使用matlab进行牛顿迭代求函数极值的方法

以下是一个使用 牛顿迭代法(Newton-Raphson Method) 求解非线性方程的 MATLAB 例程。根据你的要求:

  • 给定初值 t
  • 使用步长 h 近似导数(因为你说"步长 h",我们假设你希望用数值微分)
  • 迭代终止条件为:|f'(t)| ≈ 0(这实际上不太标准,通常终止条件是 |f(t)| < tol|t_{k+1} - t_k| < tol,但既然你明确要求 f'(t) = 0,我们理解为你想找到函数的驻点,即导数为零的点)

目标:

用牛顿法寻找函数(t) 的驻点(即f′(t)=0 的解),这等价于对f′(t) 使用牛顿法求根。

所以我们实际上是求解:

Find t such that f′(t)=0

为此,我们需要:

  • f′(t)
  • f′′(t)

若不知道解析导数,可用数值方法近似。

MATLAB 程序代码如下:

function newton_find_critical_point()

% 牛顿法寻找函数 f(t) 的驻点(f'(t) = 0)

% 使用数值微分计算一阶和二阶导数

% 参数设置

t = 2.0; % 初值

h = 1e-5; % 步长(用于数值微分)

tol = 1e-8; % 迭代终止精度(|f'(t)| < tol)

max_iter = 100; % 最大迭代次数

fprintf('牛顿法寻找 f''(t)=0 的解(驻点)\n');

fprintf('初值 t0 = %.6f, 步长 h = %.2e\n', t, h);

for iter = 1:max_iter

% 数值计算一阶导数 f'(t)

fp = (f(t + h) - f(t - h)) / (2*h); % 中心差分

% 若 |f'(t)| 已足够小,停止迭代

if abs(fp) < tol

fprintf('收敛!在第 %d 次迭代后停止。\n', iter);

fprintf('驻点 t* = %.8f, f''(t*) = %.2e\n', t, fp);

return;

end

% 数值计算二阶导数 f''(t)

fpp = (f(t + h) - 2*f(t) + f(t - h)) / (h^2); % 二阶中心差分

% 避免除以零

if abs(fpp) < 1e-14

error('二阶导数接近零,无法继续牛顿迭代。');

end

% 牛顿迭代更新:t_{k+1} = t_k - f'(t_k)/f''(t_k)

t_new = t - fp / fpp;

fprintf('迭代 %2d: t = %.8f, f''(t) = %.2e, f''''(t) = %.2e\n', ...

iter, t, fp, fpp);

% 更新 t

t = t_new;

end

fprintf('警告:未在 %d 次迭代内收敛。\n最后的 t = %.8f, |f''(t)| = %.2e\n', ...

max_iter, t, abs(fp));

end

% 定义目标函数 f(t)

% 注意:我们是在找 f'(t)=0 的点(极值点)

function y = f(t)

% 示例函数:f(t) = t^3 - 3*t^2 + 2*t + 1

% 其导数 f'(t) = 3t^2 - 6t + 2

% 解 f'(t)=0 → t = 1±√(1/3) ≈ 1±0.577

y = t^3 - 3*t^2 + 2*t + 1;

end

说明:

  • 该程序使用 数值微分(中心差分)来估计f′(t) 和f′′(t)。

  • 牛顿法用于求解 0f′(t)=0,即函数的极值点。

  • 更新公式: tk+1​=tk​−f′′(tk​)f′(tk​)​

  • 终止条件是∣f′(tk)∣<tol,符合你的要求。

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