14. 求曲线的面积

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1).核心思想: 用简单图形逼近复杂图形

a.将复杂区域分割成许多小份

b.将简单图形(矩形)来近似每一小份的面积

c.当分割越来越细时, 近似值就越来越接近真实值

夹击思想: 我们可以找到两个序列, 一个总是低估真实面积, 一个总是高估真实面积, 当分割无

限细时, 这两个序列的极限相等, 这个共同的极限就是曲线下的真实面积

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2).具体方法

a.分割区间: 把区间[a, b]分成n个小区间, 每个小区间宽度为

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b.构造矩形

对于每个小区间[x_{i-1}, x_i], 由于函数f(x)是连续的, 根据极值定理, 它在每个小区间

上一定能取到最小值和最大值

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c.夹积关系成立

对于曲线下的真实面积A, 一定有: L_n ≤ A ≤ U_n

d.取极限

当n → ∞(即分割无限细，Δx → 0)时:

- 如果 lim L_n = lim U_n = L

- 那么根据夹逼定理，A = L

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3).实例: 求曲线 y = x² 在区间 [0, 1] 下方的面积

a.分割: 把[0, 1]分成n等份, Δx = 1/n

b.构造矩形:

在区间[(i-1)/n, i/n]上, 由于f(x) = x²是递增的

- 最小值在左端点: m_i = f((i-1)/n) = ((i-1)/n)²

- 最大值在右端点: M_i = f(i/n) = (i/n)²

c.计算和式

- 下和: L_n = Σ ((i-1)/n)² · (1/n)

- 上和: U_n = Σ (i/n)² · (1/n)

d.取极限

计算得: lim L_n = lim U_n = 1/3

所以面积 A = 1/3

14. 求曲线的面积

1.求曲线的面积

1.求曲线的面积