算法322. 零钱兑换

题目

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11

输出：3

解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3

输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0

输出：0

题解

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        @cache
        # 完全背包问题
        # dfs(i, c) = 使用硬币种类 coins[0], coins[1], ..., coins[i]来凑出恰好金额c所需的最少硬币数量
        # i：当前可以考虑的硬币种类的最大索引
			# i = 0 表示只能使用第一种硬币 coins[0]
			# i = 2 表示可以使用前三种硬币 coins[0], coins[1], coins[2]

		# c：需要凑出的剩余目标金额
        def dfs(i:int,c:int)->int:
        	# 没有硬币可用(i < 0)，但金额也刚好为0，说明之前的硬币选择已经完美凑出了目标金额
            if i < 0:
                return 0 if c == 0 else inf
            # 不选该硬币
            if c < coins[i]:
                return dfs(i-1,c)
            
            # 不选 vs 选
            # 这里覆盖了没有任何一种硬币组合能组成总金额的情况，此时这里会返回inf
            return min(dfs(i-1,c),dfs(i,c-coins[i])+1)
        
        ans = dfs(len(coins) - 1,amount)
        return ans if ans<inf else -1

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n⋅amount)，其中 n 为 coins 的长度。
• 空间复杂度：O(n⋅amount)。