策略优化的理论基础与算法实现
3.2 REINFORCE: 最早的策略梯度算法
在完成策略梯度定理的推导后,我们获得了梯度的理论形式:
\[\nabla_\theta J(\pi_\theta) = \mathbb{E}{\tau \sim \pi\theta}\left[\sum_{t=0}^T \nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t|s_t) \cdot (G_t - b(s_t))\right] \]
然而,这个期望本身仍然无法直接计算 。我们面临的根本问题是:轨迹空间是高维甚至连续无限的,无法枚举所有可能的 \((s_0, a_0, s_1, a_1, \dots)\) 组合。策略优化的实践核心在于用有限采样近似期望 :与环境交互收集 \(N\) 条轨迹 \(\{\tau_1, \dots, \tau_N\}\),然后用经验平均估计梯度:
\[\nabla_\theta J(\pi_\theta) \approx \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \sum_{t=0}^{T_i} \nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t^{(i)}|s_t^{(i)}) \cdot G_t^{(i)} \]
这就是 REINFORCE 算法(Williams, 1992)的核心思想。其训练流程为:
- 用当前策略 \(\pi_\theta\) 采样 \(N\) 条完整轨迹
- 对每条轨迹计算累积回报 \(G_t = \sum_{t'=t}^T r_{t'}\)(从时刻 \(t\) 到终止)
- 可选地引入固定 baseline \(b(s_t)\)(如所有轨迹的平均回报)
- 计算梯度并更新参数:\(\theta \leftarrow \theta + \alpha \hat{g}\)
采样带来的根本挑战:方差问题
我们真正想要的是策略的平均性能,但只能通过有限采样来估计。这引入了两个核心要求:
- 无偏性(unbiased):采样梯度的期望应等于真实梯度
- 低方差(low variance):不同采样批次的梯度应相近
REINFORCE 满足无偏性,但存在高方差问题。考虑一个简单例子:
示例:训练语言模型回答医疗问题。
- Prompt: "如何缓解头痛?"
- Response 1 (轨迹1): "多喝水,适当休息,必要时服用布洛芬。" → 奖励 \(R_1 = 0.9\)
- Response 2 (轨迹2): "头痛可能由多种原因引起..." (啰嗦但正确) → 奖励 \(R_2 = 0.6\)
- Response 3 (轨迹3): "建议立即手术治疗。" (错误) → 奖励 \(R_3 = -0.8\)
即使这三条回复来自同一个策略 ,它们的回报差异巨大(\(0.9, 0.6, -0.8\))。用这些样本计算的梯度会剧烈波动,导致:
- 需要大量轨迹(如 \(N=1000\))才能得到稳定估计
- 训练过程缓慢且不稳定
- 对于长对话(如 \(T=100\) 轮),方差会指数级增长
关键疑问:每次更新参数后策略就变了,那我是只用一条轨迹就更新吗?
回答:不是。REINFORCE 的标准做法是:
- 用当前策略 \(\pi_\theta\) 采样 \(N\) 条轨迹(如 \(N=64\))
- 用这 \(N\) 条轨迹的平均梯度更新参数一次
- 更新后策略变为 \(\pi_{\theta'}\),之前的 \(N\) 条轨迹全部作废
- 重新用 \(\pi_{\theta'}\) 采样新的 \(N\) 条轨迹,重复上述过程
这就是 On-Policy 的含义:数据必须来自当前策略,每次更新后旧数据失效,导致样本效率极低。
3.3 Actor-Critic
REINFORCE 的高方差源于用 Monte Carlo 回报 \(G_t\)(需要完整轨迹)。如果能用一个学习出来的函数估计未来回报,就可以:
- 降低方差(函数估计比单次采样稳定)
- 支持单步更新(不需要等轨迹结束)
这就是 Actor-Critic 框架的核心思想:引入 Critic 网络 \(V_\phi(s)\) 估计状态价值,用它构造低方差的优势函数。
双网络架构
系统维护两个神经网络:
- Actor \(\pi_\theta(a|s)\):策略网络,负责生成动作
- Critic \(V_\phi(s)\):价值网络,评估状态的好坏
训练目标:
-
Critic 的更新:学习预测真实回报
\[\mathcal{L}{\text{critic}} = \mathbb{E}\left[(V\phi(s_t) - G_t)^2\right] \]
其中 \(G_t\) 是实际观察到的累积回报(监督信号)。
-
Actor 的更新:用 Critic 估计的优势调整策略
\[\mathcal{L}{\text{actor}} = -\mathbb{E}\left[\log \pi\theta(a_t|s_t) \cdot A_t\right] \]
其中优势函数 \(A_t = G_t - V_\phi(s_t)\) 衡量动作相对于平均水平的好坏。
关键实现细节:计算优势时必须阻断梯度:
python
advantage = reward - value.detach() # ✅ 阻断梯度回传
这确保 Actor 的更新不会干扰 Critic 的学习目标。
单步更新的进阶:TD 误差
在 Actor-Critic (AC) 框架中,我们可以使用 TD (Temporal Difference) 误差 来替代传统的 Monte Carlo 回报,从而实现单步更新。
TD 优势的定义如下:
\[A_t^{TD} = \delta_t = r_t + \gamma V_\phi(s_{t+1}) - V_\phi(s_t) \]
与 Monte Carlo 方法对比:
-
Monte Carlo 优势 (\(A_t^{MC}\)):
- 公式:\(A_t^{MC} = G_t - V(s_t)\)
- 特点:需要运行完整个轨迹才能计算,是无偏估计,但通常具有很高的方差。
-
TD 优势 (\(A_t^{TD}\)):
- 公式:\(A_t^{TD} = \delta_t\)
- 特点:只需要一步(single-step transition)即可计算,方差较低,但是一个有偏估计(其准确性依赖于价值函数 \(V\) 的估计精度)。
3.4 GAE (Generalized Advantage Estimation) 的推导
1. 真实的优势函数
我们首先定义一个理论上"真实"的优势函数,它使用实际的未来回报 \(G_t\):
\[A_t^{\text{true}} = G_t - V^\pi(s_t) \]
我们的目标是使用一系列的 TD 误差 \(\delta\) 来构造一个对这个"真优势"的良好估计。
2. 基于 Bellman 方程的展开
根据 Bellman 递推公式,任意时刻的回报 \(G_t\) 可以展开为:
\[G_t = r_t + \gamma G_{t+1} \]
将其代入真实优势的定义中:
\[A_t^{\text{true}} = (r_t + \gamma G_{t+1}) - V(s_t) \]
为了引入 TD 误差 \(\delta_t\),我们在上式中同时加上和减去 \(\gamma V(s_{t+1})\):
\[A_t^{\text{true}} = [r_t + \gamma V(s_{t+1}) - V(s_t)] + \gamma [G_{t+1} - V(s_{t+1})] \]
观察上式,我们可以发现:
- 第一个方括号内的部分正好是 TD 误差 \(\delta_t\)。
- 第二个方括号内的部分是下一时刻的真实优势 \(A_{t+1}^{\text{true}}\)。
于是,我们得到了一个关于真实优势的递归关系:
\[A_t^{\text{true}} = \delta_t + \gamma A_{t+1}^{\text{true}} \]
3. 递归展开与关键结论
将上述递归关系不断展开,可以得到:
\[A_t^{\text{true}} = \delta_t + \gamma\delta_{t+1} + \gamma^2\delta_{t+2} + \gamma^3\delta_{t+3} + \cdots \]
关键结论:真实的优势函数,等于所有未来 TD 误差的折扣加权和。
这个结论非常直观:
- \(\delta_t\) 代表当前这一步决策带来的"惊喜"或"估计误差"。
- \(\delta_{t+1}, \delta_{t+2}, \dots\) 代表未来每一步的误差。
- 折扣因子 \(\gamma\) 确保了越遥远的未来,其误差对当前优势的影响越小。
GAE 的核心思想:偏差-方差的权衡
问题与动机
虽然上述展开式在理论上很完美,但在实践中存在两个问题:
- 依赖完整轨迹 :它依然需要未来所有的 \(\delta\) 值,这意味着必须等到整个回合(episode)结束后才能计算,这本质上是 Monte Carlo 风格的估计,方差很大。
- 误差累积:我们不希望使用过长的序列,因为未来的不确定性高,价值函数的估计误差会不断累积。
我们需要在"充分利用未来信息"和"抑制噪声(降低方差)"之间找到一个平衡点。
引入 \(\lambda\):偏差-方差的平衡因子
GAE 的核心思想是引入一个衰减系数 \(\lambda\) (通常取值在 0.9 到 0.99 之间),用它来控制未来 TD 误差的权重。
GAE 的定义:
\[A_t^{GAE(\gamma,\lambda)} = \sum_{l=0}^{\infty} (\gamma \lambda)^l \delta_{t+l} \]
- \(\gamma\):环境的奖励折扣因子,反映了任务本身对未来的重视程度。
- \(\lambda\):优势函数的折扣因子,是我们用来控制偏差-方差权衡的人为超参数。
- \(\delta\):每一步的 TD 误差。
理解 \(\lambda\) 的作用
-
当 \(\lambda = 0\) 时:
\(A_t = \delta_t\)这等价于传统的 TD(0) 误差,只考虑一步信息。这种方法偏差最大,但方差最小。
-
当 \(\lambda = 1\) 时:
\(A_t = \sum_{l=0}^{\infty} \gamma^l \delta_{t+l} = G_t - V(s_t)\)这恢复了原始的展开式,等价于 Monte Carlo 方法。这种方法无偏,但方差最大。
-
当 \(\lambda \in (0,1)\) 时:
GAE 在 TD 和 Monte Carlo 之间进行插值。未来的 \(\delta\) 权重会以 \((\gamma\lambda)\) 的速率衰减,实现了在"看得多远"与"抑制噪声"之间的平滑过渡。
GAE 的计算与实现
上述求和公式可以转化为一个高效的反向递推形式,非常适合在代码中实现。
GAE 递推公式:
\[A_t^{GAE} = \delta_t + \gamma \lambda A_{t+1}^{GAE} \]
这个计算过程类似于循环神经网络(RNN)中的反向传播,我们从轨迹的末端开始,反向遍历计算每一时刻的优势值。
伪代码示例:
python
advantages = torch.zeros_like(rewards)
gae = 0
# 从后往前遍历时间步
for t in reversed(range(T)):
# 1. 计算当前步的 TD 误差 delta
delta = rewards[t] + gamma * values[t+1] - values[t]
# 2. 使用递推公式计算 gae
gae = delta + gamma * lam * gae
# 3. 存储当前步的优势值
advantages[t] = gae
注意:
- 计算必须反向遍历时间 ,因为 \(A_t\) 依赖于未来的 \(A_{t+1}\)。
values[t+1]
是 Critic 网络对下一状态的价值预测。- 这个高效的计算方法是 PPO、A2C、A3C 等现代强化学习算法的标准组成部分。
GAE 与 n-step TD 的关系
GAE 还可以被看作是所有 n-step TD 优势估计 的指数加权平均:
\[A_t^{GAE} = (1-\lambda) \sum_{n=1}^\infty (\lambda)^{n-1} A_t^{(n)} \]
其中,n-step 优势 \(A_t^{(n)}\) 的定义为:
\[A_t^{(n)} = \left(\sum_{l=0}^{n-1} \gamma^l r_{t+l}\right) + \gamma^n V(s_{t+n}) - V(s_t) \]
总结来说:
- \(\lambda\) 决定了我们将多少不同长度(n-step)的 TD 估计综合在一起。
- 较小的 \(\lambda\) 更侧重于短期的、偏差较大的估计。
- 较大的 \(\lambda\) 更侧重于长期的、方差较大的估计。
- 在实践中,\(\lambda=0.95\) 通常是一个很好的经验默认值。
3.5 On-Policy 的困境与重要性采样
样本效率的致命弱点
前述所有算法(REINFORCE, AC, A2C/A3C)都是 On-Policy :梯度计算要求数据来自当前策略 \(\pi_\theta\)。这导致:
- 每次更新后,\(\pi_\theta\) 改变,旧数据立即失效
- 对于 LLM,生成一次回复需要数秒,但只能用一次就丢弃
- 训练 100 万步需要采样 100 万条新数据
量化对比(以 Qwen-7B 为例):
方法 | 单次采样耗时 | 数据复用 | 训练 1000 步总耗时 |
---|---|---|---|
On-Policy | 3 秒 | 1 次 | 3000 秒 |
Off-Policy(PPO) | 3 秒 | 4 次 | 750 秒 |
重要性采样:Off-Policy 的数学工具
核心问题 :能否用旧策略 \(\pi_{\text{old}}\) 的数据训练新策略 \(\pi_\theta\)?
数学原理 (重要性采样定理):对于任意函数 \(f(x)\),
\[\mathbb{E}{x \sim p(x)}[f(x)] = \mathbb{E}{x \sim q(x)}\left[\frac{p(x)}{q(x)} f(x)\right] \]
证明(简单积分变换):
\[\int p(x) f(x) dx = \int \frac{p(x)}{q(x)} q(x) f(x) dx = \mathbb{E}_{x \sim q}\left[\frac{p(x)}{q(x)} f(x)\right] \]
应用到策略梯度 :
原目标是 \(\mathbb{E}{a \sim \pi\theta}[\nabla \log \pi_\theta \cdot A]\),但数据来自 \(\pi_{\text{old}}\),引入比率修正:
\[\nabla_\theta J = \mathbb{E}{a \sim \pi{\text{old}}}\left[\frac{\pi_\theta(a|s)}{\pi_{\text{old}}(a|s)} \nabla \log \pi_\theta(a|s) \cdot A(s,a)\right] \]
进一步简化(利用 \(\nabla \log \pi = \pi^{-1} \nabla \pi\)),可将目标函数写为:
\[J(\theta) = \mathbb{E}{\tau \sim \pi{\text{old}}}\left[\frac{\pi_\theta(a|s)}{\pi_{\text{old}}(a|s)} A(s,a)\right] \]
医疗问答示例:
- 旧策略生成:"多喝水,休息"(概率 \(\pi_{\text{old}} = 0.3\))
- 新策略评估该回复:\(\pi_\theta = 0.5\)(更倾向此回答)
- 优势 \(A = 0.8\)(好回答)
- 修正后的梯度贡献:\(\frac{0.5}{0.3} \times 0.8 = 1.33\)
关键挑战 :如果比率 \(r = \frac{\pi_\theta}{\pi_{\text{old}}}\) 过大(如 10),说明新旧策略差异巨大,重要性采样失效,梯度估计方差爆炸。需要约束策略更新幅度。
3.6 TRPO: 信赖域约束下的策略优化
优化目标的理论保证
TRPO(Schulman et al., 2015)的核心思想:在限制策略变化的前提下最大化性能提升。
优化问题:
\[\max_\theta \mathbb{E}{s,a \sim \pi{\text{old}}}\left[\frac{\pi_\theta(a|s)}{\pi_{\text{old}}(a|s)} A(s,a)\right] \quad \text{s.t.} \quad \mathbb{E}s[\text{KL}(\pi{\text{old}}(\cdot|s) || \pi_\theta(\cdot|s))] \leq \delta \]
KL 散度约束衡量两个分布的差异:
\[\text{KL}(p || q) = \sum_x p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} = \mathbb{E}_{x \sim p}\left[\log \frac{p(x)}{q(x)}\right] \]
直观理解:
- 目标函数:最大化性能(用旧数据评估新策略)
- 约束条件:KL 散度 \(\leq \delta\)(如 0.01),确保新策略不偏离太远
医疗问答示例:
- 旧策略分布:P("多喝水")=0.3, P("休息")=0.4, P("吃药")=0.3
- 新策略分布:P("多喝水")=0.5, P("休息")=0.35, P("吃药")=0.15
计算 KL 散度:
\[\text{KL} = 0.3\log\frac{0.3}{0.5} + 0.4\log\frac{0.4}{0.35} + 0.3\log\frac{0.3}{0.15} \approx 0.09 \]
如果 \(\delta=0.05\),则该更新违反约束,需要缩小更新步长。
实现方法:二阶优化
TRPO 用共轭梯度法 求解带约束的优化问题,需要计算 Hessian 矩阵(目标函数的二阶导数)。虽然理论保证强(单调改进),但计算复杂度高,实现困难,调参敏感。
3.7 PPO
PPO(Schulman et al., 2017)用一阶优化 + 巧妙的目标函数设计达到 TRPO 的效果,成为深度 RL 和 RLHF 的标准算法。
3.7.1 PPO-Clip: 用裁剪替代 KL 约束
核心思想 :不显式约束 KL 散度,而是直接限制比率 \(r_t = \frac{\pi_\theta(a|s)}{\pi_{\text{old}}(a|s)}\) 的变化范围。
目标函数:
\[L^{CLIP}(\theta) = \mathbb{E}\left[\min\left(r_t(\theta) A_t, \text{clip}(r_t, 1-\epsilon, 1+\epsilon) A_t\right)\right] \]
其中 \(\text{clip}(r, 1-\epsilon, 1+\epsilon)\) 将 \(r\) 限制在 \([1-\epsilon, 1+\epsilon]\)(通常 \(\epsilon=0.2\))。
逐项分析:
情况 1 : 优势 \(A_t > 0\)(好动作,希望增加概率)
- 如果 \(r_t < 1+\epsilon\):正常梯度,继续增加 \(\pi_\theta(a|s)\)
- 如果 \(r_t > 1+\epsilon\):被裁剪为 \(1+\epsilon\),停止增加(防止过度优化)
情况 2 : 优势 \(A_t < 0\)(坏动作,希望减少概率)
- 如果 \(r_t > 1-\epsilon\):正常梯度,继续减少 \(\pi_\theta(a|s)\)
- 如果 \(r_t < 1-\epsilon\):被裁剪为 \(1-\epsilon\),停止减少(防止过度惩罚)
医疗问答示例(具体计算):
- Prompt: "如何缓解头痛?"
- Response: "多喝水,适当休息"
- 旧策略: \(\pi_{\text{old}}(response|prompt) = 0.01\)(log prob = -4.6)
- 新策略: \(\pi_{\theta}(response|prompt) = 0.03\)(log prob = -3.5)
- 优势: \(A = 0.8\)(好回答)
- 比率: \(r = \frac{0.03}{0.01} = 3.0\)
PPO 处理 (设 \(\epsilon=0.2\)):
原始项: r * A = 3.0 * 0.8 = 2.4
裁剪项: clip(3.0, 0.8, 1.2) * A = 1.2 * 0.8 = 0.96
最终: min(2.4, 0.96) = 0.96 ← 被裁剪!
解读 :虽然新策略概率增加了 3 倍,但 PPO 只允许增加到 1.2 倍的幅度,防止策略突变。
3.7.2 PPO-KL: 自适应惩罚
另一种变体直接在目标中加入 KL 惩罚:
\[L^{KL}(\theta) = \mathbb{E}\left[\frac{\pi_\theta(a|s)}{\pi_{\text{old}}(a|s)} A(s,a)\right] - \beta \cdot \mathbb{E}s[\text{KL}(\pi{\text{old}} || \pi_\theta)] \]
自适应 \(\beta\):
- 如果 \(\text{KL} > 1.5 \times \text{target}\):增大 \(\beta\)(加强惩罚)
- 如果 \(\text{KL} < 0.5 \times \text{target}\):减小 \(\beta\)(放松约束)
实践中 PPO-Clip 更常用,因为无需调节 \(\beta\)。
3.7.3 PPO-Clip 完整训练流程
关键特性 :数据复用 \(K\) 次(\(K=4 \sim 10\))
for iteration in range(总迭代次数):
# 1. 采样阶段(执行 1 次)
用当前策略 π_θ 采样 N 条轨迹
记录 old_log_probs = log π_θ(a|s) # 保存!
# 2. 计算优势(用 GAE)
用 Critic 估计 V(s)
计算 advantages = GAE(rewards, values)
# 3. 多轮 mini-batch 更新(数据复用 K 次)
for epoch in range(K): # K=4
for batch in minibatch(trajectories):
# 重新计算新策略概率
new_log_probs = log π_θ(a|s) # 策略已更新!
# 计算比率
ratio = exp(new_log_probs - old_log_probs)
# PPO-Clip loss
loss_clip = -min(ratio * A, clip(ratio, 1-ε, 1+ε) * A)
# 价值函数 loss
loss_vf = (V(s) - returns)²
# 总损失
loss = loss_clip + c_vf * loss_vf
# 梯度更新
optimizer.step()
关键点:
old_log_probs
在 \(K\) 轮更新中保持不变(来自采样时的策略)new_log_probs
每次都重新计算(因为参数在变)- 数据复用 4 次后,重新采样新数据
参加参数设置