【信号处理基础】傅立叶级数、傅立叶变换、拉普拉斯变换与z变换

主包感觉每个学期初都要重新看一下这几个变换的概念与联系。因此在这个学期初总结一下。

四种变换以及连续离散周期非周期的对应

一、四种变换
- [1. 傅立叶级数 (Fourier Series) - 分析周期信号的利器](#1. 傅立叶级数 (Fourier Series) - 分析周期信号的利器)
- [2. 傅立叶变换 (Fourier Transform) - 从周期扩展到非周期](#2. 傅立叶变换 (Fourier Transform) - 从周期扩展到非周期)
- [3. 拉普拉斯变换 (Laplace Transform) - 解决"不存在"的问题，并引入系统视角](#3. 拉普拉斯变换 (Laplace Transform) - 解决“不存在”的问题，并引入系统视角)
- [4. Z变换 (Z-Transform) - 离散世界的拉普拉斯](#4. Z变换 (Z-Transform) - 离散世界的拉普拉斯)
- 5.总结
二、时域-频域对称关系
- [1. 第1象限：时域连续非周期，频域连续非周期](#1. 第1象限：时域连续非周期，频域连续非周期)
- [2. 第2象限：时域离散非周期，频域连续周期](#2. 第2象限：时域离散非周期，频域连续周期)
- [3. 第3象限：时域离散周期，频域离散周期](#3. 第3象限：时域离散周期，频域离散周期)
- [4. 第4象限：时域连续周期，频域离散非周期](#4. 第4象限：时域连续周期，频域离散非周期)
- [5. 核心总结与比喻](#5. 核心总结与比喻)
三、时域-频域对称关系的理解
- [1. 时域离散性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域周期性](#1. 时域离散性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域周期性)
- [2. 时域周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域离散性](#2. 时域周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域离散性)
- [3. 时域连续性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域非周期性](#3. 时域连续性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域非周期性)
- [4. 时域非周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域连续性](#4. 时域非周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域连续性)
四、总结

一、四种变换

1. 傅立叶级数 (Fourier Series) - 分析周期信号的利器

它是什么？ 傅立叶级数是这一切的起点。它专门用于分析周期性的连续时间信号。
核心思想： 任何复杂的周期函数 ，都可以分解为一系列频率成整数倍关系的正弦波和余弦波（或者复指数函数）的叠加。
数学表达：
f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ⁡ ( n ω 0 t ) + b n sin ⁡ ( n ω 0 t ) ] f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t)] f(t)=a0+n=1∑∞[ancos(nω0t)+bnsin(nω0t)]
或者用复指数形式：
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e j n ω 0 t f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n \omega_0 t} f(t)=n=−∞∑∞cnejnω0t
其中， ω 0 \omega_0 ω0 是基波频率（与原信号周期相关）。
关键局限：
1. 只能处理周期信号。
2. 分解出的频率是离散的 （只有 n ω 0 n\omega_0 nω0 这些频率分量），所以它的频谱是离散谱。

可以把它想象成： 给你一首循环播放的歌曲（周期信号），傅立叶级数能告诉你这首歌曲是由哪几个特定频率的音符（基波、二次谐波等）组成的。

2. 傅立叶变换 (Fourier Transform) - 从周期扩展到非周期

它是什么？ 傅立叶变换是傅立叶级数的推广，用于分析非周期的连续时间信号。
核心思想： 将一个非周期信号看作周期无穷大的周期信号。当周期趋向于无穷大时，傅立叶级数中离散的频率分量就会变得无限密集，最终形成连续的频率分布。
数学表达：
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e j ω t d ω f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega f(t)=2π1∫−∞∞F(ω)ejωtdω
关键突破：
1. 解决了非周期信号的分析问题。
2. 得到的频谱是连续谱，表示信号在所有频率上的"密度"。
重大局限（也是后续变换的动机）：
- 收敛条件苛刻 ，要求信号绝对可积（ ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty ∫−∞∞∣f(t)∣dt<∞）。这意味着很多重要信号，如阶跃信号、指数增长信号等，其傅立叶变换不存在。

继续用比喻： 傅立叶变换就像是一个高级的音频分析仪，不仅可以分析循环的歌曲（周期信号），还能分析一段不重复的演讲（非周期信号），并给出一个从低到高所有频率的连续能量分布图。

3. 拉普拉斯变换 (Laplace Transform) - 解决"不存在"的问题，并引入系统视角

它是什么？ 拉普拉斯变换是傅立叶变换的"通用化"版本，主要用于分析连续时间信号和系统。
核心思想： 为了解决傅立叶变换无法处理不满足绝对可积条件的信号的问题，拉普拉斯变换给信号乘上一个指数衰减因子 e − σ t e^{-\sigma t} e−σt，强行让信号"衰减"到满足绝对可积条件。
数学表达：
F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} dt F(s)=∫0∞f(t)e−stdt
其中 s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s=σ+jω 是一个复数。
与傅立叶变换的关系：
- 拉普拉斯变换可以看作是 "广义的傅立叶变换"。
- 当拉普拉斯变换的复变量 s s s 的实部 σ = 0 \sigma = 0 σ=0 时，即 s = j ω s = j\omega s=jω，拉普拉斯变换就退化成了傅立叶变换。
- 因此，傅立叶变换是拉普拉斯变换在 s s s平面虚轴上的特例。
额外优势：
- 非常适合分析系统的稳定性（通过极点在s平面上的位置判断）。
- 将微分方程转换为代数方程，极大简化了系统求解过程。

比喻： 傅立叶变换就像一台标准显微镜，只能看清特定的样本。拉普拉斯变换则是一台功能更强的显微镜，通过调节"衰减旋钮"（实部 σ \sigma σ），可以让那些在标准显微镜下看不清的样本（不收敛的信号）变得清晰可见。同时，它还能直接分析显微镜本身（系统）的稳定性。

4. Z变换 (Z-Transform) - 离散世界的拉普拉斯

它是什么？ Z变换是拉普拉斯变换的离散时间版本 ，用于分析离散时间信号和系统（例如数字信号处理、计算机控制的系统）。
核心思想： 现代信号处理多是数字的，信号在时间上是离散的。Z变换应运而生，它是处理离散序列的强大工具。
数学表达：
F ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ f [ n ] z − n F(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n] z^{-n} F(z)=n=−∞∑∞f[n]z−n
其中 z z z 是一个复数。
与拉普拉斯变换的关系：
- 通过对连续信号进行采样，可以从拉普拉斯变换的自然推导中得到Z变换。关系式为 $z = e\^{sT} （（（T$ 是采样间隔）。
- 这个映射将拉普拉斯变换中的s平面（直角坐标）映射到Z变换中的z平面（极坐标）。
- s平面的虚轴（ s = j ω s=j\omega s=jω，对应傅立叶变换）映射到z平面的单位圆上（ z = e j ω T z = e^{j\omega T} z=ejωT， ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣z∣=1）。
地位： Z变换在离散系统中的地位，完全等同于拉普拉斯变换在连续系统中的地位。它用于分析数字滤波器的稳定性、求解差分方程等。

比喻： 如果说拉普拉斯变换是分析连续模拟世界的"瑞士军刀"，那么Z变换就是分析数字离散世界的"数字瑞士军刀"。它们功能对应，但适用的领域（连续/离散）完全不同。

5.总结

傅立叶级数 (FS)

↓ (将周期 T → ∞ T \to \infty T→∞，离散频率 -> 连续频率)
傅立叶变换 (FT)

↓ (引入衰减因子 e − σ t e^{-\sigma t} e−σt，将 j ω j\omega jω扩展为复数 s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω)
拉普拉斯变换 (LT)

↓ (对连续时间进行采样，通过映射 z = e s T z = e^{sT} z=esT )
Z变换 (ZT)

核心关系梳理：

变换名称	处理信号类型	核心变量	与其他的关系	主要应用
傅立叶级数 (FS)	连续、周期	离散频率 n ω 0 n\omega_0 nω0	基础	周期信号分解
傅立叶变换 (FT)	连续、非周期	连续频率 j ω j\omega jω	FS的推广（ T → ∞ T \to \infty T→∞）	频谱分析
拉普拉斯变换 (LT)	连续	复频率 s = σ + j ω s = \sigma + j\omega s=σ+jω	FT的推广（加衰减因子）	系统分析、稳定性、解微分方程
Z变换 (ZT)	离散	复数 z z z	LT的离散版本（ z = e s T z = e^{sT} z=esT）	数字滤波器、系统分析、解差分方程

一句话总结：
傅立叶级数和变换致力于信号的频率分析；而拉普拉斯变换和Z变换在此基础上，通过引入更复杂的域（复平面），将重点扩展到了对 整个系统（包括稳定性和瞬态响应）的分析上，并分别统治了连续和离散两大领域。

好的，这是您要求的关于傅立叶分析四象限关系的 Markdown 源码格式。

二、时域-频域对称关系

当我们进入离散时间信号处理时，有相应的对称规则：

时域离散性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域周期性
时域周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域离散性
时域连续性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域非周期性
时域非周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域连续性

四种情况，对应四个象限，时域与频域特性的四象限关系可以用以下表格清晰展示：

时域特性	频域特性	对应的数学工具
连续、非周期	连续、非周期	傅立叶变换 (FT)
离散、非周期	连续、周期	离散时间傅立叶变换 (DTFT)
离散、周期	离散、周期	离散傅立叶变换 (DFT)
连续、周期	离散、非周期	傅立叶级数 (FS)

现在，我们来逐一解读每个象限：

1. 第1象限：时域连续非周期，频域连续非周期

描述：这是最"自然"的状态，对应我们最开始讨论的傅立叶变换。
例子：一个单次的脉冲信号，一个短暂的音频片段。
工具：傅立叶变换 (FT)

2. 第2象限：时域离散非周期，频域连续周期

描述：这是对第1象限的时域信号进行采样后得到的结果。时域变离散了，根据对称性，频域变成了周期的。注意，虽然频域是连续的，但它以采样频率为周期重复。
例子：对一个单次脉冲信号进行采样后得到的离散序列。
工具：离散时间傅立叶变换 (DTFT)
- DTFT 的频谱是连续的，并且是周期的，周期为 2 π 2\pi 2π（归一化角频率）或 f s f_s fs（实际频率）。

3. 第3象限：时域离散周期，频域离散周期

描述：这是数字信号处理中最实用、最重要 的情况。我们处理的实际信号总是有限长的（非周期），但我们可以通过周期延拓 ，把它当成一个周期信号来处理。时域既是离散的，又是周期的。根据两条对称规则，频域也必然是离散且周期的。
例子：对一段1秒钟的音频进行采样，得到N个点，然后将这N个点无限重复，构成一个周期序列。
工具：离散傅立叶变换 (DFT)
- 这就是著名的FFT（快速傅立叶变换）算法所计算的对象。
- 为什么如此重要？ 因为计算机只能处理有限长、离散的数据。DFT的输出也是有限长、离散的，完美适合计算机处理。时域的N个离散点，对应频域的N个离散频率分量（也是周期重复的）。

4. 第4象限：时域连续周期，频域离散非周期

描述：这是我们最开始讨论的傅立叶级数。
例子：任何连续的周期波形，如方波、三角波。
工具：傅立叶级数 (FS)

5. 核心总结与比喻

变换	时域特性	频域特性	应用场景/比喻
FS	连续、周期	离散、非周期	分析模拟电路中的周期信号
FT	连续、非周期	连续、非周期	理论分析，分析单个脉冲
DTFT	离散、非周期	连续、周期	理论分析离散系统（如数字滤波器频率响应）
DFT (FFT)	离散、周期	离散、周期	实际计算的王者，所有数字频谱分析的基础（音频、图像、通信等）

这四象限关系完美地展现了时域与频域之间的深刻对称性，是理解所有傅立叶相关变换的基石。

三、时域-频域对称关系的理解

其中的核心思想：信息守恒与对偶性。

首先要理解一个基本前提：时域和频域只是观察同一信号的两种不同视角。无论怎么变换，信号包含的"信息量"是守恒的。

这四条关系实际上是两组完美的对偶关系：

离散性 ↔ \leftrightarrow ↔ 周期性（核心对偶）
连续性 ↔ \leftrightarrow ↔ 非周期性（另一组对偶）

1. 时域离散性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域周期性

数学证明：

时域采样在数学上等于原信号乘以冲激串：
x s ( t ) = x ( t ) ⋅ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s) xs(t)=x(t)⋅n=−∞∑∞δ(t−nTs)

根据傅立叶变换的频域卷积定理：
X s ( f ) = X ( f ) ∗ 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ δ ( f − k f s ) X_s(f) = X(f) * \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - kf_s) Xs(f)=X(f)∗Ts1k=−∞∑∞δ(f−kfs)

结果是：
X s ( f ) = 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k f s ) X_s(f) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f - kf_s) Xs(f)=Ts1k=−∞∑∞X(f−kfs)

这就证明了频谱会以 f s f_s fs 为周期重复！

直观理解（采样模糊性）：

当时域离散（采样）后，我们失去了采样点之间的信息
这就产生了频率模糊 ：一个频率为 f f f 的信号和频率为 f + k f s f + kf_s f+kfs 的信号在采样点上看起来完全一样
这种模糊性在频域表现为频谱周期性重复

比喻： 就像电影帧率不够时，车轮旋转看起来会变慢甚至倒转（频域周期性体现为频率混叠）

2. 时域周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域离散性

数学证明：

周期信号可以表示为：
x T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ x 0 ( t − n T ) x_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_0(t - nT) xT(t)=n=−∞∑∞x0(t−nT)

其傅立叶变换为：
X T ( f ) = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X 0 ( k T ) δ ( f − k T ) X_T(f) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_0\left(\frac{k}{T}\right) \delta\left(f - \frac{k}{T}\right) XT(f)=T1k=−∞∑∞X0(Tk)δ(f−Tk)

频谱变成了在谐波频率处的离散冲激！

直观理解（谐波分解）：

周期信号不断重复自身，只需要那些能"契合"这个周期的频率成分
这些就是基频 f 0 = 1 / T f_0 = 1/T f0=1/T 及其整数倍谐波
非谐波频率会破坏周期性，因此不被需要

比喻： 周期信号就像节拍器，只需要与节拍同步的"音符"（离散频率）

3. 时域连续性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域非周期性

数学角度：

连续性意味着信号在任意时间点都有定义
在傅立叶分析中，时域连续对应的是积分变换（而不是求和）
积分会产生连续的频谱分布

物理角度：

连续时间信号可以包含任意时间尺度的变化
这对应于频域中可能包含任意频率成分
没有周期性约束，频谱可以自由变化（非周期）

例子： 一个单次的光脉冲（时域连续非周期）有很宽的光谱（频域连续非周期）

4. 时域非周期性 ↔ \leftrightarrow ↔ 频域连续性

数学角度：

非周期信号可以看作周期 T → ∞ T \to \infty T→∞ 的极限情况
当 T → ∞ T \to \infty T→∞ 时，频域中的谐波间隔 Δ f = 1 / T → 0 \Delta f = 1/T \to 0 Δf=1/T→0
离散的谐波谱就变成了连续的频谱

物理角度：

非周期信号是"一次性"的，不重复的
为了准确表示这种独特形状，需要"动员"所有频率成分
频谱因此变得连续

例子： 说话时发出的"啊"声（非周期）包含连续的频率分布

四、总结

这四大变换构成了信号与系统分析的完整理论体系，而时域-频域的对称性则是理解这一体系的核心钥匙。掌握这些关系不仅有助于理论学习，更为后续的数字信号处理、通信系统、控制理论等应用课程奠定坚实基础。

时域频域是对偶世界，约束与自由在此消彼长中保持完美平衡。