要证明向量叉积的拉格朗日公式 u×(v×w)=v(u⋅w)−w(u⋅v)u × (v × w) = v(u·w) − w(u·v)u×(v×w)=v(u⋅w)−w(u⋅v)，我们可以通过分量展开法逐步推导，验证等式两边在各分量上的等价性。以下是详细证明过程：
1. 定义与符号说明
- 设向量 u=(ux,uy,uz)u = (u_x, u_y, u_z)u=(ux,uy,uz)，v=(vx,vt,vz)v = (v_x, v_t, v_z)v=(vx,vt,vz)，w=(wx,wy,wz)w = (w_x, w_y, w_z)w=(wx,wy,wz)。
- 叉积（Cross Product）定义为三维向量，点积（Dot Product）为标量。
- 叉积的分量公式：
a×b=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)a×b=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)。 - 点积的分量公式：
a⋅b=axbx+ayby+azbza · b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_za⋅b=axbx+ayby+azbz。
2. 左边展开：u × (v × w)
首先计算 v × w：
v×w=(vtwz−vzwy,vzwx−vxwz,vxwy−vtwx)=(cx,cy,cz)v × w = (v_tw_z − v_zw_y, v_zw_x − v_xw_z, v_xw_y − v_tw_x) = (c_x, c_y, c_z)v×w=(vtwz−vzwy,vzwx−vxwz,vxwy−vtwx)=(cx,cy,cz)，
其中：
cx=vtwz−vzwy，cy=vzwx−vxwz，cz=vxwy−vtwxc_x = v_tw_z − v_zw_y， c_y = v_zw_x − v_xw_z， c_z = v_xw_y − v_tw_xcx=vtwz−vzwy，cy=vzwx−vxwz，cz=vxwy−vtwx。
再计算 u×(v×w)=u×cu × (v × w) = u × cu×(v×w)=u×c：
- xxx分量：uycz−uzcyu_yc_z − u_zc_yuycz−uzcy
- yyy分量：uzcx−uxczu_zc_x − u_xc_zuzcx−uxcz
- zzz分量：uxcy−uycxu_xc_y − u_yc_xuxcy−uycx
代入 cx,cy,czc_x, c_y, c_zcx,cy,cz 并展开：
- xxx分量：uy(vxwy−vtwx)−uz(vzwx−vxwz)=uyvxwy−uyvtwx−uzvzwx+uzvxwzu_y(v_xw_y − v_tw_x) − u_z(v_zw_x − v_xw_z) = u_yv_xw_y − u_yv_tw_x − u_zv_zw_x + u_zv_xw_zuy(vxwy−vtwx)−uz(vzwx−vxwz)=uyvxwy−uyvtwx−uzvzwx+uzvxwz
- yyy分量：uz(vtwz−vzwy)−ux(vxwy−vtwx)=uzvtwz−uzvzwy−uxvxwy+uxvtwxu_z(v_tw_z − v_zw_y) − u_x(v_xw_y − v_tw_x) = u_zv_tw_z − u_zv_zw_y − u_xv_xw_y + u_xv_tw_xuz(vtwz−vzwy)−ux(vxwy−vtwx)=uzvtwz−uzvzwy−uxvxwy+uxvtwx
- zzz分量：ux(vzwx−vxwz)−uy(vtwz−vzwy)=uxvzwx−uxvxwz−uyvtwz+uyvzwyu_x(v_zw_x − v_xw_z) − u_y(v_tw_z − v_zw_y) = u_xv_zw_x − u_xv_xw_z − u_yv_tw_z + u_yv_zw_yux(vzwx−vxwz)−uy(vtwz−vzwy)=uxvzwx−uxvxwz−uyvtwz+uyvzwy
3. 右边展开：v(u·w) − w(u·v)
计算点积：
- u⋅w=uxwx+uywy+uzwzu · w = u_xw_x + u_yw_y + u_zw_zu⋅w=uxwx+uywy+uzwz
- u⋅v=uxvx+uyvt+uzvzu · v = u_xv_x + u_yv_t + u_zv_zu⋅v=uxvx+uyvt+uzvz
右边表达式：
v(u⋅w)=(vx,vt,vz)(uxwx+uywy+uzwz)v(u·w) = (v_x, v_t, v_z)(u_xw_x + u_yw_y + u_zw_z)v(u⋅w)=(vx,vt,vz)(uxwx+uywy+uzwz)
w(u⋅v)=(wx,wy,wz)(uxvx+uyvt+uzvz)w(u·v) = (w_x, w_y, w_z)(u_xv_x + u_yv_t + u_zv_z)w(u⋅v)=(wx,wy,wz)(uxvx+uyvt+uzvz)
相减后，各分量展开：
- xxx分量：vx(uxwx+uywy+uzwz)−wx(uxvx+uyvt+uzvz)=vxuxwx+vxuywy+vxuzwz−wxuxvx−wxuyvt−wxuzvzv_x(u_xw_x + u_yw_y + u_zw_z) − w_x(u_xv_x + u_yv_t + u_zv_z) = v_xu_xw_x + v_xu_yw_y + v_xu_zw_z − w_xu_xv_x − w_xu_yv_t − w_xu_zv_zvx(uxwx+uywy+uzwz)−wx(uxvx+uyvt+uzvz)=vxuxwx+vxuywy+vxuzwz−wxuxvx−wxuyvt−wxuzvz
- yyy分量：vt(uxwx+uywy+uzwz)−wy(uxvx+uyvt+uzvz)=vtuxwx+vtuywy+vtuzwz−wyuxvx−wyuyvt−wyuzvzv_t(u_xw_x + u_yw_y + u_zw_z) − w_y(u_xv_x + u_yv_t + u_zv_z) = v_tu_xw_x + v_tu_yw_y + v_tu_zw_z − w_yu_xv_x − w_yu_yv_t − w_yu_zv_zvt(uxwx+uywy+uzwz)−wy(uxvx+uyvt+uzvz)=vtuxwx+vtuywy+vtuzwz−wyuxvx−wyuyvt−wyuzvz
- zzz分量：vz(uxwx+uywy+uzwz)−wz(uxvx+uyvt+uzvz)=vzuxwx+vzuywy+vzuzwz−wzuxvx−wzuyvt−wzuzvzv_z(u_xw_x + u_yw_y + u_zw_z) − w_z(u_xv_x + u_yv_t + u_zv_z) = v_zu_xw_x + v_zu_yw_y + v_zu_zw_z − w_zu_xv_x − w_zu_yv_t − w_zu_zv_zvz(uxwx+uywy+uzwz)−wz(uxvx+uyvt+uzvz)=vzuxwx+vzuywy+vzuzwz−wzuxvx−wzuyvt−wzuzvz
4. 对比左右两边的分量
通过重新排列和合并同类项，验证左右两边对应分量相等：
x分量对比
左边：
uyvxwy−uyvtwx−uzvzwx+uzvxwzu_yv_xw_y − u_yv_tw_x − u_zv_zw_x + u_zv_xw_zuyvxwy−uyvtwx−uzvzwx+uzvxwz
右边：
vxuxwx+vxuywy+vxuzwz−wxuxvx−wxuyvt−wxuzvzv_xu_xw_x + v_xu_yw_y + v_xu_zw_z − w_xu_xv_x − w_xu_yv_t − w_xu_zv_zvxuxwx+vxuywy+vxuzwz−wxuxvx−wxuyvt−wxuzvz
注意到：
- vxuxwx−wxuxvx=0v_xu_xw_x − w_xu_xv_x = 0vxuxwx−wxuxvx=0（标量乘法交换律）
- 剩余项：vxuywy−wxuyvt+vxuzwz−wxuzvz=uy(vxwy−wxvt)+uz(vxwz−wxvz)v_xu_yw_y − w_xu_yv_t + v_xu_zw_z − w_xu_zv_z = u_y(v_xw_y − w_xv_t) + u_z(v_xw_z − w_xv_z)vxuywy−wxuyvt+vxuzwz−wxuzvz=uy(vxwy−wxvt)+uz(vxwz−wxvz)
代入左边x分量表达式，两者完全一致。
y分量对比
左边：
uzvtwz−uzvzwy−uxvxwy+uxvtwxu_zv_tw_z − u_zv_zw_y − u_xv_xw_y + u_xv_tw_xuzvtwz−uzvzwy−uxvxwy+uxvtwx
右边：
vtuxwx+vtuywy+vtuzwz−wyuxvx−wyuyvt−wyuzvzv_tu_xw_x + v_tu_yw_y + v_tu_zw_z − w_yu_xv_x − w_yu_yv_t − w_yu_zv_zvtuxwx+vtuywy+vtuzwz−wyuxvx−wyuyvt−wyuzvz
合并同类项后：
- vtuywy−wyuyvt=0v_tu_yw_y − w_yu_yv_t = 0vtuywy−wyuyvt=0
- 剩余项：vtuxwx−wyuxvx+vtuzwz−wyuzvz=ux(vtwx−wyvx)+uz(vtwz−wyvz)v_tu_xw_x − w_yu_xv_x + v_tu_zw_z − w_yu_zv_z = u_x(v_tw_x − w_yv_x) + u_z(v_tw_z − w_yv_z)vtuxwx−wyuxvx+vtuzwz−wyuzvz=ux(vtwx−wyvx)+uz(vtwz−wyvz)
与左边y分量一致。
z分量对比
左边：
uxvzwx−uxvxwz−uyvtwz+uyvzwyu_xv_zw_x − u_xv_xw_z − u_yv_tw_z + u_yv_zw_yuxvzwx−uxvxwz−uyvtwz+uyvzwy
右边：
vzuxwx+vzuywy+vzuzwz−wzuxvx−wzuyvt−wzuzvzv_zu_xw_x + v_zu_yw_y + v_zu_zw_z − w_zu_xv_x − w_zu_yv_t − w_zu_zv_zvzuxwx+vzuywy+vzuzwz−wzuxvx−wzuyvt−wzuzvz
合并同类项后：
- vzuzwz−wzuzvz=0v_zu_zw_z − w_zu_zv_z = 0vzuzwz−wzuzvz=0
- 剩余项：vzuxwx−wzuxvx+vzuywy−wzuyvt=ux(vzwx−wzvx)+uy(vzwy−wzvt)v_zu_xw_x − w_zu_xv_x + v_zu_yw_y − w_zu_yv_t = u_x(v_zw_x − w_zv_x) + u_y(v_zw_y − w_zv_t)vzuxwx−wzuxvx+vzuywy−wzuyvt=ux(vzwx−wzvx)+uy(vzwy−wzvt)
与左边z分量一致。
5. 结论
通过分量展开和逐项对比，左边 u×(v×w)u × (v × w)u×(v×w) 的每个分量均与右边 v(u⋅w)−w(u⋅v)v(u·w) − w(u·v)v(u⋅w)−w(u⋅v) 的对应分量严格相等，因此拉格朗日公式成立。
补充说明补充说明补充说明
- 几何意义几何意义几何意义：该公式描述了向量叉积的"投影-垂直"特性，即 u×(v×w)u × (v × w)u×(v×w) 可分解为 vvv 和 www 在 uuu 方向上的投影组合。
- 应用场景应用场景应用场景：在物理学（如电磁场、刚体力学）和计算机图形学（如三维变换、光照计算）中广泛使用。
- 扩展推广扩展推广扩展推广：该公式可推广至更高维空间或张量运算，但需注意叉积仅在三维和七维空间中定义（满足李代数结构）。
此证明通过严格的代数运算验证了向量恒等式的正确性，展现了向量运算的深层对称性和数学美感。