数据结构——二叉搜索树

二叉搜索树

在动态查找表中，数据元素会频繁地插入和删除，此时顺序查找效率太低，折半查找又依赖全表有序------二叉搜索树（又称二叉排序树）恰好解决了这一问题。它是一种特殊的二叉树，通过定义节点值的大小关系，让查找、插入、删除操作都能在树的高度范围内完成，兼顾了动态性和效率。无论是通讯录的动态管理，还是数据库的索引结构，二叉搜索树都有着广泛的应用。

1. 二叉搜索树的定义与结构

二叉搜索树是一种空树，或者是具有以下特性的二叉树：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
• 它的左、右子树也分别是二叉搜索树。

这种特性保证了二叉搜索树的"有序性"------从根节点出发，左子树始终是"小值区域"，右子树始终是"大值区域"，就像一本按规则排列的字典，每个节点都是其左子树的"最大值"和右子树的"最小值"。

我们用一个具体的二叉搜索树示例（节点值为整数）来直观理解其结构，用mermaid绘制如下：
60 40 70 20 50 10 30 65 80

在这棵树中：

• 根节点60的左子树所有节点（40、20、50、10、30）均小于60，右子树所有节点（70、65、80）均大于60；
• 节点40的左子树（20、10、30）均小于40，右子树（50）大于40；
• 每个子树都满足同样的规则，例如节点20的左子树10小于20，右子树30大于20。

2. 二叉搜索树的查找操作

二叉搜索树的查找过程利用了其"左小右大"的特性，类似折半查找的"缩小范围"思想，但通过树的分支实现。具体步骤如下：

• 从根节点开始，将目标值target与当前节点的值比较；
• 若target等于当前节点的值，查找成功，返回当前节点；
• 若target小于当前节点的值，说明目标可能在左子树，继续在左子树中查找；
• 若target大于当前节点的值，说明目标可能在右子树，继续在右子树中查找；
• 若当前节点为空（即到达叶子节点的子树），则查找失败，返回空指针。

以之前的二叉搜索树为例，查找target=50的过程用mermaid绘制如下：

flowchart LR start[开始] --> A[当前节点=60，50 < 60 → 左子树] A --> B[当前节点=40，50 > 40 → 右子树] B --> C[当前节点=50，50 == 50 → 查找成功]

查找target=25的过程则是：

从根节点60→左子树40→左子树20→右子树30（25 < 30）→左子树为空，最终查找失败。

二叉搜索树查找的C语言实现（迭代版本，避免递归栈开销）如下：

// 二叉搜索树节点结构
typedef struct BSTNode {
    int key; // 关键字
    struct BSTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子
} BSTNode;

// 查找关键字为target的节点，返回节点指针（失败返回NULL）
BSTNode* BST_Search(BSTNode *root, int target) {
    while (root != NULL) { // 节点非空则继续查找
        if (root->key == target) return root; // 找到目标，返回节点
        else if (target < root->key) root = root->lchild; // 左子树查找
        else root = root->rchild; // 右子树查找
    }
    return NULL; // 查找失败
}

代码说明：通过循环遍历树，根据目标值与当前节点值的大小关系，不断转向左或右子树，直到找到节点或遍历至空树，时间复杂度取决于树的高度。

3. 二叉搜索树的插入操作

插入操作的核心是"找到合适的位置并保持二叉搜索树的特性"，新节点始终作为叶子节点插入（不破坏已有结构）。具体步骤如下：

• 若树为空，直接将新节点作为根节点；
• 若树非空，从根节点开始，类似查找过程：
  1）比较新节点值key与当前节点值：
  • 若key小于当前节点值，且当前节点左子树为空，则将新节点插入为左孩子；
  • 若key大于当前节点值，且当前节点右子树为空，则将新节点插入为右孩子；
  • 若子树非空，则继续在对应子树中查找插入位置（注意：二叉搜索树通常不允许重复值，若key与当前节点值相等，可视为插入失败或覆盖值）。

我们以"依次插入60、40、70、20、50、10、30、65、80"为例，展示二叉搜索树的构造过程（即上述示例树的形成过程），用mermaid分步绘制如下：
插入60 插入40 插入70 插入20 插入50 插入10 插入30 插入65 插入80 树为空，60作为根节点 40 < 60，插入60左子树 70 > 60，插入60右子树 20 < 40，插入40左子树 50 > 40，插入40右子树 10 < 20，插入20左子树 30 > 20，插入20右子树 65 < 70，插入70左子树 80 > 70，插入70右子树 插入60 插入40 插入70 插入20 插入50 插入10 插入30 插入65 插入80

每一步插入都遵循"左小右大"的规则，最终形成的树保持了二叉搜索树的特性。插入操作的C语言实现如下：

// 插入关键字为key的新节点，返回根节点（处理空树情况）
BSTNode* BST_Insert(BSTNode *root, int key) {
    if (root == NULL) { // 树为空，创建新节点作为根
        root = (BSTNode*)malloc(sizeof(BSTNode));
        root->key = key;
        root->lchild = root->rchild = NULL;
        return root;
    }
    if (key < root->key) // 插入左子树
        root->lchild = BST_Insert(root->lchild, key);
    else if (key > root->key) // 插入右子树
        root->rchild = BST_Insert(root->rchild, key);
    // 若key相等，此处不处理（视为不插入重复值）
    return root;
}

代码说明：采用递归实现，当找到空位置时创建新节点，否则递归向左或右子树插入，确保新节点作为叶子节点插入，维持树的特性。

4. 二叉搜索树的删除操作

删除操作是二叉搜索树中最复杂的操作，需要在删除节点后仍保持"左小右大"的特性。根据被删除节点的子树情况，分为三种情况：

（1）被删除节点是叶子节点（无左、右子树）

直接删除该节点，将其双亲节点的对应指针（左或右孩子）设为NULL即可。例如，在示例树中删除节点10（叶子节点），只需将节点20的左指针设为NULL，树的其他结构不变。

（2）被删除节点只有一棵子树（左子树或右子树）

用子树替代被删除节点的位置：若节点只有左子树，则将左子树连接到其双亲节点的对应指针；若只有右子树，则将右子树连接过去。例如，删除节点20（左子树10，右子树30），假设节点20是节点40的左孩子，则将节点40的左指针指向节点20的左子树（10）或右子树（30）------实际中需判断哪棵子树存在，此处节点20左右子树均存在，不适用该情况，仅举例说明逻辑。

（3）被删除节点有两棵子树（左、右子树均非空）

这种情况最复杂，需找到"替代节点"来填补被删除节点的位置，替代节点需满足：值大于左子树所有节点，且小于右子树所有节点（即保持树的有序性）。通常选择"中序前驱"或"中序后继"作为替代节点：

• 中序前驱：被删除节点左子树中值最大的节点（左子树的最右节点）；
• 中序后继：被删除节点右子树中值最小的节点（右子树的最左节点）。

替代后，删除该替代节点（替代节点必为叶子节点或只有一棵子树，可用前两种情况处理）。

以示例树中删除根节点60（有左右子树）为例，步骤如下：

• 找中序后继：右子树70的最左节点65（右子树中值最小）；
• 用65替代60的位置，此时根节点变为65；
• 删除原节点65（它是节点70的左孩子，且为叶子节点），将70的左指针设为NULL。

删除后的树结构用mermaid绘制如下：
65 40 70 20 50 10 30 NULL 80

删除操作的C语言实现（核心逻辑）如下：

// 删除关键字为key的节点，返回根节点
BSTNode* BST_Delete(BSTNode *root, int key) {
    if (root == NULL) return NULL; // 树空，无需删除
    if (key < root->key) // 向左子树查找删除
        root->lchild = BST_Delete(root->lchild, key);
    else if (key > root->key) // 向右子树查找删除
        root->rchild = BST_Delete(root->rchild, key);
    else { // 找到待删除节点
        if (root->lchild == NULL) { // 无左子树（含叶子节点）
            BSTNode *temp = root->rchild;
            free(root);
            return temp;
        } else if (root->rchild == NULL) { // 无右子树
            BSTNode *temp = root->lchild;
            free(root);
            return temp;
        }
        // 有两棵子树，找中序后继（右子树最左节点）
        BSTNode *temp = root->rchild;
        while (temp->lchild != NULL) temp = temp->lchild;
        root->key = temp->key; // 用后继值替代
        root->rchild = BST_Delete(root->rchild, temp->key); // 删除后继
    }
    return root;
}

代码说明：递归查找待删除节点，根据子树情况处理：无左子树则用右子树替代，无右子树则用左子树替代，有两棵子树则用中序后继替代并删除后继节点，确保删除后仍为二叉搜索树。

5. 二叉搜索树的中序遍历特性

二叉搜索树的中序遍历（左子树→根节点→右子树）具有特殊意义------遍历结果是一个递增的有序序列。这是由其"左小右大"的特性决定的，例如示例树的中序遍历结果为：10, 20, 30, 40, 50, 60, 65, 70, 80，恰好是递增序列。

这一特性可用于验证二叉搜索树的正确性：若一棵二叉树的中序遍历结果是有序的，则它是二叉搜索树（反之亦然）。同时，中序遍历也为查找"第k小元素""前驱/后继节点"等操作提供了便捷方式。

6. 二叉搜索树的查找效率分析

二叉搜索树的查找、插入、删除操作的时间复杂度均取决于树的高度h，即O(h)。树的高度与节点插入顺序密切相关：

• 最好情况 ：树接近平衡（左右子树高度差较小），此时h ≈ log₂n（n为节点数），时间复杂度为O(logn)，与折半查找相当；
• 最坏情况 ：节点按有序序列插入（如10,20,30,40），树退化为单支树（斜树），此时h = n，时间复杂度退化至O(n)，与顺序查找相同；
• 平均情况 ：若节点插入顺序随机，树的高度约为logn，平均时间复杂度为O(logn)。

例如，插入序列为60,40,70,20,50（随机顺序），树的高度为3（log₂5≈2.32），接近平衡；而插入序列为10,20,30,40,50（递增顺序），树的高度为5，退化为斜树。

这种效率的不稳定性是二叉搜索树的主要缺陷，后续的平衡二叉树、红黑树等结构正是为了解决这一问题，通过维护树的平衡性来保证高效的操作性能。

综上，二叉搜索树通过"左小右大"的特性实现了动态查找表的高效操作，查找、插入、删除均能在树高范围内完成。其核心优势是动态性------无需像折半查找那样依赖全表有序，插入删除只需调整少量指针；但缺点是效率受树的形态影响较大，最坏情况下性能较差。理解二叉搜索树的操作逻辑和特性，是学习更复杂平衡树结构的基础，也为实际应用中选择合适的查找结构提供了依据。