机器人、具身智能的起步——线性系统理论|【二】状态空间方程的解

线性系统理论二：状态空间方程的解

1. 问题背景：为什么要研究这个？

线性系统可以用两种模型描述：

连续时间（CT） : x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)
离散时间（DT） : x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)

其中 x(t)x(t)x(t) 是状态，u(t)u(t)u(t) 是输入，y(t)y(t)y(t) 是输出。A(t),B(t),C(t),D(t)A(t), B(t), C(t), D(t)A(t),B(t),C(t),D(t) 是随时间变化的系数矩阵（因此叫"时变"）。

对于离散系统，解可以很容易地递归计算 出来（知道 x(0)x(0)x(0) 就能算出 x(1)x(1)x(1), 然后 x(2)x(2)x(2) ...）。但对于连续系统，我们需要一套数学工具来求出其解析解，这就是本讲的重点。

2. 理论基础：微分方程解的存在与唯一性

对于一个一般的非线性微分方程 x˙=f(t,x),x(t0)=x0\dot{x} = f(t, x), \quad x(t_0) = x_0x˙=f(t,x),x(t0)=x0，需要满足两个条件：

f(t,x)f(t, x)f(t,x) 关于 ttt 分段连续：允许系数矩阵有有限的、不连续的点（例如开关动作），但在大部分时间是连续的。
f(t,x)f(t, x)f(t,x) 关于 xxx 是 Lipschitz 连续的 ：存在一个函数 L(t)L(t)L(t)，使得对于任意状态 x1,x2x_1, x_2x1,x2，有 ∣f(t,x1)−f(t,x2)∣≤L(t)∣x1−x2∣|f(t, x_1) - f(t, x_2)| \leq L(t) |x_1 - x_2|∣f(t,x1)−f(t,x2)∣≤L(t)∣x1−x2∣。这保证了系统不会"发散得太快"，从而保证解唯一。

Assumption(Piecewise Continuity in t)
For each fixed x, the function f(⋅,x):R+\D→Rnf(\cdot, x): R_{+}\backslash D\rightarrow R^{n}f(⋅,x):R+\D→Rn is continuous,
where DDD is a set containing at most a finite number of possible discontinuity points in any closed and bounded interval of time,
and for any τ∈D\tau\in Dτ∈D, lim⁡t→τ−f(t,x)\lim_{t \rightarrow \tau^{-}} f(t, x)limt→τ−f(t,x) and lim⁡t→τ+f(t,x)\lim_{t\rightarrow\tau^{+}} f(t, x)limt→τ+f(t,x) exist.

理解：

这个假设要求函数 f(t,x)f(t, x)f(t,x) 在每个固定的状态 xxx 下，关于时间 ttt 是分段连续的。具体来说：

在整个时间轴 R+R_{+}R+ 上，除了一个集合 DDD 中的点之外，函数是连续的。
集合 DDD 中的点就是间断点，并且在任何有限的时间区间内，这样的间断点的数量是有限的。
对于每一个间断点 τ\tauτ，函数的左极限 lim⁡t→τ−f(t,x)\lim_{t\rightarrow\tau^{-}} f(t, x)limt→τ−f(t,x) 和右极限 lim⁡t→τ+f(t,x)\lim_{t\rightarrow\tau^{+}} f(t, x)limt→τ+f(t,x) 都必须存在（即间断类型只能是可去间断点或跳跃间断点，而非无穷间断点）。

这个条件是保证微分方程解存在性的一个重要前提。

Assumption(Lipschitz Continuity in x)

There is a piecewise continuous function L(⋅):R+→R+L(\cdot): R_{+}\rightarrow R_{+}L(⋅):R+→R+ such that
∥f(t,x1)−f(t,x2)∥≤L(t)∥x1−x2∥\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\| \leq L(t)\|x_1 - x_2\|∥f(t,x1)−f(t,x2)∥≤L(t)∥x1−x2∥
a∥⋅∥{}^{\text{a}}\|\cdot\|a∥⋅∥ denotes the norm of a vector. Here you can temporarily understand it as a measure of the"length" or"size" of a vector.

Remark

Theoretically, it can be proved that the Lipschitz continuity in x guarantees the existence of at most one solution.

理解

这个假设要求函数 f(t,x)f(t, x)f(t,x) 在任意时刻 ttt，关于状态变量 xxx 是Lipschitz连续的。具体来说：

存在一个分段连续 的函数 L(t)L(t)L(t)（称为Lipschitz常数函数），
使得对于任意两个状态向量 x1x_1x1 和 x2x_2x2，函数值之差 ∥f(t,x1)−f(t,x2)∥\|f(t, x_1) - f(t, x_2)\|∥f(t,x1)−f(t,x2)∥ 都能被这两个状态向量之差 ∥x1−x2∥\|x_1 - x_2\|∥x1−x2∥ 的 L(t)L(t)L(t) 倍所限制。
脚注 a{}^{\text{a}}a 说明 ∥⋅∥\|\cdot\|∥⋅∥ 是向量的范数，可以直观理解为向量"长度"或"大小"的度量。

核心思想与重要性：

这个条件像一个"速度限制器"。它保证了系统动态 f(t,x)f(t, x)f(t,x) 的变化速度不会无限快，从而排除了系统状态在有限时间内跑向无穷远（即"爆炸"）或者出现分叉（即解不唯一）的可能性。即相当程度上让非线性系统具有较强的线性性质！

与Piecewise Continuity的关系 ：两者结合，共同保证了微分方程解的存在性和唯一性。
- Piecewise Continuity in t -> 解存在
- Lipschitz Continuity in x -> 解唯一
在线性系统中的应用 ：对于线性系统 x˙=A(t)x+B(t)u(t)\dot{x} = A(t)x + B(t)u(t)x˙=A(t)x+B(t)u(t)，可以证明其满足Lipschitz条件（例如，其Lipschitz常数函数 L(t)L(t)L(t) 可以取为矩阵 A(t)A(t)A(t) 的范数 ∥A(t)∥\|A(t)\|∥A(t)∥）。这就是为什么PPT中紧接着就证明了线性时变系统的解是存在且唯一的。

结论：只要系统矩阵 A(t),B(t),...A(t), B(t), ...A(t),B(t),... 和输入 u(t)u(t)u(t) 是分段连续的，线性时变系统的解就是存在且唯一的。这为我们后续的求解提供了坚实的基础。

3. 连续时间LTV系统的求解

求解分为两步：先求没有输入 的系统，再求有输入的系统。

a) 齐次系统（无输入）: x˙(t)=A(t)x(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = A(t)x(t), \quad x(t_0) = x_0x˙(t)=A(t)x(t),x(t0)=x0

解的形式 ： x(t)=Φ(t,t0)x0x(t) = \Phi(t, t_0) x_0x(t)=Φ(t,t0)x0
核心概念：状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）- Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0)
- 它是一个矩阵函数，描述了系统状态如何从初始时刻 t0t_0t0 "转移"到当前时刻 ttt。
- 如何求？ 理论上，Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0) 是下面这个矩阵微分方程的解：
  ddtΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A(t)\Phi(t, t_0), \quad \Phi(t_0, t_0) = IdtdΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I （单位矩阵）
- 性质：
  1. 微分方程：满足上述定义。
  2. 半群性质 ： Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)。这意味着状态转移可以分步进行。
  3. 可逆性 ： Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0) 总是可逆的，且 Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)。这意味着线性连续系统是时间可逆的。

b) 非齐次系统（有输入）: x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0\dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad x(t_0) = x_0x˙(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0

解的形式（非常重要！） ：
x(t)=Φ(t,t0)x0⏟零输入响应+∫t0tΦ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ⏟零状态响应x(t) = \underbrace{\Phi(t, t_0) x_0}{\text{零输入响应}} + \underbrace{\int{t_0}^{t} \Phi(t, \tau) B(\tau) u(\tau) d\tau}_{\text{零状态响应}}x(t)=零输入响应 Φ(t,t0)x0+零状态响应 ∫t0tΦ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ
- 零输入响应 ：仅由初始状态 x0x_0x0 引起的响应。输入为0。
- 零状态响应 ：仅由输入 u(t)u(t)u(t) 引起的响应。初始状态为0。这是一个卷积积分，体现了输入的历史对整个系统当前状态的累积影响。
得到 x(t)x(t)x(t) 后，输出 y(t)y(t)y(t) 就很容易得到了：y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)。

连续时间线性时变（CLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）的性质。

对于CLTV系统状态转移矩阵 Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0) 的性质表述如下：

Properties of the CT state transition matrix Φ(t,t0)\Phi(t,t_{0})Φ(t,t0)

(Matrix Differential Equation) For every t0≥0,Φ(t,t0)t_{0}\geq 0,\Phi\left(t, t_{0}\right)t0≥0,Φ(t,t0) is the unique solution to
ddtΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A(t)\Phi(t, t_0), \quad \Phi(t_0, t_0) = IdtdΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I

For every fixed t0≥0t_{0}\geq 0t0≥0, the i th column of Φ(t,t0)\Phi\left(t, t_{0}\right)Φ(t,t0) is the unique solution to x˙=A(t)x,x(t0)=ei,t∈R+\dot{x}=A(t) x, x\left(t_{0}\right)=e_{i}, t\in R_{+}x˙=A(t)x,x(t0)=ei,t∈R+, where eie_{i}ei is the i th column of I.

(Semigroup Property) Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)

(Nonsingularity) Φ(t1,t0)\Phi\left(t_{1}, t_{0}\right)Φ(t1,t0) is nonsingular and Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)

理解

我们可以将这些性质分为三类：定义性 、结构性 和独特性。

1. 定义性性质（它是什么？）

性质1: 矩阵微分方程

表述 : ddtΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi(t, t_0) = A(t)\Phi(t, t_0), \quad \Phi(t_0, t_0) = IdtdΦ(t,t0)=A(t)Φ(t,t0),Φ(t0,t0)=I
理解 : 这是状态转移矩阵的定义方式 和最基本的属性 。
- 它表明STM本身就是一个矩阵微分方程的解。这个方程和原齐次系统 x˙=A(t)x\dot{x} = A(t)xx˙=A(t)x 形式完全一致，只不过xxx换成了矩阵Φ\PhiΦ。
- 初始条件 Φ(t0,t0)=I\Phi(t_0, t_0) = IΦ(t0,t0)=I（单位矩阵）至关重要。它意味着"从 t0t_0t0 时刻转移到 t0t_0t0 时刻"的状态转移是自身，这符合直觉。

性质2: 列的含义

表述 : 第 i 列是系统在初始状态为 eie_iei（第 i 个标准基向量）时的解。
理解 : 这个性质是性质1的直接推论，但它提供了更直观的视角。
- 它将一个复杂的矩阵函数分解为一系列简单的、有物理意义的列向量。
- 你可以将STM的每一列看作系统对某个"方向"上的初始脉冲的响应。整个STM就是所有这些基本响应的集合。

2. 结构性性质（它如何运作？）

性质3: 半群性质

表述 : Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)
理解 : 这是最重要、最直观 的性质之一。它描述了状态转移的可分性 和复合性 。
- 物理意义 : 系统从 t0t_0t0 时刻的状态 x(t0)x(t_0)x(t0) 转移到 ttt 时刻的状态 x(t)x(t)x(t)，可以分两步进行：
  1. 先从 t0t_0t0 转移到某个中间时刻 t1t_1t1： x(t1)=Φ(t1,t0)x(t0)x(t_1) = \Phi(t_1, t_0)x(t_0)x(t1)=Φ(t1,t0)x(t0)
  2. 再从 t1t_1t1 转移到最终时刻 ttt： x(t)=Φ(t,t1)x(t1)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)x(t0)x(t) = \Phi(t, t_1)x(t_1) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)x(t_0)x(t)=Φ(t,t1)x(t1)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)x(t0)
- 最终结果必须等于直接转移 Φ(t,t0)x(t0)\Phi(t, t_0)x(t_0)Φ(t,t0)x(t0)。因此，Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)。
- 这类似于旅程中途径中转站，无论中途是否停留，总的位移变化是各段位移的累积。

3. 独特性性质（它有何特别之处？）

性质4: 非奇异性与可逆性

表述 : Φ(t1,t0)\Phi\left(t_{1}, t_{0}\right)Φ(t1,t0) 是非奇异的（即可逆），且其逆矩阵为 Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)。
理解 : 这个性质是连续时间线性系统 的一个关键特征 ，但离散时间系统通常不具备 。
- 非奇异性 意味着状态转移过程是"无损"的，没有丢失信息。你知道当前状态，就唯一地 可以推算出过去的状态（在 t0t_0t0 之后的所有时间）。
- 逆矩阵的表达式 Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t) 极具美感。它的物理意义是："反向时间转移"就等于"正向时间转移"的逆运算 。要把状态从 ttt 时刻"倒回"到 t0t_0t0 时刻，使用的转移矩阵正好是从 t0t_0t0 到 ttt 的转移矩阵的逆，而这个逆矩阵恰好等于从 ttt 到 t0t_0t0 的转移矩阵。
- 重要性: 这个性质是状态观测器、最优平滑滤波等理论的基础，因为这些理论都需要从当前输出回溯估计过去的状态。

总结与启示

性质	数学表述	核心理解	重要性
1. 矩阵微分方程	ddtΦ=A(t)Φ,Φ(t0,t0)=I\frac{d}{dt}\Phi = A(t)\Phi, \quad \Phi(t_0, t_0)=IdtdΦ=A(t)Φ,Φ(t0,t0)=I	STM本身的定义和演化规律	理论基础，用于求解和推导
2. 列的含义	第i列是 x˙=A(t)x\dot{x}=A(t)xx˙=A(t)x 对 eie_iei 的解	STM是系统对所有基本初始条件响应的集合	提供了构建和理解STM的视角
3. 半群性质	Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)\Phi(t, t_0) = \Phi(t, t_1)\Phi(t_1, t_0)Φ(t,t0)=Φ(t,t1)Φ(t1,t0)	状态转移过程在时间上可分解	理论分析和计算的关键工具
4. 非奇异性	Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)	连续时间线性系统是时间可逆的	是系统分析（如观测器设计）的重要基础

这些性质共同描绘了状态转移矩阵的完整画像：它是一个由系统矩阵 A(t)A(t)A(t) 唯一决定的、描述系统状态自由演化规律的、具有可分性和时间可逆性的基本解矩阵。它是求解和分析线性系统的核心钥匙。

4. 离散时间LTV系统的求解

概念与连续时间系统非常类似，但用的是差分方程。

齐次系统 ：x(t+1)=A(t)x(t),x(t0)=x0x(t+1) = A(t)x(t), \quad x(t_0) = x_0x(t+1)=A(t)x(t),x(t0)=x0
- 解： x(t)=Φ(t,t0)x0x(t) = \Phi(t, t_0) x_0x(t)=Φ(t,t0)x0
- DT STM ： Φ(t,t0)=A(t−1)A(t−2)...A(t0)\Phi(t, t_0) = A(t-1)A(t-2)...A(t_0)Φ(t,t0)=A(t−1)A(t−2)...A(t0) （对于 t>t0t > t_0t>t0）
非齐次系统 ：x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0x(t+1) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad x(t_0) = x_0x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t0)=x0
- 解： x(t)=Φ(t,t0)x0+∑τ=t0t−1Φ(t,τ+1)B(τ)u(τ)x(t) = \Phi(t, t_0) x_0 + \sum_{\tau=t_0}^{t-1} \Phi(t, \tau+1) B(\tau) u(\tau)x(t)=Φ(t,t0)x0+∑τ=t0t−1Φ(t,τ+1)B(τ)u(τ)
- 同样也是零输入响应 + 零状态响应（这里零状态响应是一个求和式）。

重要区别 ：离散时间系统的STM Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0) 不一定是可逆的 （如果某个 A(k)A(k)A(k) 是奇异矩阵），因此离散系统不一定是时间可逆的。

关于离散时间线性时变（DLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）的性质，并与CLTV系统进行对比以加深理解。

对于DLTV系统状态转移矩阵 Φ(k,k0)\Phi(k, k_0)Φ(k,k0) 的性质表述如下：

Properties of the DT state transition matrix Φ(k,k0)\Phi(k,k_{0})Φ(k,k0)

(Matrix Difference Equation) For every k0≥0, Φ(k,k0)k_{0}\geq 0,\,\Phi(k,k_{0})k0≥0,Φ(k,k0) is the unique solution to
Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0),Φ(k0,k0)=I\Phi(k+1, k_0) = A(k)\Phi(k, k_0), \quad \Phi(k_0, k_0) = IΦ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0),Φ(k0,k0)=I

For every fixed k0≥0k_{0}\geq 0k0≥0, the i th column of Φ(k,k0)\Phi\left(k, k_{0}\right)Φ(k,k0) is the unique solution to x(k+1)=A(k)x,x(k0)=ei,k∈N,k≥k0x(k+1)=A(k) x, x\left(k_{0}\right)=e_{i}, k\in N, k\geq k_{0}x(k+1)=A(k)x,x(k0)=ei,k∈N,k≥k0, where eie_{i}ei is the ith column of I.

(Semigroup Property) Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)\Phi(k, k_0) = \Phi(k, k_1)\Phi(k_1, k_0)Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)

Remark

The DT STM(k,k0) does NOT own the nonsingularity property, because A(k) might be singular for some k≥k0k\geq k_{0}k≥k0. This is a difference between CT STM and DT STM. In other words, DLTV systems is not time reversible in general.

理解

同样，我们可以将这些性质分为三类，并与CLTV系统进行对比。

1. 定义性性质（它是什么？）

性质1: 矩阵差分方程

表述 : Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0),Φ(k0,k0)=I\Phi(k+1, k_0) = A(k)\Phi(k, k_0), \quad \Phi(k_0, k_0) = IΦ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0),Φ(k0,k0)=I
理解 : 这是离散系统状态转移矩阵的定义方式 。
- 它不是一个微分方程，而是一个差分方程，这反映了离散系统的演化是"步进"的，而不是连续的。
- 初始条件 Φ(k0,k0)=I\Phi(k_0, k_0) = IΦ(k0,k0)=I（单位矩阵）与连续系统一致，表示"从 k0k_0k0 时刻转移到 k0k_0k0 时刻"的状态转移是自身。
- 如何求解？ 这个差分方程的解是前向迭代的形式，即PPT中给出的：
  Φ(k,k0)=A(k−1)A(k−2)⋯A(k0)\Phi(k, k_0) = A(k-1)A(k-2) \cdots A(k_0)Φ(k,k0)=A(k−1)A(k−2)⋯A(k0) （对于 k>k0k > k_0k>k0）
  这意味着STM是从 k0k_0k0 到 k−1k-1k−1 时刻的所有系统矩阵 A(⋅)A(\cdot)A(⋅) 的乘积。这个明确的表达式是离散系统比连续系统更容易处理的原因之一。

性质2: 列的含义

表述 : 第 i 列是系统在初始状态为 eie_iei（第 i 个标准基向量）时的解。
理解 : 这个性质与连续系统完全一致 。
- 它将矩阵函数分解为有物理意义的列向量。STM的每一列代表了系统对某个"方向"上的初始脉冲的响应。整个STM就是所有这些基本响应的集合。

2. 结构性性质（它如何运作？）

性质3: 半群性质

表述 : Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)\Phi(k, k_0) = \Phi(k, k_1)\Phi(k_1, k_0)Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)
理解 : 这个性质在形式上和物理意义上与连续系统完全相同 。它描述了状态转移的可分性 。
- 物理意义 : 系统从 k0k_0k0 时刻的状态 x(k0)x(k_0)x(k0) 转移到 kkk 时刻的状态 x(k)x(k)x(k)，可以经由中间时刻 k1k_1k1 分两步进行。总的转移矩阵等于两个阶段转移矩阵的乘积。
- 这个性质是状态估计、系统分析和迭代计算的基础。

3. 独特性性质（与CLTV的关键区别）

性质4: 奇异性与不可逆性（缺失的性质）

表述 : DT STM does NOT own the nonsingularity property... DLTV systems is not time reversible in general. （DT STM不具有非奇异性...DLTV系统通常是时间不可逆的。）
理解 : 这是离散时间系统与连续时间系统的一个最根本、最重要的区别 。
- 原因 : 从STM的表达式 Φ(k,k0)=A(k−1)A(k−2)⋯A(k0)\Phi(k, k_0) = A(k-1)A(k-2) \cdots A(k_0)Φ(k,k0)=A(k−1)A(k−2)⋯A(k0) 可以看出，如果在 k0k_0k0 到 k−1k-1k−1 的任何一个时刻 ，系统矩阵 A(m)A(m)A(m) 是奇异矩阵 （即不可逆，行列式为0），那么整个乘积 Φ(k,k0)\Phi(k, k_0)Φ(k,k0) 也必然是奇异矩阵。
- 后果 : 一旦 Φ(k,k0)\Phi(k, k_0)Φ(k,k0) 是奇异的，它就不可逆 。这意味着无法从当前状态 x(k)x(k)x(k) 唯一地回溯到过去的状态 x(k0)x(k_0)x(k0) 。系统丢失了部分状态信息，这个过程是不可逆的。
- 对比: 连续时间LTV系统的STM总是可逆的，因此总是可以回溯历史。离散时间系统的这个特性使得其分析在某些方面更复杂。

总结与对比

性质	DLTV表述	CLTV对比	核心理解
1. 定义方程	差分方程 : Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0)\Phi(k+1, k_0) = A(k)\Phi(k, k_0)Φ(k+1,k0)=A(k)Φ(k,k0)	微分方程 : ddtΦ=A(t)Φ\frac{d}{dt}\Phi = A(t)\PhidtdΦ=A(t)Φ	DLTV是迭代乘积，CLTV是矩阵微分方程的解。
2. 列的含义	第i列是 x(k+1)=A(k)xx(k+1)=A(k)xx(k+1)=A(k)x 对 eie_iei 的解	相同	物理意义一致，都是系统对基本初始条件的响应集合。
3. 半群性质	Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)\Phi(k, k_0) = \Phi(k, k_1)\Phi(k_1, k_0)Φ(k,k0)=Φ(k,k1)Φ(k1,k0)	相同	物理意义一致，状态转移在时间上可分解。
4. 非奇异性	通常不成立	总是成立 Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)\Phi^{-1}(t, t_0) = \Phi(t_0, t)Φ−1(t,t0)=Φ(t0,t)	最关键区别。DLTV因为A(k)A(k)A(k)可能奇异而不可逆（时间不可逆），CLTV总是可逆（时间可逆）。

启示

DLTV系统状态转移矩阵的性质揭示了其与CLTV系统的深刻区别：

可求解性: DLTV的STM有明确的迭代计算公式（矩阵连乘），而CLTV的STM通常没有解析解。
可逆性 : CLTV系统总是可逆的，可以回溯历史；而DLTV系统不一定可逆 ，只要在演化过程中经历过一次"信息丢失"（A(k)A(k)A(k)奇异），就无法唯一地回溯过去。这个特性在设计观测器和分析系统历史状态时需要格外注意。

5. 要点总结与启示

核心工具 ：求解线性系统的关键是找到状态转移矩阵 (STM) Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0)。
解的结构：全响应 = 零输入响应 + 零状态响应。这是一个普适的线性系统特性。
连续 vs. 离散：连续系统用微分方程和积分，离散系统用差分方程和求和。概念高度对应。
时变的困难 ：对于一般的时变系统 ，很难（甚至不可能）找到STM Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0) 的解析表达式 。这引出了后续课程的内容：对于线性时不变系统（LTI） ，即 A,B,C,DA, B, C, DA,B,C,D 是常数矩阵的情况，我们有非常成熟的方法（如拉普拉斯变换）来求解。LTI系统是LTV系统的一个特例，也是工程中最常见、最重要的一类系统。

机器人、具身智能的起步——线性系统理论|【二】状态空间方程的解

线性系统理论二：状态空间方程的解

1. 问题背景：为什么要研究这个？

2. 理论基础：微分方程解的存在与唯一性

3. 连续时间LTV系统的求解

连续时间线性时变（CLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM） 的性质。

1. 定义性性质（它是什么？）

2. 结构性性质（它如何运作？）

3. 独特性性质（它有何特别之处？）

总结与启示

4. 离散时间LTV系统的求解

关于离散时间线性时变（DLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM） 的性质，并与CLTV系统进行对比以加深理解。

1. 定义性性质（它是什么？）

2. 结构性性质（它如何运作？）

3. 独特性性质（与CLTV的关键区别）

总结与对比

启示

5. 要点总结与启示

连续时间线性时变（CLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）的性质。

关于离散时间线性时变（DLTV）系统状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）的性质，并与CLTV系统进行对比以加深理解。