基础数学算法-开关问题

目录

• • 题目-开关问题
  • 问题分析
  • 算法步骤
  • 代码实现

题目-开关问题

问题分析

n n n个开关相当于 n n n个未知数, 假设对 1 1 1号灯的初始状态是 0 0 0, 目标状态是 1 1 1, 假设有 x 2 x_2 x2和 x 3 x_3 x3开关会对其产生影响, 那么有方程 x 2 ⊕ x 3 = 1 x_2 \oplus x_3 = 1 x2⊕x3=1

相当于是 n n n个方程 n n n个未知数, 高斯消元求解异或线性方程组 , 基础数学算法中有对应的代码

但是该问题求的是方案数, 最终如果有解, 每一个自由变量 只有两种选法

假设自由元 的数量是 k k k, 那么方案数等于 2 k 2 ^ k 2k

算法步骤

• 构建线性异或方程组
• 高斯消元
• 计算自由元的个数, 假设是 0 0 0, 实际只有一种方法
• 如果不是 1 1 1, 最终结果就是 2 k 2 ^ k 2k

代码实现

在多组测试用例的情况下, cin和printf不要混用!!!

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 35;

int T;
int n, f[N][N];

int gauss() {
    int r, c;
    for (r = c = 0; c < n; ++c) {
        int idx = r;
        for (int i = r; i < n; ++i) {
            if (f[i][c]) {
                idx = i;
                break;
            }
        }
        if (!f[idx][c]) continue;

        for (int i = c; i <= n; ++i) swap(f[r][i], f[idx][i]);
        for (int i = r + 1; i < n; ++i) {
            if (!f[i][c]) continue;
            for (int j = n; j >= c; --j) {
                f[i][j] ^= f[r][j] & f[i][c];
            }
        }
        r++;
    }

    int ans = 1;
    if (r <= n) {
        for (int i = r; i < n; ++i) {
            if (f[i][n]) return -1;
            ans *= 2;
        }
    }

    return ans;
}

void solve() {
    cin >> n;
    memset(f, 0, sizeof f);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> f[i][n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int val;
        cin >> val;
        f[i][n] ^= val;
        f[i][i] = 1;
    }

    int a, b;
    while (cin >> a >> b, a || b) {
        f[b - 1][a - 1] = 1;
    }

    int ans = gauss();
    if (ans == -1) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
    else printf("%d\n", ans);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> T;
    while (T--) solve();

    return 0;
}