108. 将有序数组转换为二叉搜索树

一、题目

题目描述给定一个按升序排列 的整数数组 nums，要求将其转换为一棵平衡的二叉搜索树（BST）。平衡二叉树是指每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1。
示例输入：nums = $-10,-3,0,5,9$ 输出： $0,-3,9,-10,null,5$ 解释：以 0 为根节点，左子树为 $-10,-3$ ，右子树为 $5,9$ ，左右子树高度差为 1，满足平衡条件。

输入：nums = $1,3$ 输出： $3,1$ 或 $1,null,3$ 解释：两种结构均为平衡 BST，左子树与右子树高度差不超过 1。

核心需求利用有序数组的特性构建平衡 BST，关键是选择合适的根节点，确保左右子树规模均衡，从而满足平衡性。

二、解题思路

核心难点是如何保证构建的 BST 是平衡的，利用二分法选择根节点是关键：

平衡 BST 的特性：
- 对于有序数组（BST 的中序遍历结果），选择中间元素作为根节点，可使左右子树的节点数量尽可能均衡，从而保证平衡性。
- 左子树由中间元素左侧的子数组构建，右子树由中间元素右侧的子数组构建，递归此过程即可。
步骤拆解：
- 若数组为空，返回空节点（递归终止条件）。
- 找到数组的中间索引 mid，以 nums[mid] 作为当前子树的根节点。
- 递归构建左子树：使用左子数组 nums[0..mid-1]。
- 递归构建右子树：使用右子数组 nums[mid+1..end]。
- 将根节点的左、右指针分别指向构建好的左、右子树，返回根节点。

三、代码实现

cpp 复制代码


/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */

// 辅助函数：递归构建平衡BST
struct TreeNode* buildBST(int* nums, int left, int right) {
    // 递归终止条件：左边界超过右边界，返回空节点
    if (left > right) {
        return NULL;
    }
    
    // 选择中间元素作为根节点（避免溢出的写法：left + (right - left)/2）
    int mid = left + (right - left) / 2;
    
    // 创建当前根节点
    struct TreeNode* root = (struct TreeNode*)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    root->val = nums[mid];
    
    // 递归构建左子树（左半部分数组）
    root->left = buildBST(nums, left, mid - 1);
    // 递归构建右子树（右半部分数组）
    root->right = buildBST(nums, mid + 1, right);
    
    return root;
}

struct TreeNode* sortedArrayToBST(int* nums, int numsSize) {
    // 调用辅助函数，初始边界为整个数组（0到numsSize-1）
    return buildBST(nums, 0, numsSize - 1);
}

四、总结

解法优势
- 平衡性保证：通过选择中间元素作为根节点，确保左右子树的节点数量差不超过 1，天然满足平衡条件。
- 时间复杂度：O (n)，每个节点仅被创建一次（n 为数组长度）。
- 空间复杂度：O (log n)（递归栈深度，平衡树的高度为 log n）。
关键知识点
- 二叉搜索树特性：中序遍历结果为升序数组，因此有序数组可直接映射为 BST 的中序序列。
- 二分法应用：通过中间元素分割数组，使左右子树规模均衡，是构建平衡树的核心技巧。
- 递归构建：将大问题（整个数组）分解为小问题（子数组），递归处理子问题并组合结果。
扩展思考
- 若数组长度为偶数，选择中间偏左或偏右的元素作为根节点均可（如示例 2 中的两种答案），不影响平衡性。
- 非递归实现：可使用栈模拟递归过程，手动维护左右边界，本质逻辑与递归一致。