一、结论
对于一个 nnn 维实向量空间（比如 Rn\mathbb{R}^nRn）：
- 它的所有正交坐标系 （也就是所有标准正交基） 之间的关系可以用一个 正交群（orthogonal group） 来描述：
O(n)=Q∈Rn×n∣QTQ=I O(n) = { Q \in \mathbb{R}^{n\times n} \mid Q^T Q = I } O(n)=Q∈Rn×n∣QTQ=I
换句话说：
任意两个正交坐标系之间，都可以通过一个正交矩阵的旋转或反射变换相互转换。
二、为什么有无数多个？
拿二维平面举例。
一个二维正交坐标系就是一对互相垂直的单位向量：
e1=(cosθ,sinθ),e2=(−sinθ,cosθ) e_1 = (\cos\theta, \sin\theta), \quad e_2 = (-\sin\theta, \cos\theta) e1=(cosθ,sinθ),e2=(−sinθ,cosθ)
随着角度 θ\thetaθ 在 [0,2π)[0, 2\pi)[0,2π) 中连续变化，
你就得到了无穷多个不同的正交坐标系。
每一个都是正交的，只是方向不同。
所以------在二维里，所有正交坐标系构成一个圆形的集合 （群）：
O(2)≈所有旋转+反射操作的集合 O(2) \approx \text{所有旋转+反射操作的集合} O(2)≈所有旋转+反射操作的集合
在三维空间里，情况更壮观：
- 所有旋转操作形成一个 3 维流形，称为 旋转群 SO(3)；
- 加上反射操作，就得到整个 O(3)；
- 它们一起描述了无数种"空间朝向"。
三、几何直觉
可以这么想：
- 向量空间本身是"舞台"，永远静止；
- 正交坐标系是"相机"，你可以随意转动它；
- 不论怎么旋转相机，空间依旧完整，只是你换了看它的角度。
所以正交基无数个，是因为你能从无数角度去描述同一个空间。
四、与 SVD 的联系
这正是奇异值分解里 VVV 的"旋转自由度"所在。
在 SVD 中：
A=UΣVT A = U \Sigma V^T A=UΣVT
- VVV 就是输入空间的一个正交基（坐标系）；
- 但它不是唯一的，因为可以选择别的正交基；
- 唯一性只在奇异值不同的方向上成立。
也就是说：
当矩阵有重复奇异值时，对应的主方向不唯一。
在那个子空间内，你可以自由旋转坐标系，仍然是合法的奇异向量系。
这就是为什么我们说"右奇异向量矩阵不是唯一的"。
五、总结成一句话
在一个 nnn 维向量空间中，有无数个正交坐标系；
它们之间通过正交矩阵连接，形成了一个连续的旋转宇宙。
如果你固定空间的几何结构，
旋转相机永远拍不完的角度，
就是这些无穷多的正交基。
要不要我给你展示一下二维空间中所有正交基的"连续变化动画"原理？可以看到 VVV 如何在单位圆上滑动，把基向量旋转成一整圈。