量子计算核心原理学习笔记（续）
继上一节课建立了量子态、量子演化和复合系统的基本概念后，将深入探讨量子计算中至关重要的量子测量
假设四：量子测量 (Quantum Measurement)
量子测量是从量子态中提取经典信息的唯一途径，是连接量子世界与经典世界的桥梁。其原理基于一套严格的数学假设。一次测量是针对一个特定的标准正交基 (Orthonormal Basis) {∣vi⟩}\{|v_i\rangle\}{∣vi⟩} 来进行的，这组基向量张成了整个状态空间。对于一个待测量的量子态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩，首先需要将其在该测量基下进行展开：∣ψ⟩=∑iai∣vi⟩|\psi\rangle = \sum_i a_i |v_i\rangle∣ψ⟩=∑iai∣vi⟩。
- 测量的结果是概率性的 。具体来说，测量到结果 iii 的概率为 P(i)=∣ai∣2P(i) = |a_i|^2P(i)=∣ai∣2。所有可能结果的概率之和为1，这由量子态的归一化性质保证。测量的另一个关键特征是状态坍缩 ：一旦测量得到结果 iii，量子系统将不可逆地坍缩到对应的基向量状态 ∣vi⟩|v_i\rangle∣vi⟩ 上。此外，量子态的全局相位 （即一个整体的复数因子 eiαe^{i\alpha}eiα）在物理上是不可测量的，因为它在计算概率时会被模平方抵消，不影响任何测量结果。
多寄存器系统坍缩
当一个量子系统由多个子系统（或称为寄存器，如多个量子比特）构成时，我们可以只对其中一部分进行测量。这种局部测量同样会影响整个系统的状态。
考虑一个双量子比特系统，其状态为 ∣ψ⟩=110∣00⟩+210∣01⟩+310∣10⟩+410∣11⟩|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{10}}|00\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|01\rangle + \sqrt{\frac{3}{10}}|10\rangle + \sqrt{\frac{4}{10}}|11\rangle∣ψ⟩=10 1∣00⟩+102 ∣01⟩+103 ∣10⟩+104 ∣11⟩。若我们只在计算基 {∣0⟩,∣1⟩}\{|0\rangle, |1\rangle\}{∣0⟩,∣1⟩} 下测量第一个量子比特，首先需要按第一个比特的状态对总状态进行重写：
∣ψ⟩=∣0⟩⊗(110∣0⟩+210∣1⟩)+∣1⟩⊗(310∣0⟩+410∣1⟩)|\psi\rangle = |0\rangle \otimes \left(\sqrt{\frac{1}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|1\rangle\right) + |1\rangle \otimes \left(\sqrt{\frac{3}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{4}{10}}|1\rangle\right) \text{}∣ψ⟩=∣0⟩⊗(101 ∣0⟩+102 ∣1⟩)+∣1⟩⊗(103 ∣0⟩+104 ∣1⟩)
测量第一个比特得到 0 的概率，等于其系数向量（即与 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 发生张量积的部分）的范数平方。计算可得，P(0)=∥110∣0⟩+210∣1⟩∥2=110+210=310P(0) = \|\sqrt{\frac{1}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|1\rangle\|^2 = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10}P(0)=∥101 ∣0⟩+102 ∣1⟩∥2=101+102=103。同理，测得 1 的概率为 P(1)=710P(1) = \frac{7}{10}P(1)=107。
如果测量结果为 0，整个系统将坍缩，第一个比特确定为 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩，而第二个比特的状态则坍缩为对应系数向量归一化后的新状态：
∣ψsub′⟩=110∣0⟩+210∣1⟩3/10=13∣0⟩+23∣1⟩|\psi'_{sub}\rangle = \frac{\sqrt{\frac{1}{10}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{10}}|1\rangle}{\sqrt{3/10}} = \frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle \text{}∣ψsub′⟩=3/10 101 ∣0⟩+102 ∣1⟩=3 1∣0⟩+32 ∣1⟩
超密编码与量子隐形传态协议
量子测量与量子纠缠的结合，催生了两种著名的量子信息协议。超密编码 利用量子信道高效传输经典信息，而量子隐形传态 则利用经典信道和纠缠来"传输"一个未知的量子态。这两种协议的核心都依赖于对贝尔基的测量。
贝尔基 (Bell Basis) 是由四个两量子比特的最大纠缠态构成的标准正交基，它们是进行双比特联合测量的基础。这四个贝尔态分别是：
- ∣β00⟩=12(∣00⟩+∣11⟩)|\beta_{00}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)∣β00⟩=2 1(∣00⟩+∣11⟩)
- ∣β01⟩=12(∣10⟩+∣01⟩)|\beta_{01}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle + |01\rangle)∣β01⟩=2 1(∣10⟩+∣01⟩)
- ∣β10⟩=12(∣00⟩−∣11⟩)|\beta_{10}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle)∣β10⟩=2 1(∣00⟩−∣11⟩)
- ∣β11⟩=12(∣01⟩−∣10⟩)|\beta_{11}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)∣β11⟩=2 1(∣01⟩−∣10⟩)
由于这四个态是两两正交的，因此可以作为一组测量基。在协议中，执行一次贝尔基测量，系统会以特定概率坍缩到这四个状态之一，从而获得两位经典信息（00, 01, 10, 或 11）。
量子态编码传输及单量子比特门操作
超密编码 (Superdense Coding) 协议详细展示了如何通过单量子比特门操作来编码并传输信息。
- 初始资源 ：Alice和Bob预先共享一个处于 ∣β00⟩|\beta_{00}\rangle∣β00⟩ 态的纠缠对，Alice持有第一个Qubit，Bob持有第二个。
- 编码 ：Alice希望发送两位经典信息
zx。她对自己持有的Qubit施加一个相应的单比特Pauli门操作，从而将整个系统的状态转换为对应的贝尔态。- 发送
00：施加 III 门，系统态仍为 ∣β00⟩|\beta_{00}\rangle∣β00⟩。 - 发送
01：施加 XXX 门，系统态变为 ∣β01⟩|\beta_{01}\rangle∣β01⟩。 - 发送
10：施加 ZZZ 门，系统态变为 ∣β10⟩|\beta_{10}\rangle∣β10⟩。 - 发送
11：施加 ZXZXZX 门，系统态变为 ∣β11⟩|\beta_{11}\rangle∣β11⟩。
- 发送
- 传输 ：Alice将她操作过的单个Qubit发送给Bob。
- 解码 ：Bob收到Qubit后，对他拥有的两个Qubit执行一次贝尔基测量 。测量结果将唯一确定系统的状态是四个贝尔态中的哪一个，从而解码出Alice发送的两位经典比特
zx。
该协议的核心是利用一个纠缠比特和一个量子比特的传输，完成了两个经典比特的信息传递，因此被称为"超密"。
结合经典通信与量子操作实现信息精准传递
量子隐形传态 (Quantum Teleportation) 是另一个经典协议，它展示了如何利用纠缠和经典通信来"传输"一个未知的量子态。
- 目标与资源 ：Alice有一个未知量子态 ∣ψ⟩=a∣0⟩+b∣1⟩|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle∣ψ⟩=a∣0⟩+b∣1⟩ 希望传给Bob。她和Bob同样预共享一个 ∣β00⟩|\beta_{00}\rangle∣β00⟩ 纠缠对，并且可以使用一个双向的经典信道。
- Alice的操作 ：Alice对她手中的两个Qubit（未知态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩和纠缠对的一半）进行一次贝尔基测量 。系统的总状态可以被重新展开为以Alice的贝尔基为基础的叠加形式。Alice的测量将使系统坍缩，并获得一个两位经典结果（00, 01, 10, 或 11）。与此同时，Bob的Qubit也相应地坍缩到了一个与原始态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩相关的特定状态。
- 经典通信：Alice通过经典信道将她的两位测量结果发送给Bob。
- Bob的重构 ：Bob根据收到的经典信息，对自己手中的Qubit施加一个对应的幺正操作（I,X,Z,I, X, Z,I,X,Z, 或 ZXZXZX）来修正其状态，从而精确地恢复出原始的未知量子态∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩。
这个过程实现了量子态的传输，而没有物理地移动粒子本身，并且整个过程中∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩的具体信息（系数a, b）对于Alice和Bob来说都是未知的。
量子线路与受控门
为了形式化地描述这些协议和算法，引入量子线路 (Quantum Circuit) 的概念。
- 基本元素 ：量子线路从左到右读取。水平的实线代表一个量子比特 ，而双实线则代表一个经典比特 。线路上的方框代表作用在该比特上的量子门 或操作。线路末端的"仪表盘"符号代表在该基下的测量。
- 受控门 (Controlled Gates) ：这是多比特操作的核心，其中一个或多个Qubit作为控制位，决定是否在目标位上施加一个操作。
- CNOT (受控非门) ：用一个实心圆点表示控制位，一个⊕\oplus⊕符号表示目标位。当且仅当控制位为∣1⟩|1\rangle∣1⟩时，目标位执行XXX操作（翻转）。
- Controlled-U ：用实心圆点连接到目标位上的UUU门方框，表示当控制位为∣1⟩|1\rangle∣1⟩时，在目标位上执行UUU操作。
- 在∣0⟩|0\rangle∣0⟩上受控 ：如果控制条件是控制位为∣0⟩|0\rangle∣0⟩，则在线路上用一个空心圆点表示。
这些基本定义和协议为理解更复杂的量子算法和进行量子线路设计奠定了坚实的基础。