🧠 一、剪切变换是什么？
剪切（Shear）变换 是一种 仿射变换 ，它会让一个图形的形状发生"倾斜"，角度改变但面积保持不变。
- 不改变面积 ✅
- 不改变平行性 ✅
- 改变角度和形状 ✅
- 改变坐标 ✅
简而言之：
剪切变换是"沿某个方向将图形拉斜"。
🧮 二、数学定义（线性代数视角）
剪切变换通常表现为一种线性变换，可以写成矩阵乘法的形式：
✅ 在二维空间（2D）：
- 沿 X 轴剪切（水平剪切）：
$$
\begin{bmatrix}
x' \
y'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & k \
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x + ky \
y
\end{bmatrix}
👉 x 会根据 y 发生偏移，y 不变。 *** ** * ** *** 2. **沿 Y 轴剪切（垂直剪切）**： ##
\begin{bmatrix}
x' \
y'
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
k & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y + kx
\end{bmatrix}
👉 y 会根据 x 发生偏移，x 不变。 *** ** * ** *** #### ✅ 剪切矩阵通式 二维剪切的一般形式矩阵： Shear(kx,ky)=\[1kxky1\] \\text{Shear}(k_x, k_y) = \\begin{bmatrix} 1 \& k_x \\\\ k_y \& 1 \\end{bmatrix} Shear(kx,ky)=\[1kykx1\] * 当 kx≠0,ky=0k_x ≠ 0, k_y = 0kx=0,ky=0：水平剪切 * 当 kx=0,ky≠0k_x = 0, k_y ≠ 0kx=0,ky=0：垂直剪切 * 当 kx≠0,ky≠0k_x ≠ 0, k_y ≠ 0kx=0,ky=0：双向剪切（斜向拉伸） *** ** * ** *** ### 📐 三、几何直观：图形怎么变？ #### 🔲 示例：剪切前后图形变化 假设我们有一个单位正方形： 原始顶点： A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) 经过剪切（水平剪切，k = 1）： 新顶点： A(0, 0) B(1, 0) C(1 + 1 = 2, 1) D(0 + 1 = 1, 1) 变成： 剪切后平行四边形： A(0,0), B(1,0), C(2,1), D(1,1) *** ** * ** *** ### 🧭 四、剪切变换的特性总结 | 属性 | 是否满足 | 说明 | |--------|------|-------------------| | 线性变换 | ✅ | 没有平移项（可以写成矩阵乘法） | | 面积不变 | ✅ | 对于某些剪切（行列式为 1） | | 平行性保持 | ✅ | 原来平行的线剪切后仍然平行 | | 长度角度保持 | ❌ | 向量长度和角度通常会变化 | | 可逆性 | ✅ | 如果剪切矩阵可逆（行列式 ≠ 0） | *** ** * ** *** ### 📷 五、图像处理中的剪切变换 剪切变换在图像处理中用途广泛，主要包括： * 图像倾斜矫正（文档扫描） * 数据增强（OCR、手写识别） * 仿射几何变换（如 `cv2.getAffineTransform()` + `cv2.warpAffine()`） 💡 **OpenCV 中的剪切实现**： ```python import cv2 import numpy as np image = cv2.imread("image.png") rows, cols = image.shape[:2] # 构造剪切矩阵 M = np.float32([[1, 0.5, 0], [0, 1, 0]]) # 水平剪切 sheared = cv2.warpAffine(image, M, (cols, rows)) ``` *** ** * ** *** ### 🔗 六、在神经网络中的关联 虽然剪切变换本身不是神经元层的计算结构，但它在以下方面出现： #### 1. **数据增强（Data Augmentation）** * 模拟真实世界中的偏斜图像 * 提高模型的泛化能力 #### 2. **空间变换网络（Spatial Transformer Network）** * 让模型自动学习仿射变换（包括剪切） *** ** * ** *** ### ✅ 七、总结表：剪切变换一览 | 项目 | 内容 | |-------|------------------------------| | 中文名 | 剪切变换 | | 英文名 | Shear / Shear Transformation | | 数学定义 | x′=Axx' = Axx′=Ax，其中 A 为剪切矩阵 | | 本质 | 改变角度，不改变平行性 | | 图形变形 | 正方形 → 平行四边形 | | 应用领域 | 图像处理、图形变换、机器学习数据增强 | | 与仿射关系 | 是仿射变换的一种（线性部分） |