C++ 大数乘法

C++ 高精度整数乘法实现（大数乘法逐位模拟）

摘要

在 C++ 中，当两个整数的位数超过内置整型范围时（如 long long 也只能表示约 19 位数字），我们需要使用字符串或数组来模拟大数的运算。本文将讲解如何实现大整数乘法，通过逐位模拟手工竖式乘法来实现任意长度整数的乘法计算，并给出可直接运行的示例代码和详细解析。

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一、问题描述

给定两个非负整数 a 和 b（以字符串形式表示），要求计算它们的乘积并返回字符串形式的结果。

例如：

输入: a = "12345", b = "678"
输出: "8369910"

注意 ：如果任意一个输入为 "0"，输出必须为 "0"。

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二、算法思想

高精度整数乘法主要模拟我们手工计算的竖式乘法：

1. 逐位相乘：

   • 外层循环从第二个数（b）的最低位到最高位遍历。
   • 内层循环从第一个数（a）的最低位到最高位遍历。
   • 将当前位的乘积加上上一次的进位以及结果数组当前位置已有的值。

2. 进位处理：

   • 每一位乘法的结果可能大于 10，需要向高位进位。
   • 每轮外层循环结束后，如果还有进位，需要写入数组高位。

3. 移位加法：

   • 外层循环每进行一轮，就相当于乘 b 的当前位对 a 的整个乘积，然后按位数移动（类似手算竖式，乘 b 的个位不移，十位向左移一位，百位移两位）。

4. 最终结果：

   • 通过整型数组保存每一位的结果，最后转换为字符串。
   • 去掉前导零。

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三、代码实现

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

typedef long long ll;

// 将数组转为字符串，并去掉前导零
std::string num_arr_to_string(std::vector<int> arr){
    std::string result("");
    bool begin = false;
    for (int c: arr){
        if (c != 0) begin = true;
        if (begin) result += std::to_string(c);
    }
    return result.empty() ? "0" : result; // 注意处理全零的情况
}

// 判断字符串是否全为零
bool is_zero_str(const std::string &a){
    for (char c: a) if (c != '0') return false;
    return true;
}

// 大整数乘法
std::string big_num_multi(const std::string &a, const std::string &b){
    if (is_zero_str(a) || is_zero_str(b)) return "0";

    int n = a.size();
    int m = b.size();
    int max_len = n + m; // 最多 n+m 位
    std::vector<int> arr(max_len, 0);

    for (int i = m - 1; i >= 0; i--){ // b 的每一位
        int jin = 0; // 每轮外层循环的进位
        int idx = max_len - (m - i); // 当前外层位对应数组的索引
        for (int j = n - 1; j >= 0; j--){ // a 的每一位
            int b_num = b[i] - '0';
            int a_num = a[j] - '0';
            int multi_num = b_num * a_num + jin + arr[idx]; // 乘积 + 进位 + 数组已有值
            arr[idx] = multi_num % 10;
            jin = multi_num / 10;
            idx--;
        }
        if (jin) arr[idx] = jin; // 外层循环结束后剩余进位
    }

    return num_arr_to_string(arr);
}

int main(){
    std::string a, b;
    std::cin >> a >> b;
    std::cout << big_num_multi(a,b) << std::endl;
    return 0;
}

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四、关键点解析

1. 数组长度：

   • 乘法结果的最大长度为 n + m 位。
   • 使用整型数组保存每一位，最后转字符串返回。

2. 进位管理：

   • 每一位乘法结果大于等于 10 时，需要向高位进位。
   • 注意 ：每轮外层循环结束后，必须将 jin 重置为 0，否则会影响下一轮计算。

3. 移位处理：

   • 外层循环控制 b 的位数，乘完一轮后结果数组需要对应移位。
   • idx = max_len - (m - i) 计算每轮加法的起始位置。

4. 零处理：

   • 如果任意输入是 "0"，结果直接返回 "0"，避免多余计算。
   • 转字符串时去掉前导零，保证输出美观。

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五、时间与空间复杂度

• 时间复杂度 ：O(n * m)，n、m 分别为两个数的长度，每一位都需要乘一次。
• 空间复杂度 ：O(n + m)，数组保存乘积每一位的结果。

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六、示例

输入：

123 456

输出：

56088

输入：

999 999

输出：

998001

输入：

0 123456

输出：

0

七、总结

• 大整数乘法可以通过模拟手工竖式乘法实现。
• 核心思想是逐位相乘 + 进位管理 + 移位累加。
• 适用于任意长度的非负整数字符串乘法。

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