深入BERT内核:用数学解密掩码语言模型的工作原理

传统语言模型有个天生缺陷------只能从左往右读，就像你现在读这段文字一样，一个词一个词往下看，完全不知道后面会出现什么。人类可不是这么学语言的。看到"被告被判**_**"，大脑会根据上下文直接联想到"有罪"或者"无罪"，这就是双向理解在起作用。

Google搞出来的BERT（Bidirectional Encoder Representations from Transformers）终于让机器也有了这种能力。BERT的核心不是简单地双向阅读，而是用了一种叫掩码语言建模（Masked Language Modeling，MLM）的巧妙方法。

通过随机遮住15%的词，BERT反而比那些完整阅读文本的模型学得更好。这有点像做填空题学英语，只不过空是随机出现的，而且BERT要处理的是几十亿个句子。

这篇文章会把MLM的数学机制拆开来逐一讲解。从一个被遮住的句子开始，经过注意力计算、概率分布、梯度下降，看看这些数学操作到底怎么让BERT达到接近人类的语言理解能力。搞懂这些数学原理，对于想要调优BERT或者设计类似模型的人来说很关键。

看完之后你会明白，BERT做的不只是遮词这么简单------注意力机制里的√d_k缩放、80-10-10的掩码策略，这些看似细节的数学设计对性能影响巨大。

核心机制：掩码预测

原理很简单：随机选一些词遮起来，让模型去猜。比如这句话：

"猫坐在[MASK]上。"

人看到"猫坐在......上"，马上就能想到可能是"垫子"、"地板"之类的词。这种推理来自对语法结构和词语关系的理解。BERT学的也是这套推理逻辑，只不过它靠的是数学优化而不是人的直觉。

训练分三步：

1. 掩码：随机挑出15%的词，80%换成[MASK]标记，10%换成随机词，剩下10%保持原样
2. 预测：把处理后的句子扔进BERT的transformer层，生成预测结果
3. 优化：算出预测和真实答案的差距，用反向传播更新参数

这个简单粗暴的方法逼着BERT学会深层的语言规律。关键在于MLM用了双向上下文------同时看左边和右边的词，不像传统的"下一词预测"模型只能看左边。所以得到的结果就是预测准确率高了很多。

从信息论来看，MLM制造了一个理想的学习信号。遮掉一个词，就产生了明确的预测任务和已知的不确定性。模型必须从上下文里榨取尽可能多的信息来降低这个不确定性。

一个词w在上下文c中的信息量，用惊讶度（surprisal）衡量：

 I(w|c) = -log P(w|c)

容易预测的词惊讶度低（信息量少），难预测的词惊讶度高。通过训练掩码标记，BERT学会建模完整的概率分布P(w|c)，既能掌握常见模式也不会忽略罕见结构。

80-10-10这个掩码策略也是有讲究的。如果只用[MASK]替换，模型在训练时见到的是特殊标记，但微调和推理时永远看不到这个标记，就会产生gap。随机替换词或者保持原词，强迫BERT在有干扰的情况下也能学出好的表示。

Transformer架构

BERT通过自注意力机制来理解上下文，这个机制用数学方式编码了序列中所有词之间的关系。对于n个token的输入序列，自注意力给每个token生成三个向量：

• Query（Q）：这个token想找什么信息
• Key（K）：这个token能提供什么信息
• Value（V）：这个token提供的具体内容

这些向量通过学习的线性变换得到：

 Q = XW_Q  
 K = XW_K  
 V = XW_V

X是输入嵌入矩阵，W_Q、W_K、W_V是可学习的权重矩阵。

然后注意力机制计算value的加权平均，权重表示每个token对其他token的关注程度：

 Attention(Q, K, V) = softmax(QK^T / √d_k)V

拆开来看：

1、 算注意力分数（QK^T）

点积QK^T生成一个n×n的矩阵，元素(i,j)代表token i对token j的关注度。点积越大说明query和key向量在语义或句法上越相似。

2、缩放（√d_k）

除以√d_k（key维度的平方根）防止点积太大。不缩放的话，当d_k很大时，点积方差会很高，把softmax推到梯度极小的区域，训练就不稳定了。

数学上，如果query和key是均值0方差1的随机变量，它们的点积方差就是d_k。除以√d_k把方差归一化回1。

3、Softmax

softmax把分数转成概率分布：

 softmax(z_i) = exp(z_i) / Σ_j exp(z_j)

保证每个token的注意力权重加起来是1，形成有效的概率分布。指数函数放大了分数之间的差异，让模型能聚焦在相关token上，同时弱化无关的。

4、加权聚合

最后把注意力权重乘以value矩阵V，得到加权和。每个token的输出表示都融合了其他所有token的信息，按相关性加权。

BERT不是算一个注意力函数，而是并行算h个（BERT-base是12个头，BERT-large是16个）。每个头学习关注输入的不同方面：

 head_i = Attention(QW_Q^i, KW_K^i, VW_V^i)

输出拼接后做线性变换：

 MultiHead(Q, K, V) = Concat(head_1, ..., head_h)W_O

为什么要多头？每个头可以关注不同类型的关系：

• 有的头专注句法关系（主谓一致）
• 有的头专注语义关系（同义反义）
• 还有的头关注位置模式

这种并行机制让BERT能同时建模多种语言结构。

跟按顺序处理的RNN不同，transformer一次性处理所有token。为了让模型知道词的顺序，BERT在输入嵌入里加入了位置编码：

 Input = Token_Embedding + Position_Embedding + Segment_Embedding

BERT用的是可学习的位置嵌入，不是原始Transformer论文里的正弦编码。每个位置（BERT里是0到511）都有一个d维向量可以学习，直接加到token嵌入上。

结果就是一个向量同时包含了位置和token的身份信息------既知道这个词是什么，也知道它在句子里的位置。

MLM预测头：从表示到概率

过完L层transformer（BERT-base是12层，BERT-large是24层）之后，每个token都有一个上下文化的表示h_i ∈ R^d。对于被掩码的token，需要把这些表示转成词汇表上的概率分布。

预测头包含三步变换：

带激活的全连接层

 h_mlm = GELU(h_i W_1 + b_1)

GELU（Gaussian Error Linear Unit）激活函数引入非线性：

 GELU(x) = x · Φ(x)

Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。GELU比ReLU的梯度更平滑，训练更稳。

层归一化

 h_norm = LayerNorm(h_mlm)

层归一化通过归一化激活值来稳定训练：

 LayerNorm(x) = γ(x - μ)/σ + β

μ和σ是跨特征计算的均值和标准差，γ和β是可学习参数。

输出投影

 logits = h_norm W_vocab + b_vocab

把归一化后的表示投影到词汇表大小V（BERT一般是30,000），给每个可能的token生成一个logit。

用softmax把logit转成概率：

 P(w_i | context) = exp(logit_i) / Σ_{j=1}^V exp(logit_j)

softmax有几个关键特性：

1. 输出范围：所有概率都在(0, 1)之间
2. 归一化：概率总和是1
3. 单调性：logit越高概率越大
4. 敏感性：指数放大了logit之间的差异

分母（配分函数）保证归一化，但计算开销很大------每次预测要对30,000多项求和。训练时这个成本避不开，但推理时可以用分层softmax之类的技术加速。

损失函数

对每个掩码token，用交叉熵衡量BERT预测分布和真实分布的差距（真实分布把全部概率放在正确token上）：

 L_token = -log P(w_true | context)

这个损失函数特性很好：

• 范围：L_token ∈ [0, ∞)
• 最小值：当P(w_true | context) = 1时达到
• 梯度：直接关联到预测误差

负对数概率处理了预测接近1时softmax指数增长的问题。模型给正确token分配高概率时，log P接近0，损失就低。反之概率低时，-log P变大，给学习提供强信号。

对于B个序列的batch，每个序列有M个掩码token，总MLM损失是：

 L_MLM = (1/BM) Σ_{b=1}^B Σ_{m=1}^M -log P(w_m^b | context_b)

这个平均操作保证损失大小不依赖batch大小或掩码率，让不同配置下的训练都稳定。

反向传播时计算损失相对于所有参数θ的梯度：

 ∇_θ L_MLM = (1/BM) Σ_{b=1}^B Σ_{m=1}^M ∇_θ (-log P(w_m^b | context_b))

相对于正确token的logit的梯度特别简单：

 ∂L/∂logit_true = P_predicted - 1

错误token的：

 ∂L/∂logit_wrong = P_predicted

梯度就是预测误差------预测概率和真实概率的差，这个干净的梯度结构让训练既稳定又高效。

优化

BERT用Adam优化器，它维护梯度及其平方的滑动平均：

 m_t = β_1 m_{t-1} + (1-β_1)g_t  
 v_t = β_2 v_{t-1} + (1-β_2)g_t^2

g_t是第t步的梯度，β1=0.9，β2=0.999是衰减率。

这些平均值需要做偏差修正：

 m̂_t = m_t / (1 - β_1^t)  
 v̂_t = v_t / (1 - β_2^t)

参数更新用自适应学习率：

 θ_t = θ_{t-1} - α · m̂_t / (√v̂_t + ε)

α是基础学习率，ε=10^-8防止除零。

Adam的自适应学习率能处理不同参数梯度的不同尺度，这对训练BERT这种有110M（base）或340M（large）参数的深度网络很关键。

BERT用两阶段学习率调度：

1. 线性预热：前10,000步把学习率从0升到α_max
2. 线性衰减：剩余步骤把学习率从α_max降到0

数学表达：

 α(t) = α_max · min(t/t_warmup, (t_total - t)/(t_total - t_warmup))

预热避免训练初期梯度不稳时做大幅参数更新。末期衰减让模型细粒度收敛到最优解。

预测掩码词

走一遍完整流程看看这些数学组件怎么配合工作。

输入句子

原始："The quick brown fox jumps over the lazy dog"掩码："The quick brown [MASK] jumps over the lazy dog"

步骤1：分词和嵌入

BERT的tokenizer把句子转成token ID：

 [101, 1996, 4248, 2829, 103, 14523, 2058, 1996, 13971, 3899, 102]

101是[CLS]，103是[MASK]，102是[SEP]。

每个token ID转成768维嵌入（BERT-base）。加上位置嵌入和段嵌入：

 X = Token_Emb + Pos_Emb + Seg_Emb

位置4的[MASK] token包含：

• Token嵌入：token 103的学习向量
• 位置嵌入：位置4的学习向量
• 段嵌入：段A（第一句）的向量

步骤2：自注意力计算

第一层注意力里，每个token和所有其他token计算注意力。对[MASK] token：

 Q_mask = X_mask W_Q  
 K_all = X_all W_K

MASK\]和各个上下文token的注意力分数： scores = Q_mask · K_all^T / √64 （BERT-base有12个头，d_k = 64，每个头维度是768/12=64） softmax之后，假设得到注意力权重： * "brown"（左边）：0.35 * "jumps"（右边）：0.40 * 其他token：0.25 这些权重乘以value向量： output_mask = 0.35·V_brown + 0.40·V_jumps + 0.25·V_others 这个输出进入下一层，"brown"和"jumps"的信息被整合进\[MASK\]表示。 **步骤3：层层堆叠** 这个过程在12层transformer里重复。每层都细化表示，整合越来越抽象的上下文信息。到最后一层，\[MASK\]表示h_mask包含了丰富的局部上下文（相邻词）和全局上下文（句子结构）信息。 **步骤4：预测** MLM头转换最终隐藏状态： h_mlm = GELU(h_mask W_1 + b_1) h_norm = LayerNorm(h_mlm) logits = h_norm W_vocab + b_vocab 假设前5个logit是： * "fox"：8.2 * "animal"：6.1 * "creature"：5.8 * "dog"：4.3 * "cat"：4.1 softmax之后（简化显示）： P("fox" | context) = exp(8.2) / Z ≈ 0.73 P("animal" | context) = exp(6.1) / Z ≈ 0.15 P("creature" | context) = exp(5.8) / Z ≈ 0.11 ... Z = Σ exp(logit_i)是配分函数。 **步骤5：计算损失** 正确token是"fox"，所以： L = -log P("fox" | context) = -log(0.73) ≈ 0.31 损失梯度反向传播更新所有参数，让模型在将来类似上下文中提高P("fox" \| context)。 ### MLM为什么有效 传统从左到右的语言模型只能基于前面的token： P(w_i | w_1, ..., w_{i-1}) MLM同时用两个方向： P(w_i | w_1, ..., w_{i-1}, w_{i+1}, ..., w_n) 双向上下文让预测准确率大幅提升。看这个例子： > *"河的\[MASK\]被淹没了。"* 单向模型看不到"淹没"，"bank"（银行/河岸）就很模糊。双向上下文里BERT看到"淹没"就能正确预测是"河岸"。 MLM逼着BERT学习能泛化语义和句法属性的密集向量表示。语义相似的token应该有相似的表示，这样才能在相似上下文里做出相似预测。这个预测目标创造了一个语义空间： * 同义词聚在一起 * 不同句法类别（名词、动词）在不同区域 * 关系（king-queen、man-woman）表现为一致的向量偏移 MLM预训练产生的通用表示可以用在下游任务上。预训练过程中模型学到： * **句法**：语法结构和词语关系 * **语义**：词义和上下文依赖 * **世界知识**：训练数据里包含的事实和关系 微调特定任务时，模型能利用这些学到的表示，需要的任务数据比从头训练少很多。 ### 总结 BERT的掩码语言建模在数学上是一套精巧的语言表示学习机制。自注意力通过查询-键空间的相似度计算，用值向量的加权平均学习上下文关系。多头注意力并行学习不同的语言表示。MLM目标逼着模型基于双向上下文预测掩码token，通过交叉熵损失和梯度下降优化不断改进。 理解这些数学原理不只是学术练习------它让实践者能在模型架构、训练流程、微调策略上做出明智决策。不管是针对特定领域调整BERT，开发新的预训练目标，还是debug训练不稳定，扎实的数学基础都很有价值。 自然语言理解不断突破边界，BERT体现的原则------基于注意力的上下文聚合、自监督学习、迁移学习------仍然是核心。未来的架构可能规模更大训练更快，但会建立在BERT奠定的数学基础上。 ### 参考文献 1. Devlin, J., Chang, M. W., Lee, K., \& Toutanova, K. (2018). BERT: Pre-training of Deep Bidirectional Transformers for Language Understanding. arXiv preprint arXiv:1810.04805. 2. Vaswani, A., Shazeer, N., Parmar, N., Uszkoreit, J., Jones, L., Gomez, A. N., ... \& Polosukhin, I. (2017). Attention is all you need. Advances in neural information processing systems, 30. 3. Liu, Y., Ott, M., Goyal, N., Du, J., Joshi, M., Chen, D., ... \& Stoyanov, V. (2019). RoBERTa: A Robustly Optimized BERT Pretraining Approach. arXiv preprint arXiv:1907.11692. 4. Lan, Z., Chen, M., Goodman, S., Gimpel, K., Sharma, P., \& Soricut, R. (2019). ALBERT: A Lite BERT for Self-supervised Learning of Language Representations. arXiv preprint arXiv:1909.11942. 5. Clark, K., Luong, M. T., Le, Q. V., \& Manning, C. D. (2020). ELECTRA: Pre-training Text Encoders as Discriminators Rather Than Generators. arXiv preprint arXiv:2003.10555. 作者：Harish K