1. 引言
在之前的两篇文章《最小二乘问题详解4：非线性最小二乘》、《最小二乘问题详解5：非线性最小二乘求解实例》中，笔者介绍了非线性最小二乘问题，并使用Gauss-Newton方法来进行求解。不过，求解非线性最小二乘问题还有另外一种方法------梯度下降法。
2. 背景
梯度下降法在人工智能的机器学习中使用的非常多，因为机器学习的训练过程通常被形式化为经验风险最小化问题（Empirical Risk Minimization, ERM）：即在训练数据上最小化损失函数。而最小二乘问题其实也是经验风险最小化问题的一种，甚至机器学习的某些任务（比如回归）本身就是最小二乘问题。经验风险最小化问题是一种通用的函数拟合框架，不过损失函数有所不同，通常使用梯度下降法来进行求解。
那么为什么机器学习中使用梯度下降法来求解，而计算机视觉（SLAM、SfM、相机标定、BA）中使用Gauss-Newton/Levenberg-Marquardt来进行求解呢？这是因为机器学习的问题可以只用关心局部的"好解"，而不用像计算机视觉问题那样需要求解全局的"精确最小值"；另外，机器学习问题规模巨大、结构复杂，使用梯度下降法要简单、健壮、高效的多。
3. 求解
接下来就来介绍一下使用梯度下降法求解非线性最小二乘问题。还是先看非线性最小二乘问题的定义：
\[\min_{\theta} S(\theta) = \ \mathbf{r}(\theta)\ ^2 = \sum_{i=1}^m r_i(\theta)^2 \]
其中：
\(\theta \in \mathbb{R}^n\)：待优化的参数向量（比如曲线的系数）
\(\mathbf{r}(\theta) = \begin{bmatrix} r_1(\theta) \\ \vdots \\ r_m(\theta) \end{bmatrix}\)：残差向量，\(r_i(\theta) = y_i - f(x_i; \theta)\)
\(S(\theta)\)：目标函数（损失函数），是我们要最小化的残差平方和
梯度下降法的核心思想是：在当前点，沿着目标函数下降最快的方向走一步，然后重复。而这个"最快下降方向"就是负梯度方向\(-\nabla S(\theta)\)。因此问题的关键在于计算目标函数\(S(\theta) = \ \mathbf{r}(\theta)\ ^2\)的梯度。根据求导的链式法则：
\[\nabla S(\theta) = \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \mathbf{r}(\theta)^T \mathbf{r}(\theta) \right) = 2 \, J(\theta)^T \mathbf{r}(\theta) \]
其中：
\(J(\theta)\)：雅可比矩阵（Jacobian），大小为 \(m \times n\)
\[J(\theta) = \begin{bmatrix} \frac{\partial r_1}{\partial \theta_1} & \cdots & \frac{\partial r_1}{\partial \theta_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial r_m}{\partial \theta_1} & \cdots & \frac{\partial r_m}{\partial \theta_n} \end{bmatrix} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta^T} \]
即目标函数的梯度是：\(\nabla S(\theta) = 2 J(\theta)^T \mathbf{r}(\theta)\)。
另一方面，在每次梯度下降之后，需要更新参数向量：
\[\boxed{ \theta_{k+1} = \theta_k - \alpha \cdot \nabla S(\theta_k) = \theta_k - 2\alpha \cdot J_k^T \mathbf{r}_k } \]
其中：
\(\theta_k\)：第 \(k\) 次迭代的参数
\(\alpha > 0\)：学习率（step size），控制步长
\(J_k = J(\theta_k)\)，\(\mathbf{r}_k = \mathbf{r}(\theta_k)\)
因此，将梯度下降方法完整的流程总结如下：
- 初始化：选一个初始猜测 θ₀
- 设置学习率 α（例如 0.01）
- 对 k = 0, 1, 2, ... 直到收敛：
a. 计算残差：\(r_k = y - f(x; θ_k)\)
b. 计算雅可比矩阵：\(J_k = J(θ_k)\)
c. 计算梯度：\(g_k = 2 J_k^T r_k\)
d. 更新参数：\(θ_{k+1} = θ_k - α g_k\)
e. 检查是否收敛：\(Δθ = θ_{k+1} - θ_k < ε\)或\(g_k < ε\)或\(S(θ)\)变化很小 - 输出最终参数 θ
4. 实例
从上述求解过程可以看到，梯度下降法其实比之前文章中介绍的Gauss-Newton方法要简单很多，那么这里还是给出一个只使用Eigen实现梯度下降法求解非线性最小二乘问题的例子。例子中模型函数为\(f(x; \boldsymbol{\theta}) = a e ^{bx}\)：
cpp
#include <Eigen/Dense>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <random>
#include <vector>
using namespace std;
using namespace Eigen;
// 模型函数: y = a * exp(b * x)
double model(double x, const Vector2d& theta) {
double a = theta(0);
double b = theta(1);
return a * exp(b * x);
}
// 计算残差: r_i = y_i - f(x_i; a, b)
VectorXd computeResiduals(const vector<double>& x_data,
const vector<double>& y_data, const Vector2d& theta) {
int N = x_data.size();
VectorXd r(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
r(i) = y_data[i] - model(x_data[i], theta);
}
return r;
}
// 计算 Jacobian 矩阵 (N x 2): ∂r_i/∂a, ∂r_i/∂b
MatrixXd computeJacobian(const vector<double>& x_data, const Vector2d& theta) {
int N = x_data.size();
MatrixXd J(N, 2);
double a = theta(0);
double b = theta(1);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
double x = x_data[i];
double exp_bx = exp(b * x); // exp(b*x)
J(i, 0) = -exp_bx; // ∂r/∂a = -exp(b*x)
J(i, 1) = -a * exp_bx * x; // ∂r/∂b = -a * exp(b*x) * x
}
return J;
}
int main() {
// ========================
// 1. 真实参数
// ========================
Vector2d true_params;
true_params << 2.0, -0.3; // a=2.0, b=-0.3 → y = 2 * exp(-0.3 * x)
cout << "真实参数: a = " << true_params(0) << ", b = " << true_params(1)
<< endl;
// ========================
// 2. 生成带噪声的数据
// ========================
int N = 20;
vector<double> x_data(N), y_data(N);
random_device rd;
mt19937 gen(rd());
normal_distribution<double> noise(0.0, 0.05); // 小噪声
for (int i = 0; i < N; ++i) {
x_data[i] = -2.0 + i * 0.4; // x 从 -2 到 6
double y_true = model(x_data[i], true_params);
y_data[i] = y_true + noise(gen);
}
// ========================
// 3. 初始化参数
// ========================
Vector2d theta;
theta << 1.0, 0.0; // 初始猜测: a=1.0, b=0.0
cout << "初始猜测: a = " << theta(0) << ", b = " << theta(1) << endl;
// ========================
// 4. 梯度下降法
// ========================
int max_iter = 500;
double alpha = 5e-3; // 学习率
double tol = 1e-6;
cout << "\n开始梯度下降...\n";
cout << "迭代\t残差平方和\t\t参数 a\t\t参数 b\n";
cout << "----\t----------\t\t------\t\t------\n";
for (int iter = 0; iter < max_iter; ++iter) {
// 计算残差
VectorXd r = computeResiduals(x_data, y_data, theta);
double cost = r.squaredNorm();
// 计算梯度
MatrixXd J = computeJacobian(x_data, theta);
Vector2d gradient = 2.0 * J.transpose() * r;
// 打印当前状态（每10次）
if (iter % 10 == 0) {
cout << iter << "\t" << cost << "\t\t" << theta(0) << "\t\t" << theta(1)
<< endl;
}
// 终止条件
if (gradient.norm() < tol) {
cout << "收敛！梯度范数: " << gradient.norm() << endl;
break;
}
// 更新参数
theta -= alpha * gradient;
}
// ========================
// 5. 输出结果
// ========================
cout << "\n--- 拟合完成 ---" << endl;
cout << "估计参数: a = " << theta(0) << ", b = " << theta(1) << endl;
cout << "真实参数: a = " << true_params(0) << ", b = " << true_params(1)
<< endl;
return 0;
}运行结果如下：
shell
真实参数: a = 2, b = -0.3
初始猜测: a = 1, b = 0
开始梯度下降...
迭代 残差平方和 参数 a 参数 b
---- ---------- ------ ------
0 22.7591 1 0
10 1.11435 1.72284 -0.345
20 0.100641 1.93634 -0.301778
30 0.0326195 1.99193 -0.294493
40 0.0286004 2.00545 -0.292882
50 0.0283681 2.0087 -0.292503
60 0.0283548 2.00948 -0.292413
70 0.028354 2.00967 -0.292391
80 0.0283539 2.00971 -0.292386
90 0.0283539 2.00972 -0.292385
100 0.0283539 2.00972 -0.292384
110 0.0283539 2.00973 -0.292384
120 0.0283539 2.00973 -0.292384
收敛！梯度范数: 9.36104e-07
--- 拟合完成 ---
估计参数: a = 2.00973, b = -0.292384
真实参数: a = 2, b = -0.3求解的关键还是在于计算雅可比矩阵，对于问题模型函数\(f(x; \boldsymbol{\theta}) = a e ^{bx}\)来说，雅可比矩阵应该是：
\[J(\theta) = \begin{bmatrix} \frac{\partial (y_1-ae^{bx_1})}{\partial a} & \frac{\partial (y_1-ae^{bx_1})}{\partial b} \\ \frac{\partial (y_2-ae^{bx_2})}{\partial a} & \frac{\partial (y_2-ae^{bx_2})}{\partial b} \\ \vdots & \vdots \\ \frac{\partial (y_m-ae^{bx_m})}{\partial a} & \frac{\partial (y_m-ae^{bx_m})}{\partial b} \\ \end{bmatrix}= -\begin{bmatrix} e^{bx_1} & ae^{bx_1}x_1 \\ e^{bx_2} & ae^{bx_2}x_2 \\ \vdots & \vdots \\ e^{bx_m} & ae^{bx_m}x_m \\ \end{bmatrix} \]
对比代码中的实现：
cpp
// 计算 Jacobian 矩阵 (N x 2): ∂r_i/∂a, ∂r_i/∂b
MatrixXd computeJacobian(const vector<double>& x_data, const Vector2d& theta) {
int N = x_data.size();
MatrixXd J(N, 2);
double a = theta(0);
double b = theta(1);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
double x = x_data[i];
double exp_bx = exp(b * x); // exp(b*x)
J(i, 0) = -exp_bx; // ∂r/∂a = -exp(b*x)
J(i, 1) = -a * exp_bx * x; // ∂r/∂b = -a * exp(b*x) * x
}
return J;
}另外，除了迭代过程中的初始条件和迭代停止条件，控制步长的学习率也需要注意。设置的学习率过小，迭代次数就会很长导致收敛很慢；而设置的学习率过大，就容易略过最优解导致结果不问题。因此，在实际的工程应用中，通常不会使用原始的梯度下降法，而是根据需求使用不同优化版本的梯度下降法。关于这一点，有机会的话会在后续的文章中进一步论述。