5分钟学会微算法——Brian Kernighan 算法

Brian Kernighan 算法是一种高效计算二进制数中 1 的个数 （即 "汉明重量 / Hamming Weight"）的经典算法，由计算机科学家 Brian Kernighan（C 语言设计者之一）提出。其核心优势是循环次数仅等于二进制中 1 的个数，比 "逐位遍历所有二进制位" 的暴力法更高效。

算法核心原理

Brian Kernighan 算法的核心依赖一个关键的位运算性质：对对于任意整数 x，令 x=x & (x−1)，该运算将 x 的二进制表示的最后一个 1 变成 0，并保持其他位不变。

为什么 n & (n - 1) 能消除最右边的 1？

从二进制减法的逻辑可解释：

1. 若 n 的二进制末尾是 k 个 0（例如 n = 12，二进制为 1100，末尾 2 个 0）：
   • n - 1 会将末尾的 k 个 0 全部变为 1，且将最右边的那个 1 变为 0（例如 12 - 1 = 11，二进制为 1011，1011 & 1100 = 1000）。
2. 若 n 的二进制末尾是 1（例如 n = 13，二进制为 1101）：
   • n - 1 直接将末尾的 1 变为 0（例如 13 - 1 = 12，二进制为 1100，1100 & 1101 = 1100）。

此时对 n 和 n - 1 做 "按位与（&）" 运算，由于最右边的 1 已被 n - 1 翻转为 0，且其右侧的位全为 1（与 n 的右侧 0 对应），最终结果会精准消除 n 最右边的 1。

示例 ：以 n = 13（二进制 1101）为例

• 第 1 次：n = 13 (1101)，n-1 = 12 (1100)，n & (n-1) = 12 (1100) → 消除最右边的 1（末尾的 1），计数 + 1。
• 第 2 次：n = 12 (1100)，n-1 = 11 (1011)，n & (n-1) = 8 (1000) → 消除最右边的 1（第 3 位的 1），计数 + 1。
• 第 3 次：n = 8 (1000)，n-1 = 7 (0111)，n & (n-1) = 0 (0000) → 消除最右边的 1（第 4 位的 1），计数 + 1。
• 此时 n = 0，循环结束，最终计数为 3（13 的二进制确实有 3 个 1）。

算法流程

1. 初始化计数 ：设置一个计数器 count = 0，用于记录 1 的个数。

2. 循环消除 1 ：只要 n != 0，就执行以下操作：

   • 计算 n = n & (n - 1)，消除 n 最右边的 1。
   • 计数器 count += 1（每消除一个 1，计数加 1）。

3. 返回结果 ：当 n 变为 0 时，count 即为二进制中 1 的总个数。

   int countOneBits(int n) {
       int count = 0;
       while (n) {          // 当 n 不为 0 时循环
           n &= (n - 1);    // 消除最右边的 1
           count++;         // 计数加 1
       }
       return count;
   }

简单推理

对于（n = 1,2,3,......）都是最高位是1，其余位都是0的，所以如果 i & (i - 1) = 0，则i是2的整数次幂。

方法开拓

如果想要线性的求n个数的二进制1的个数，可以采用动态规划的方法。

比如对于二进制数1010,可以看做1010 = 1000 + 10，我设x=1010，y=1000，z=10，其中z=x-y。

而且不难发现z的二进制中1的个数=y的二进制中1的个数+z的二进制中1的个数，而y是2的n次幂的类型，所有bit1[x] = bit1[x - y] + 1 =bit1[z] + 1;//这里的bit1代表二进制中1的个数。

leetcode例题

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int n) {
        int level = 0;
        vector<int> ans(n+1);
        ans[0] = 0;
        for(int i = 1;i <= n;++i){
            if(!(i & (i - 1))){
                level = i;
            }
            ans[i] = ans[i - level] + 1;
        }
        return ans;
    }
};