Datawhale人工智能的数学基础 202510第3次作业

检查加法：Φ([x₁,x₂] + [y₁,y₂]) = (x₁+y₁) + i(x₂+y₂) = (x₁+ix₂) + (y₁+iy₂) = Φ([x₁,x₂]) + Φ([y₁,y₂]) ✅
检查数乘：Φ(λ[x₁,x₂]) = λx₁ + iλx₂ = λ(x₁+ix₂) = λΦ([x₁,x₂]) ✅

所以，这是一个线性映射。这也解释了为什么复数可以看作是二维实数空间。

二、线性映射的"个性"：单射、满射、双射

这些词描述的是映射的"覆盖范围"和"一对一"程度。我们可以用一个生动的例子来理解：

想象映射 Φ 是把观众(V)安排到电影院座位(W)的规则。

单射 (Injective) ："一人一座" 。不同的观众一定坐在不同的座位上。不可能有两个人坐在同一个位置。数学表达：如果 Φ(x) = Φ(y)，那么必须有 x = y。
满射 (Surjective) ："座无虚席" 。每个座位都至少有一个观众坐着。数学表达：Φ(V) = W，即 W 中每个元素都被 V 中某个元素映射到。
双射 (Bijective) ："完美对号入座"。它既是单射又是满射。每个观众都有且只有一个座位，每个座位都有且只有一个观众。这是一一对应的关系。

特殊身份认证 🎖️

基于线性和双射，我们给一些特殊的线性映射颁发"头衔"：

同构 (Isomorphism) ：线性且双射的映射。这意味着空间 V 和 W 在结构上"完全一样"，只是元素的名字不同。
自同态 (Endomorphism) ：从一个空间 V 映射到它自己 V 的线性映射。 (Φ: V → V)
自同构 (Automorphism) ：从一个空间 V 映射到它自己 V 的线性双射 映射。比如恒等映射 id_V: x ↦ x。

重要定理（定理2.17）

两个有限维 的线性空间 V 和 W 是同构的，当且仅当 dim(V) = dim(W)。

通俗理解：维数相同，空间就同构。这就像说，所有3维的空间（比如所有三元实数组的空间、所有2x2对称矩阵的空间等）在结构上都是一样的。

三、线性映射的"身份证"：矩阵表示

任何一个线性映射，只要我们在定义域和值域中选定了基，就可以用一个矩阵来唯一地表示它。

1. 坐标与坐标向量（定义2.18）

在一个线性空间 V 中，一旦我们选定一个有序基 B = (b₁, b₂, ..., bₙ)，那么空间中的任何一个向量 x 都可以唯一地表示为基向量的线性组合：x = α₁b₁ + α₂b₂ + ... + αₙbₙ。
这组系数 (α₁, α₂, ..., αₙ) 就是向量 x 在基 B 下的坐标。把它们堆成一个列向量 [α₁, α₂, ..., αₙ]ᵀ，就是 坐标向量。

2. 变换矩阵（定义2.19）

现在，对于线性映射 Φ: V → W，我们给 V 选基 B，给 W 选基 C。
关键思想：想知道 Φ 怎么映射，只需要看它把 V 的基向量 bⱼ 映射成了 W 中的什么向量。
我们把每个 Φ(bⱼ) 都用 W 的基 C 来表示：Φ(bⱼ) = α₁ⱼc₁ + α₂ⱼc₂ + ... + αₘⱼcₘ。
然后，把这些坐标向量 [α₁ⱼ, α₂ⱼ, ..., αₘⱼ]ᵀ 并排排列，就得到了 Φ 关于基 B 和 C 的变换矩阵 A_Φ 。
A_Φ = [ [Φ(b₁)]_C, [Φ(b₂)]_C, ..., [Φ(bₙ)]_C ]

核心公式 💡

如果 x 在基 B 下的坐标向量是 x̂，那么 Φ(x) 在基 C 下的坐标向量 ŷ 可以通过矩阵乘法得到：
ŷ = A_Φ x̂

这个公式非常强大！它将抽象的线性映射运算，转化为了具体的矩阵乘法运算。

四、换个角度看世界：基变换

同一个向量，在不同的坐标系（基）下，坐标表示是不同的。同一个线性映射，在不同的基下，其变换矩阵也不同。

基变换定理（定理2.20）

假设：

在 V 中，从旧基 B 变换到新基 B̃，变换矩阵是 S（它的每一列是新基向量在旧基下的坐标）。
在 W 中，从旧基 C 变换到新基 C̃，变换矩阵是 T。
A_Φ 是映射 Φ 关于旧基 B, C 的矩阵。
Ã_Φ 是映射 Φ 关于新基 B̃, C̃ 的矩阵。

那么，新旧变换矩阵之间的关系是：
Ã_Φ = T⁻¹ A_Φ S

理解：要得到在新基下的变换矩阵，我们需要先"翻译"到旧基 (S)，然后执行旧基下的变换 (A_Φ)，最后再"翻译"回新基 (T⁻¹)。

定义关联

等价矩阵 ：如果 Ã = T⁻¹ A S，则 A 和 Ã 是等价的。这描述的是同一个线性映射在不同基下的矩阵。
相似矩阵 ：如果 Ã = S⁻¹ A S (此时 V=W, B=C, B̃=C̃, T=S)，则 A 和 Ã 是相似的。这描述的是同一个线性变换在同一个空间的不同基下的矩阵。相似是等价的一种特殊情况。

五、映射的"地盘"与"盲区"：像与核

对于一个线性映射 Φ: V → W，我们关心两个重要的子空间：

1. 核 (Kernel) / 零空间 (Null Space)

定义：ker(Φ) = { v ∈ V | Φ(v) = 0 }
是什么：所有被 Φ "压扁"成 W 中零向量的 V 中向量的集合。它是 V 的子空间。
几何意义：映射的"盲区"。从 V 中不同的点出发，如果它们的差在核里，它们会被映射到 W 中的同一个点。

2. 像 (Image) / 值域 (Range)

定义：Im(Φ) = { w ∈ W | ∃ v ∈ V, such that Φ(v) = w }
是什么：W 中所有能被 V 中某个向量映射到的点的集合。它是 W 的子空间。
与矩阵的关系 ：如果 Φ 由矩阵 A 表示，那么 Im(Φ) 就是矩阵 A 的列空间（所有列向量张成的空间）。

3. 秩-零度定理 (The Fundamental Theorem)

这是一个非常优美而重要的定理：
dim(ker(Φ)) + dim(Im(Φ)) = dim(V)

核的维数 + 像的维数 = 定义域的维数
直观理解 ：映射 Φ 把 V 这个空间，"压缩"掉了 dim(ker(Φ)) 这么多个维度，剩下的 dim(Im(Φ)) 个维度就是像空间的维度。

推论：

如果 dim(V) = dim(W)，那么：
Φ 是单射 ⇔ Φ 是满射 ⇔ Φ 是双射

这三个性质在这种情况下是等价的！

本章核心思想总结

线性映射是"守规矩"的映射，它保持加法和数乘运算。
线性映射可以用矩阵来表示，矩阵的具体形式依赖于所选的基。
基变换会引出差价矩阵和相似矩阵的概念，它们是理解同一映射/变换在不同视角下表现的关键。
像和核揭示了线性映射的结构信息，而秩-零度定理则精确描述了它们之间的关系。

2.8 仿射空间

一、什么是仿射空间？

核心思想 ：仿射空间就是一个线性空间（向量空间）被"平移"了一下，它的原点不再固定在(0,0,...)了。

1. 正式定义（定义2.25）

设 V 是一个线性空间，x₀ ∈ V 是一个点（称为支点），U ⊆ V 是一个子空间（称为方向空间 ）。那么集合
L = x₀ + U = { x₀ + u | u ∈ U }

就称为 V 的一个仿射子空间 或线性流形。

2. 关键理解 💡

x₀ (支点)：决定了这个仿射空间"平移"到了哪里。就像确定了一条直线经过哪个点。
U (方向空间)：决定了这个仿射空间的"朝向"和"维度"。就像决定了一条直线的方向。
L (仿射空间) ：是所有从支点 x₀ 出发，沿着方向空间 U 中任意方向移动所能到达的点的集合。

重要区别 ：如果支点 x₀ ∉ U（通常都不在，除非恰好选在原点），那么仿射子空间 L 不是 V 的线性子空间，因为它不包含零向量。

举个栗子 🌰 (例2.26 与图2.13)

一条不经过原点的直线 ：y = x₀ + λb₁，其中 λ ∈ R，U = span[b₁]。x₀ 是直线上的一个点，b₁ 决定了直线的方向。
一个不经过原点的平面 ：y = x₀ + λ₁b₁ + λ₂b₂，其中 λ₁, λ₂ ∈ R，U = span[b₁, b₂]。x₀ 是平面上的一个点，b₁, b₂ 是平面上两个不共线的方向向量。
超平面 ：在 Rⁿ 中，一个 (n-1) 维的仿射子空间。在 R² 中，超平面就是直线；在 R³ 中，超平面就是平面。

https://i.imgur.com/example-line.png (想象一条不经过原点的直线，向量 y 是这条直线上的一个点)

二、仿射空间的参数方程

对于一个 k 维的仿射空间 L = x₀ + U，如果我们给方向空间 U 选一组基 (b₁, ..., bₖ)，那么 L 中的每一个点 x 都可以唯一地 表示为：
x = x₀ + λ₁b₁ + ... + λₖbₖ

其中 λ₁, ..., λₖ ∈ R 称为参数。

这就是我们熟悉的参数方程！ 它清楚地告诉我们如何通过一个基准点（支点）和一组方向向量来构造整个空间。

三、仿射空间与线性方程组

这是一个非常重要的联系，它把代数和几何紧密地结合在了一起。

重要结论 ：

对于非齐次线性方程组 Aλ = x（其中 A ∈ R^(m×n)）：

它的解集要么是空集 ，要么是 Rⁿ 中的一个仿射子空间 ，其维数为 n - rk(A)。
特别地，方程 λ₁b₁ + ... + λₙbₙ = x（且 (λ₁,...,λₙ) ≠ (0,...,0)）的解集是 Rⁿ 中的一个超平面。

反过来也成立 ：

在 Rⁿ 中，每一个 k 维的仿射子空间，都可以表示为一个非齐次线性方程组 Ax = b 的解集，其中 rk(A) = n - k。

对比记忆：

齐次方程组 Ax = 0 的解集是一个线性子空间 （也看作支点为 0 的特殊仿射空间）。
非齐次方程组 Ax = b (b≠0) 的解集是一个仿射子空间（平移了的线性子空间）。

四、仿射映射

既然有了仿射空间，我们自然要研究它们之间的映射。仿射映射就是线性映射的"平移版"。

1. 正式定义（定义2.26）

对于两个线性空间 V, W，一个映射 ϕ: V → W 称为仿射映射 ，如果它可以写成：
ϕ(x) = a + Φ(x)

其中：

Φ: V → W 是一个线性映射。
a ∈ W 是一个固定的向量，称为位移向量。

2. 核心理解 💡

Φ (线性部分)：负责旋转、缩放、剪切等"线性变换"。
a (位移部分)：负责整体的平移。
ϕ (仿射映射) = 先线性变换，再平移。

3. 重要性质

结构性 ：每个仿射映射都可以唯一地分解为一个线性映射和一个位移的复合 (ϕ = τ ∘ Φ，其中 τ 是平移映射)。
封闭性：两个仿射映射的复合仍然是仿射映射。
几何不变性：仿射映射能够保持许多几何性质，例如：
- 点的共线性（一条直线上的点映射后仍在一条直线上）。
- 平行性（平行的线映射后仍然平行）。
- 线段的比例（一条线段上三点之间的比例在映射后保持不变）。
- 维数（将一个仿射子空间映射为另一个同维数的仿射子空间）。

本章核心思想总结

仿射空间是平移后的线性空间 ，形式为 L = x₀ + U，它更通用，不一定包含原点。
仿射空间与线性方程组解集 有着深刻的对应关系：非齐次方程组的解集构成仿射空间。
仿射映射 ϕ(x) = a + Φ(x) 是线性映射的推广，它在计算机图形学、机器视觉等领域有极其广泛的应用，因为它能描述包括平移在内的所有线性几何变换。

习题

练习 2.1

a. 证明 (R∖{−1},⋆)(R∖{−1},⋆) 是一个阿贝尔群

要证明 (R∖{−1},⋆)(R∖{−1},⋆) 是一个阿贝尔群，需要验证闭包、结合律、单位元、逆元以及交换律。

闭包：对于任意 a,b∈R∖{−1}a,b∈R∖{−1}，有 a⋆b=ab+a+ba⋆b=ab+a+b。假设 a⋆b=−1a⋆b=−1，则 ab+a+b=−1ab+a+b=−1，即 ab+a+b+1=0ab+a+b+1=0，亦即 (a+1)(b+1)=0(a+1)(b+1)=0。这意味着 a=−1a=−1 或 b=−1b=−1，但与 a,b∈R∖{−1}a,b∈R∖{−1} 矛盾。因此 a⋆b≠−1a⋆b=−1，即 a⋆b∈R∖{−1}a⋆b∈R∖{−1}，闭包成立。
结合律：对于任意 a,b,c∈R∖{−1}a,b,c∈R∖{−1}，有

(a⋆b)⋆c=(ab+a+b)⋆c=(ab+a+b)c+(ab+a+b)+c=abc+ac+bc+ab+a+b+c,(a⋆b)⋆c=(ab+a+b)⋆c=(ab+a+b)c+(ab+a+b)+c=abc+ac+bc+ab+a+b+c,a⋆(b⋆c)=a⋆(bc+b+c)=a(bc+b+c)+a+(bc+b+c)=abc+ab+ac+a+bc+b+c.a⋆(b⋆c)=a⋆(bc+b+c)=a(bc+b+c)+a+(bc+b+c)=abc+ab+ac+a+bc+b+c.

两者相等，因此结合律成立。
单位元：存在元素 e=0e=0，使得对于任意 a∈R∖{−1}a∈R∖{−1}，有

a⋆0=a⋅0+a+0=a,a⋆0=a⋅0+a+0=a,

且 0∈R∖{−1}0∈R∖{−1}，因此单位元为 00。
逆元：对于任意 a∈R∖{−1}a∈R∖{−1}，存在 b=−aa+1b=a+1−a，使得

a⋆b=a⋅−aa+1+a+−aa+1=−a2a+1+a(a+1)a+1+−aa+1=−a2+a2+a−aa+1=0.a⋆b=a⋅a+1−a+a+a+1−a=a+1−a2+a+1a(a+1)+a+1−a=a+1−a2+a2+a−a=0.

由于 a≠−1a=−1，分母 a+1≠0a+1=0，且 b≠−1b=−1（否则 −aa+1=−1a+1−a=−1 implies 0=−10=−1，矛盾），因此逆元存在。
交换律：对于任意 a,b∈R∖{−1}a,b∈R∖{−1}，有

a⋆b=ab+a+b=ba+b+a=b⋆a,a⋆b=ab+a+b=ba+b+a=b⋆a,

因此交换律成立。

综上，(R∖{−1},⋆)(R∖{−1},⋆) 是一个阿贝尔群。

b. 在阿贝尔群 (R∖{−1},⋆)(R∖{−1},⋆) 中解方程 3⋆x⋆x=153⋆x⋆x=15

方程 3⋆x⋆x=153⋆x⋆x=15 由于结合律等价于 (3⋆x)⋆x=15(3⋆x)⋆x=15。

首先计算 3⋆x3⋆x：

3⋆x=3⋅x+3+x=4x+3.3⋆x=3⋅x+3+x=4x+3.

然后计算 (3⋆x)⋆x(3⋆x)⋆x：

(4x+3)⋆x=(4x+3)⋅x+(4x+3)+x=4x2+3x+4x+3+x=4x2+8x+3.(4x+3)⋆x=(4x+3)⋅x+(4x+3)+x=4x2+3x+4x+3+x=4x2+8x+3.

设其等于 15：

4x2+8x+3=15,4x2+8x+3=15,

即

4x2+8x−12=0,4x2+8x−12=0,

除以 4：

x2+2x−3=0.x2+2x−3=0.

解二次方程：

x=−2±4+122=−2±162=−2±42,x=2−2±4+12=2−2±16=2−2±4,

得 x=1x=1 或 x=−3x=−3。

验证：

当 x=1x=1 时，3⋆1=3⋅1+3+1=73⋆1=3⋅1+3+1=7，然后 7⋆1=7⋅1+7+1=157⋆1=7⋅1+7+1=15，满足方程。
当 x=−3x=−3 时，3⋆(−3)=3⋅(−3)+3+(−3)=−93⋆(−3)=3⋅(−3)+3+(−3)=−9，然后 −9⋆(−3)=(−9)⋅(−3)+(−9)+(−3)=27−9−3=15−9⋆(−3)=(−9)⋅(−3)+(−9)+(−3)=27−9−3=15，满足方程。

且 x=1x=1 和 x=−3x=−3 均属于 R∖{−1}R∖{−1}，因此方程的解为 x=1x=1 或 x=−3x=−3。