三种方法解开——力扣3370.仅含置位位的最小整数

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【LeetCode题解】找出二进制全为1且大于等于n的最小整数 | Java详细题解

题目链接：力扣3370.仅含置位位的最小整数

难度：简单

标签：数学、位运算、枚举

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一、题目描述

给你一个正整数 n，请返回一个整数 x，要求满足：

• x >= n
• x 的二进制表示仅包含 1（也称为"置位位"）

换句话说，x 的二进制形态必须是：

1, 11, 111, 1111, ...

对应的十进制形式为：

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ...

即形如 x = 2^k - 1 的数。

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示例

示例 1：

输入：n = 5
输出：7
解释：7 的二进制是 "111"，满足条件。

示例 2：

输入：n = 10
输出：15
解释：15 的二进制是 "1111"，满足条件。

示例 3：

输入：n = 3
输出：3
解释：3 的二进制是 "11"，刚好满足条件。

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二、思路分析

题目要求的结果必须是形如 2^k - 1 的数。

我们需要找到最小的 k，使得：

2^k - 1 >= n

这其实是一个非常经典的二进制问题：

• 当 k = 1 时，2^1 - 1 = 1
• 当 k = 2 时，2^2 - 1 = 3
• 当 k = 3 时，2^3 - 1 = 7
• 当 k = 4 时，2^4 - 1 = 15
• 以此类推......

我们只要从 k = 1 开始枚举，计算 (1 << k) - 1，直到它不小于 n 为止即可。

由于题目限制 n <= 1000，而 2^10 - 1 = 1023 > 1000，所以最多循环 10 次就能得到答案，非常高效。

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三、代码实现（Java）

方法一：位运算枚举（推荐写法）

class Solution {
    public int smallestNumber(int n) {
        int k = 1;
        while (true) {
            int val = (1 << k) - 1; // 计算 2^k - 1
            if (val >= n) return val;
            k++;
        }
    }

}

代码解析：

• 使用左移 (1 << k) 表示 2^k。
• 减一 (1 << k) - 1 得到 k 个连续的 1。
• 不断递增 k，直到结果不小于 n 即可返回。

该算法逻辑简单、运行快速、完全不会超时。

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方法二：数学公式法（log2 推导）

由公式：

2^k - 1 >= n

可得：

k >= log2(n + 1)

因此：

k = ceil(log2(n + 1))

然后结果为：

ans = 2^k - 1

Java 实现如下：

class Solution {
    public int smallestNumber(int n) {
        int k = (int) Math.ceil(Math.log(n + 1) / Math.log(2));
        return (1 << k) - 1;
    }
}

⚠ 注意：

• 由于浮点数计算存在微小误差，理论上可能在某些临界值出现偏差（如 7.999999999 被取整为 7）。
• 为安全起见，建议使用枚举写法作为主方法。

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方法三：使用 long 防溢出（通用写法）

若题目允许 n 很大（例如超出 32 位范围），可以使用 long 以避免位运算溢出：

class Solution {
    public long smallestNumber(long n) {
        long k = 1;
        while (true) {
            long val = (1L << k) - 1;
            if (val >= n) return val;
            k++;
        }
    }
}

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四、复杂度分析

项目	复杂度	说明
时间复杂度	O(1)	对于 n <= 1000，循环次数极少（最多 10 次）
空间复杂度	O(1)	只使用了常数个变量

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五、扩展思考

• 这类题在位运算中非常常见，本质是利用 2^k - 1 产生连续的 1。

• 实际上 (1 << k) - 1 的模式可以生成很多有规律的掩码（mask），常用于位图算法、掩码匹配、权限控制等。

• 举个例子：

  • ((1 << 4) - 1) 产生 0b1111
  • ((1 << 8) - 1) 产生 0xFF
  • 这些形式在底层编程中极为常见。

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六、总结

方法	思想	稳定性	推荐指数
位运算枚举	逐步生成 2^k - 1	✅ 稳定可靠	⭐⭐⭐⭐⭐
数学公式法	使用对数求解	⚠ 需防误差	⭐⭐⭐
long版本	支持大范围 n	✅ 通用稳健	⭐⭐⭐⭐

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最终结论：

要找最小的"二进制全1且大于等于n"的数，只需找到最小的 k 满足：

2^k - 1 >= n

最终答案为：

(1 << k) - 1

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