算法提升之单调数据结构-（单调队列）

继昨天跟大家分享了有关单调栈的内容，今天将给大家分享的是有关单调队列的有关内容，可以发现单调队列常用来处理的是某一个区间内的最大与最小值。

单调队列的核心作用

在这个问题中，我们需要处理长度为k的滑动窗口，对每个窗口求最大值和最小值。单调队列的作用是在 O (n) 时间复杂度内完成所有窗口的最大 / 最小值计算，比暴力法（O (nk)）高效得多。

代码中的两个单调队列

qmax：维护当前窗口中最大值的单调递减队列
qmin：维护当前窗口中最小值的单调递增队列

问题描述

熊大和熊二在玩游戏。他们将 n 个正整数 a 1,a 2,...,a n 排成一行，然后各用一个长度为 k 的框在这个数组中各自随机框选出一段长度为 k 的连续子序列（随机框选指在合法的 n−k+1 个连续子序列中均匀随机）。熊大记录了他框出的 k 个数中的最大值 P，熊二记录了他框出的 k个数的最小值 Q，他们突然有个疑问：P−Q的期望是多少？

2024-11-27 Update：Java 时限调整至 1s

输入描述

输入共 2 行。

第一行为两个正整数 n ,k。

第二行为 n 个由空格隔开的正整数a 1,a 2,...,a n。

输出描述

输出共 1 行，一个浮点数（请保留两位小数）。

输入案例：

cpp 复制代码

3 2
1 2 3

输出案例：

cpp 复制代码

1.00

代码部分：

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n, k;
int main()
{
  cin >> n >> k;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        cin >> a[i];
    }
    deque<int> qmax, qmin;
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        if (qmax.size() && qmax.front() < i - k + 1)
            qmax.pop_front();
        if (qmin.size() && qmin.front() < i - k + 1)
            qmin.pop_front();
        while (qmax.size() && a[qmax.back()] < a[i])
            qmax.pop_back();
        while (qmin.size() && a[qmin.back()] > a[i])
            qmin.pop_back();
        qmax.push_back(i);
        qmin.push_back(i);
        if (i >= k - 1)
            ans += a[qmax.front()] - a[qmin.front()];
    }
    double res = 1.0*ans / (n - k + 1);
    printf("%.2f",res);
    return 0;
}

注意点⚠️：

cpp 复制代码

if (qmax.size() && qmax.front() < i - k + 1)
    qmax.pop_front();
if (qmin.size() && qmin.front() < i - k + 1)
    qmin.pop_front();

这部分确保队列头部元素在当前窗口范围内（ $i-k+1, i$ ），如果超出范围则移除

2.维护单调队列特性

cpp 复制代码

// 维护递减队列（最大值）
while (qmax.size() && a[qmax.back()] < a[i])
    qmax.pop_back();

// 维护递增队列（最小值）
while (qmin.size() && a[qmin.back()] > a[i])
    qmin.pop_back();

3.添加新元素并计算结果

cpp 复制代码

qmax.push_back(i);
qmin.push_back(i);

if (i >= k - 1)  // 窗口大小达到k时开始计算
    ans += a[qmax.front()] - a[qmin.front()];

要注意单调栈和单调队列其实都是有自身的局限性的，但是对于处理固定数组下的特定区间问题往往会比暴力法更快，会比其他方法更简单，对于一些算法题可以起到出其不意的效果。