🧠 一、背景设定
设 (X1,X2,...,Xn)( X_1, X_2, \dots, X_n )(X1,X2,...,Xn) 是从总体中独立随机抽取的 ( n ) 个样本，满足：
- 每个 (Xi∼i.i.d.)( X_i \sim \text{i.i.d.} )(Xi∼i.i.d.)
- (E[Xi]=μ)( \mathbb{E}[X_i] = \mu )(E[Xi]=μ)，总体均值
- (Var(Xi)=σ2)( \text{Var}(X_i) = \sigma^2 )(Var(Xi)=σ2)，总体方差
定义：
-
样本均值：
Xˉ=1n∑i=1nXi \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i Xˉ=n1i=1∑nXi -
样本方差的无偏估计：
S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2 S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2
我们想要证明：
E[S2]=σ2 \mathbb{E}[S^2] = \sigma^2 E[S2]=σ2
🧮 二、推导过程
我们从样本方差的定义入手：
S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2 S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2
我们要计算：
E[S2]=1n−1E[∑i=1n(Xi−Xˉ)2] \mathbb{E}[S^2] = \frac{1}{n-1} \mathbb{E} \left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] E[S2]=n−11E[i=1∑n(Xi−Xˉ)2]
也就是说，我们只需要证明：
E[∑i=1n(Xi−Xˉ)2]=(n−1)σ2 \mathbb{E} \left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = (n - 1)\sigma^2 E[i=1∑n(Xi−Xˉ)2]=(n−1)σ2
✂️ 步骤 1：展开偏差平方和
∑i=1n(Xi−Xˉ)2=∑i=1nXi2−nXˉ2 \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2 i=1∑n(Xi−Xˉ)2=i=1∑nXi2−nXˉ2
推导如下：
∑i=1n(Xi−Xˉ)2=∑Xi2−2Xˉ∑Xi+nXˉ2=∑Xi2−2nXˉ2+nXˉ2=∑Xi2−nXˉ2 \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \sum X_i^2 - 2\bar{X} \sum X_i + n\bar{X}^2 = \sum X_i^2 - 2n\bar{X}^2 + n\bar{X}^2 = \sum X_i^2 - n\bar{X}^2 i=1∑n(Xi−Xˉ)2=∑Xi2−2Xˉ∑Xi+nXˉ2=∑Xi2−2nXˉ2+nXˉ2=∑Xi2−nXˉ2
所以：
E[∑i=1n(Xi−Xˉ)2]=E[∑i=1nXi2−nXˉ2]=∑i=1nE[Xi2]−nE[Xˉ2] \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = \mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2 \right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i^2] - n \mathbb{E}[\bar{X}^2] E[i=1∑n(Xi−Xˉ)2]=E[i=1∑nXi2−nXˉ2]=i=1∑nE[Xi2]−nE[Xˉ2]
📌 步骤 2：计算每一项的期望
2.1 (E[Xi2])(\mathbb{E}[X_i^2])(E[Xi2])
由于 (Xi∼i.i.d.)( X_i \sim \text{i.i.d.} )(Xi∼i.i.d.)，所以对于每个 (i)( i )(i)：
E[Xi2]=Var(Xi)+(E[Xi])2=σ2+μ2 \mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + (\mathbb{E}[X_i])^2 = \sigma^2 + \mu^2 E[Xi2]=Var(Xi)+(E[Xi])2=σ2+μ2
所以：
∑i=1nE[Xi2]=n(σ2+μ2) \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i^2] = n(\sigma^2 + \mu^2) i=1∑nE[Xi2]=n(σ2+μ2)
2.2 (E[Xˉ2])(\mathbb{E}[\bar{X}^2])(E[Xˉ2])
E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=σ2n+μ2 \mathbb{E}[\bar{X}^2] = \text{Var}(\bar{X}) + (\mathbb{E}[\bar{X}])^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 E[Xˉ2]=Var(Xˉ)+(E[Xˉ])2=nσ2+μ2
所以：
nE[Xˉ2]=n(σ2n+μ2)=σ2+nμ2 n\mathbb{E}[\bar{X}^2] = n\left( \frac{\sigma^2}{n} + \mu^2 \right) = \sigma^2 + n\mu^2 nE[Xˉ2]=n(nσ2+μ2)=σ2+nμ2
✨ 步骤 3：代入并相减
E[∑i=1n(Xi−Xˉ)2]=n(σ2+μ2)−(σ2+nμ2)=nσ2+nμ2−σ2−nμ2=(n−1)σ2 \mathbb{E}\left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = n(\sigma^2 + \mu^2) - \left( \sigma^2 + n\mu^2 \right) = n\sigma^2 + n\mu^2 - \sigma^2 - n\mu^2 = (n - 1)\sigma^2 E[i=1∑n(Xi−Xˉ)2]=n(σ2+μ2)−(σ2+nμ2)=nσ2+nμ2−σ2−nμ2=(n−1)σ2
✅ 最后一步：代入样本方差
E[S2]=1n−1⋅E[∑i=1n(Xi−Xˉ)2]=1n−1⋅(n−1)σ2=σ2 \mathbb{E}[S^2] = \frac{1}{n - 1} \cdot \mathbb{E} \left[ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \right] = \frac{1}{n - 1} \cdot (n - 1)\sigma^2 = \sigma^2 E[S2]=n−11⋅E[i=1∑n(Xi−Xˉ)2]=n−11⋅(n−1)σ2=σ2
🎉 结论
E[S2]=σ2 \mathbb{E}[S^2] = \sigma^2 E[S2]=σ2
因此，
样本方差 (S2=1n−1∑(Xi−Xˉ)2)( S^2 = \frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2 )(S2=n−11∑(Xi−Xˉ)2) 是总体方差 (σ2)( \sigma^2 )(σ2) 的无偏估计。
💡 为什么要除以 (n−1)( n - 1 )(n−1) 而不是 (n)( n )(n)？
直觉解释：
- 当你用样本估计总体均值 (μ)( \mu )(μ) 时，用的是 样本均值 (Xˉ)( \bar{X} )(Xˉ)，这是一个对数据的"估计"；
- 因为你已经用数据"消耗"了一部分自由度去估计 (Xˉ)( \bar{X} )(Xˉ)，所以在计算方差时，不能再当作所有 (n)( n )(n) 个数据都是独立的；
- 这就是统计学中所说的：自由度减少了 1 ，因此方差需要除以 (n−1)( n - 1 )(n−1)。