【线性代数】为什么正交矩阵的转置矩阵与逆矩阵相等？

命题

如果一个 $n\; \times \; n\; n\; \backslash times\; n$n×n 的实矩阵 $A\; A$A 满足norm preserving （即保持向量模长不变），那么 $A\; A$A 是正交矩阵，且 $A\; -\; 1\; =\; A\; T\; A^\{-1\}\; =\; A^T$A−1=AT。

已知

一个实矩阵 $A\; \in \; R\; n\; \times \; n\; A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{n\; \backslash times\; n\}$A∈Rn×n，对任意向量 $x\; \in \; R\; n\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$x∈Rn，有：
$$\mid \; A\; x\; \mid \; =\; \mid \; x\; \mid \; |\; A\; x\; |\; =\; |\; x\; |$$∣Ax∣=∣x∣

其中 $\mid \; \cdot \; \mid \; |\; \backslash cdot\; |$∣⋅∣ 表示欧几里得范数，也就是向量 $x\; x$x 的模长（ $\mid \; x\; \mid \; =\; x\; T\; x\; |x|\; =\; \backslash sqrt\{x^T\; x\}$∣x∣=xTx ）。

证明过程

将等式两边平方：
$$\mid \; A\; x\; \mid \; 2\; =\; \mid \; x\; \mid \; 2\; |A\; x|^2\; =\; |x|^2$$∣Ax∣2=∣x∣2

利用内积表示范数平方（ $\mid \; v\; \mid \; 2\; =\; v\; T\; v\; |v|^2\; =\; v^T\; v$∣v∣2=vTv）：
$$(\; A\; x\; )\; T\; (\; A\; x\; )\; =\; x\; T\; x\; (Ax)^T\; (Ax)\; =\; x^T\; x$$(Ax)T(Ax)=xTx

展开左边：
$$x\; T\; A\; T\; A\; x\; =\; x\; T\; x\; x^T\; A^T\; A\; x\; =\; x^T\; x$$xTATAx=xTx

移项得：
$$x\; T\; (\; A\; T\; A\; -\; I\; )\; x\; =\; 0\; ,\; \forall \; x\; \in \; R\; n\; x^T\; (A^T\; A\; -\; I)\; x\; =\; 0,\; \backslash \; \backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$$xT(ATA−I)x=0, ∀x∈Rn

然后我们试图证明对称矩阵 $M\; =\; A\; T\; A\; -\; I\; M\; =\; A^T\; A\; -\; I$M=ATA−I 为零矩阵。

令 $M\; =\; A\; T\; A\; -\; I\; M\; =\; A^T\; A\; -\; I$M=ATA−I，则 $M\; M$M 是实对称矩阵（因为 $(\; A\; T\; A\; )\; T\; =\; A\; T\; A\; (A^T\; A)^T\; =\; A^T\; A$(ATA)T=ATA）。

已知对于所有 $x\; \in \; R\; n\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$x∈Rn，有：
$$x\; T\; M\; x\; =\; 0\; x^T\; M\; x\; =\; 0$$xTMx=0

我们证明这蕴含 $M\; =\; 0\; M\; =\; 0$M=0：

• 取 $x\; x$x 为标准基向量 $e\; i\; e\_i$ei：

  $$e\; i\; T\; M\; e\; i\; =\; M\; i\; ,\; i\; =\; 0\; e\_i^T\; M\; e\_i\; =\; M\_\{i,i\}\; =\; 0$$eiTMei=Mi,i=0

  所以 $M\; M$M 的所有对角线元素为 $0\; 0$0。

• 取 $x\; =\; e\; i\; +\; e\; j\; x\; =\; e\_i\; +\; e\_j$x=ei+ej（ $i\; \ne \; j\; i\; \backslash neq\; j$i=j）：

  $$(\; e\; i\; +\; e\; j\; )\; T\; M\; (\; e\; i\; +\; e\; j\; )\; =\; M\; i\; ,\; i\; +\; M\; j\; ,\; j\; +\; M\; i\; ,\; j\; +\; M\; j\; ,\; i\; (e\_i\; +\; e\_j)^T\; M\; (e\_i\; +\; e\_j)\; =\; M\_\{i,i\}\; +\; M\_\{j,j\}\; +\; M\_\{i,j\}\; +\; M\_\{j,i\}$$(ei+ej)TM(ei+ej)=Mi,i+Mj,j+Mi,j+Mj,i

  因为 $M\; M$M 对称， $M\; i\; ,\; j\; =\; M\; j\; ,\; i\; M\_\{i,j\}\; =\; M\_\{j,i\}$Mi,j=Mj,i，且 $M\; i\; ,\; i\; =\; M\; j\; ,\; j\; =\; 0\; M\_\{i,i\}\; =\; M\_\{j,j\}\; =\; 0$Mi,i=Mj,j=0，所以：
  $$0\; +\; 0\; +\; 2\; M\; i\; j\; =\; 0\; \Rightarrow \; M\; i\; j\; =\; 0\; 0\; +\; 0\; +\; 2M\_\{ij\}\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; M\_\{ij\}\; =\; 0$$0+0+2Mij=0⇒Mij=0

因此 $M\; M$M 的所有元素为 $0\; 0$0，即 $M\; =\; 0\; M\; =\; 0$M=0。

由 $M\; =\; 0\; M\; =\; 0$M=0 得：
$$A\; T\; A\; -\; I\; =\; 0\; \Rightarrow \; A\; T\; A\; =\; I\; A^T\; A\; -\; I\; =\; 0\; \backslash quad\; \backslash Rightarrow\; \backslash quad\; A^T\; A\; =\; I$$ATA−I=0⇒ATA=I

这意味着 $A\; A$A 是正交矩阵，且 $A\; -\; 1\; =\; A\; T\; A^\{-1\}\; =\; A^T$A−1=AT。

结论

我们证明了：若实方阵 $A\; A$A 保持所有向量的欧几里得范数不变，则 $A\; A$A 必为正交矩阵，其逆等于其转置。