n→∞n \to \inftyn→∞ 时，它会不会趋近于某个固定的值？
如果有，那就是"收敛"；如果没有，那就是"发散"。
2. 收敛性
定义
如果存在一个实数 LLL，使得随着 nnn 的增大，ana_nan 无限接近 LLL，
那么称数列 an{a_n}an 收敛于 LLL，记作：
limn→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = Llimn→∞an=L
例子
- an=1na_n = \frac{1}{n}an=n1，随着 nnn 越来越大，值越来越接近 0，因此收敛到 0。
- an=(−1)na_n = (-1)^nan=(−1)n，序列是 1,−1,1,−1,...1, -1, 1, -1, \dots1,−1,1,−1,...，它没有固定极限，因此发散。
a1 = 1 a2 = 1/2 a3 = 1/3 a4 = 1/4 极限 L=0
图示说明 ：数列 1/n1/n1/n 的收敛过程，它逐渐靠近 0。
在机器学习中的应用：
- 梯度下降法的迭代点 xk+1=xk−η∇f(xk)x_{k+1} = x_k - \eta \nabla f(x_k)xk+1=xk−η∇f(xk) 其实就是一个数列，目标是"收敛"到最优点。
- 如果学习率 η\etaη 太大，数列可能"发散"，模型训练就会失败。
3. 级数
当我们把一个数列的所有项加起来，就得到了级数：
Sn=a1+a2+a3+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_nSn=a1+a2+a3+⋯+an
如果部分和 SnS_nSn 随着 n→∞n \to \inftyn→∞ 收敛到某个数 SSS，
那么称这个级数 收敛 ，极限 SSS 称为它的和。
例子
- 调和级数 ：
1+12+13+14+...1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots1+21+31+41+...
它发散（越加越大）。 - 几何级数 ：
1+r+r2+r3+⋯=11−r,(∣r∣<1)1 + r + r^2 + r^3 + \dots = \frac{1}{1-r}, \quad (|r|<1)1+r+r2+r3+⋯=1−r1,(∣r∣<1)
这是机器学习里常见的收敛公式。
类比：
- 发工资：每个月都存 1000 元，这是"级数累加"的例子。
- 如果利息递减，就像几何级数；如果每次存的钱越来越少，就要判断能不能收敛到一个有限数额。
4. 幂级数
幂级数是形如：
∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n∑n=0∞cn(x−a)n
它可以看作一个"无限次多项式"。
- aaa 是展开点；
- cnc_ncn 是系数；
- xxx 是变量。
例子（Maclaurin 展开）：
- ex=1+x1!+x22!+x33!+...e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dotsex=1+1!x+2!x2+3!x3+...
- sin(x)=x−x33!+x55!−...\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dotssin(x)=x−3!x3+5!x5−...
图示说明 ：exe^xex 的幂级数展开，就是不断把 xn/n!x^n / n!xn/n! 加起来。
在机器学习中的应用：
- 激活函数（如 tanh(x)\tanh(x)tanh(x)、exp(x)\exp(x)exp(x)）在数值计算中常用幂级数展开来近似。
- Transformer 中的 注意力机制 里，softmax 需要计算 exe^xex，底层可能用幂级数近似加速。
- 在概率论中，生成函数和特征函数都与幂级数紧密相关，它们是研究分布的重要工具。
小结
- 数列：是一串有序的数字，核心问题是"收敛还是发散"。
- 级数：是数列的累加，也关心收敛性。
- 幂级数：是把函数展开成无限次多项式，在数值计算和 AI 里很常见。
联系 AI 的意义 ：
收敛性帮助我们理解 优化算法的稳定性 ；
级数与幂级数帮助我们 近似复杂函数，这正是深度学习中各种激活函数、概率分布计算的基础。