视频讲解：GESP202503 五级 原根判断-信息学奥赛GESP等级考试真题解析
一、原题
题目描述
小 A 知道，对于质数 p 而言，p 的原根 g 是满足以下条件的正整数：
- 1 < g < p；
mod p =1；
- 对于任意 1 ≤ i < p−1 均有
其中 a mod p 表示 a 除以 p 的余数。
小 A 现在有一个整数 a，请你帮他判断 a 是不是 p 的原根。
输入格式
第一行，一个正整数 T，表示测试数据组数。
每组测试数据包含一行，两个正整数 a,p。
输出格式
对于每组测试数据，输出一行，如果 a 是 p 的原根则输出 Yes，否则输出 No。
输入输出样例
输入 #1
cpp
3
3 998244353
5 998244353
7 998244353输出 #1
cpp
Yes
Yes
No说明/提示
数据范围
对于 40% 的测试点，保证 3 ≤ p ≤ 。
对于所有测试点，保证 1 ≤ T ≤ 20，3 ≤ p ≤ ，1<a<p，p 为质数。
二、做题思路
1)尝试暴力枚举（只能获得40分）
假设：a=2，p=7
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
//1)确定组数t
int t;cin>>t;
//2)填充t组数据
while(t--){
int a,p;
cin>>a>>p;
bool flag=true;//假设可以
//3)枚举所有a的幂
//(验证条件：对于任意1<=i<p-1,均有a^i mod p!=1)
int now=1;
for(int i=1;i<p-1;i++){
now=1ll*now*a%p;
if(now==1){
flag=false;
break;
}
}
//4)(验证条件：a^(p-1) mod p =1)
if(1ll*now*a%p!=1) flag=false;
//5)根据flag输出
cout<<(flag ? "Yes\n" : "No\n");
}
}2)用"快速幂"解决条件：a^(p-1) mod p =1
例如a=2，p=8
cpp
int check1(int a,int mi,int p){
//4)快速幂求最终a^(p-1)%p的结果
int base=a%p;
int result=1;
while(mi){
if(mi&1==1){
result=1ll*result*base%p;
}
base=1ll*base*base%p;
mi=(mi>>1);
}
return result;
}3)"费马小定理"解决条件：对于任意1<=i<p-1,均有a^i mod p!=1
3.1)推导过程
3.2) 结论：a^i mod p == 1， i必须是(p-1)的因数
cpp
bool check2(int a,int p){
int mi=p-1;
//5)枚举p的所有因子
for(int i=2;i*i<=mi;i++){
if(mi%i==0){
if(check1(a,i,p)==1||check1(a,mi/i,p)==1) return false;
}
}
return true;
}三、答案
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int check1(int a,int mi,int p){
//4)快速幂求最终a^(p-1)%p的结果
int base=a%p;
int result=1;
while(mi){
if(mi&1==1){
result=1ll*result*base%p;
}
base=1ll*base*base%p;
mi=(mi>>1);
}
return result;
}
bool check2(int a,int p){
int mi=p-1;
//5)枚举p的所有因子
for(int i=2;i*i<=mi;i++){
if(mi%i==0){
if(check1(a,i,p)==1||check1(a,mi/i,p)==1) return false;
}
}
return true;
}
int main(){
//1)确定数量t
int t;
cin>>t;
//2)填充t组数据
while(t--){
int a,p;
cin>>a>>p;
//3)函数判断是否可以
if(check1(a,p-1,p)==1&&check2(a,p)) cout<<"Yes\n";
else cout<<"No\n";
}
}