软考系统架构设计师知识点-数学与经济管理

知识点概览

线性规划是研究在有限的资源条件下，如果有效地使用这些资源达到预定目标的数学方法，即在一组约束条件下求目标函数的极值（极大值或极小值）。

线性规划问题的数学模型通常由线性目标函数、线性约束条件、变量非负条件组成（实际问题中的变量一般都是非负的）。

线性规划问题就是面向实际应用，求解一组非负变量，使其满足给定的一组线性约束条件，并使某个线性目标函数达到极值。满足这些约束条件的非负变量组的集合称为可行解域。可行解域中使目标函数达到极值的解称为最优解。

线性规划问题的最优解：无可行解、无最优解、一个最优解或无穷多个最优解。

快速解题步骤（求交点）：①根据题目条件列出不等式或不等式组；②将不等关系特殊化为等式，两两等式联立求交点；③若交点值满足所有约束条件，直接代入目标函数求得极值即可；若交点值不满足约束条件，继续计算其他两两等式。（若交点值不满足实际情况，取附近值即可，如小数个人）。

蒙特卡罗(MonteCarlo)方法由冯·诺依曼、乌拉姆等人发明，因赌场而得名，是一类基于概率的方法的统称

工作原理

使用随机数来解决计算问题。不断抽样，逐渐逼近，采样越多，越近似最优解。例如民意调查，π的计算。

应用案例

扇形面积 =(πr^2)/4 ，正方形面积=r^2,扇形面积/正方形面积 =(π+r^2)/4/r2=π/4。现往正方形内随机打点，在扇形内点的概率=扇形面积/正方形面积 =π/4 ，即可求得π=概率4。

数学建模是对现实世界的一种近似的、简化的、易于求解的抽象描述。通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型。

数学建模过程

模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立：在假设的基础上，利用适当的数字工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数字工具。
模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。如敏感性分析：测试模型对参数变化的敏感性。对计算结果进行检验，分析计算结果对参数变化的反应程度。
模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建摸过程。
模型应用：将模型应用于新的数据集或场景中，以进行预测或决策支持。应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

数学建模方法

数学建模原则

需要在简单性和准确性之间求得平衡
对同一问题可以建立多种数学模型。数学模型也常带有一些可变的参数。选用哪个模型，或选择什么样的参数，这需要反复多次试验，根据求解失败的教训或用户的反馈意见逐步对模型进行修正或改进，逐步完善模型。

动态规划的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，以解决最优化问题的算法策略。

决策论是研究为了达到预期目的，从多个可供选择的方案中如何选取最好或满意方案的学科。

决策的六个要素：决策者、可供选择的方案（包括行动、策略）、衡量选择方案的准则（目的、目标、正确性等）、事件（被决策的对象）、每一事件的发生将会产生的某种结果、决策者的价值观。

决策论的分类

不确定型决策的五种方案

乐观主义准则，大中取大max(max),先取每个方案最大的收益，再取所有最大收益中最大的那个；
悲观主义准则，小中取大max(min),先取每个方案最小的收益，再取所有最小收益中最大的那个；
折中主义准则，设定折中系数a,用每个方案的最大收益a+最小收益(1-a),选择每个方案中计算结果最大的那个，可知，a=1时为乐观主义，a=0时为悲观主义；
等可能性准则，设定每个可能结果的发生都是等可能的，这样就知道每个结果发生的概率，即将不确定型的问题转换为了风险决策问题；
后悔值准则，最小最大后悔值min(max),计算各个方案在每种情况下的后悔值（后悔值=各个方案在该情况下的最大收益-该情况下该方案的收益)，找出各个方案的最大后悔值，再从这些最大后悔值中选出最小值，这个最小值对应的策略就是选择的策略。