行列式
概念
- 排列与逆序
- 内容：n 级排列，逆序，奇排列，偶排列；
- 注：
- 常见的排列逆序数；
- 交换两个数改变逆序的奇偶性；
- 顺序数 + 逆序数=Cn2=n(n−1)2=C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}=Cn2=2n(n−1)
- 行列式
- 内容：不同行不同列元素乘积的代数和
- 注：
- 本质：数
- 公式（二阶，三阶，上下三角，斜上下三角）；
- 某一个行 (列) 全为零，行列式为零
- 余子式与代数余子式
- 内容：划掉第 i 行和第 j 列的行列式称为余子式，代数余子式Aij=(−1)i+jMijA_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}Aij=(−1)i+jMij
- 注：
- 本质：是个行列式（数）
- 与元素内容无关，只与元素位置有关
- Mij=(−1)i+jAijM_{ij} = (-1)^{i+j} A_{ij}Mij=(−1)i+jAij
- 推导：(−1)i+jAij=(−1)i+j(−1)i+jMij=((−1)2)i+jMij(-1)^{i+j} A_{ij} = (-1)^{i+j} (-1)^{i+j} M_{ij} = ((-1)^2)^{i+j} M_{ij}(−1)i+jAij=(−1)i+j(−1)i+jMij=((−1)2)i+jMij
性质
- 非降阶性质
- 性质 1：行列互换，行列式的值不变
- 注：
- 行和列具有相同的地位，对行成立对列也成立
- 用到抽象型行列式中
- 性质 2：两行（列）互换，行列式变号
- 推论 1：两行（列）相等，行列式为零
- 性质 3：某行乘以 k，行列式乘以 k（k可为0）
- 注：
- 与矩阵数乘的区别与联系
- 矩阵初等行变换的区别与联系
- 推论 2：两行对应成比例，行列式为零
- 注：
- 推论2=推论1+性质3
- 性质 4：按某一行拆分成两个行列式的和
- 推论 3：某行的 k 值加到另外一行，行列式不变
- 降阶性质
- 1：某行元素乘以自己的代数余子式之和为行列式的值
- 2：某行元素乘以以别的行的代数余子式之和为零
计算
- 低阶（4阶及以下）
- 概念：二阶；3阶含字母且含0
- 性质：
- 非降阶性质：性质 2（互换），性质3（数乘），推论 3（倍加）；
- 降阶性质：
- 内容：某行元素乘以自己的代数余子式
- 步骤：找 1，化零，展开
- 公式：
- 四个公式（2阶，2阶，上下三角，斜上下三角）
- 范德蒙
- 识别：首行为1，每列等比 ∣111123149∣=(2−1)(3−1)(3−2)=2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} = (2-1)(3-1)(3-2) = 2 111124139 =(2−1)(3−1)(3−2)=2
- 公式
- 2种变形
- 破坏首行为1： ∣1231491827∣=2∣1131291427∣=2⋅3∣111123149∣=6⋅2=12\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 4 & 27 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 6 \cdot 2 = 12 1112483927 =2 1111243927 =2⋅3 111124139 =6⋅2=12
- 首列是 1，但每行不是等比；每列是等比，但首行不是 1
- 破坏等比数列：
∣1111123x149x21827x3∣=1⋅(−1)1+4∣1231491827∣+x⋅(−1)2+4∣1111491827∣+x2⋅(−1)3+4∣1111231827∣+x3⋅(−1)4+4∣111123149∣ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 4 & 9 & x^2 \\ 1 & 8 & 27 & x^3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} + x \cdot (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} + x^2 \cdot (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} + x^3 \cdot (-1)^{4+4} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} 11111248139271xx2x3 =1⋅(−1)1+4 1112483927 +x⋅(−1)2+4 1111481927 +x2⋅(−1)3+4 1111281327 +x3⋅(−1)4+4 111124139
又
∣1111123x149x21827x3∣=(2−1)(3−1)(x−1)(3−2)(x−2)(x−3)=(x−1)(x−2)(x−3)⋅2=x3−12x2+⋯ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & x \\ 1 & 4 & 9 & x^2 \\ 1 & 8 & 27 & x^3 \end{vmatrix} = (2-1)(3-1)(x-1)(3-2)(x-2)(x-3) \\ =(x-1)(x-2)(x-3) \cdot 2 \\ = x^3 - 12x^2 + \cdots 11111248139271xx2x3 =(2−1)(3−1)(x−1)(3−2)(x−2)(x−3)=(x−1)(x−2)(x−3)⋅2=x3−12x2+⋯
则
−∣1111231827∣=−12 -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} = -12 − 1111281327 =−12
- 破坏首行为1： ∣1231491827∣=2∣1131291427∣=2⋅3∣111123149∣=6⋅2=12\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 9 \\ 1 & 4 & 27 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 6 \cdot 2 = 12 1112483927 =2 1111243927 =2⋅3 111124139 =6⋅2=12
- 高阶
- 三线型：
- 平斜竖型（爪形）：斜爪消平爪
- 两斜一平：按平展开；
- 三斜形：按照一头一尾建立递推式
- 对角线型：
- 定义：通过改变对角线元素的值使其成为每行元素对应成比例的行列式
- 计算：利用推论 3 （倍加）化为爪形
- 三线型：
矩阵
概念
- 数表，m 行 n 列，实矩阵，方阵，同型，相等
- 注：
- 三个视角（m 行 n 列，m 个 1 行 n 列，n 个 m 行 1 列）；
- 矩阵与行列式的三个区别：
- 本质不同；
- 形式不同；
- 蕴含信息不同。
常见矩阵
- 非方阵：零矩阵，阶梯型矩阵，简单阶梯型
- 方阵：对角，数量，单位，上（下）三角，对称，反对称，正交
- 注：
- 严格单调递增；
- 单位包含于数量 包含于对角；
- 反对称矩阵对角线全为零
运算及运算规则
- 运算
- 内容：加法与数乘，乘法，转置
- 注：
- 矩阵数乘和行列式数乘的区别与联系（区别、联系）
- 乘法：
- 区分左乘和右乘，
- 左乘和右乘 E 矩阵不变，
- 两个非零矩阵相乘可能为零矩阵，
- 快速乘法
- 转置，3条
- 公式，
- AnA^nAn的两个公式
- 各行成比例
- 对角线元素相等的上（下）三角
- AnA^nAn的两个公式
- 运算规则
- 加法与数乘，转置，（穿脱律）
- 乘法
- 成立：内容（交换律，消去律）
- 不成立：
- 注：
- 两个改变（左乘和右乘，常用公式不再成立）；
- 满足交换律四种情况
- 注：
分块矩阵
- 内容：
- 分成四块；
- 按列分块，按行分块
- 注：
- 整体：把每一个子块看作一个数；
- 微观：小的子块也得能乘
方阵的行列式
- 三个公式
∣AT∣=∣A∣,∣kA∣=kn∣A∣∣AB∣=∣A∣∣B∣ \begin{align*} |A^T| &= |A|, \quad |kA| = k^n |A| \\ |AB| &= |A||B| \end{align*} ∣AT∣∣AB∣=∣A∣,∣kA∣=kn∣A∣=∣A∣∣B∣ - 拉普拉斯展开定理
∣A00B∣=∣AC0B∣=∣A0CB∣=∣A∣∣B∣∣0AB0∣=∣0ABC∣=∣CAB0∣=(−1)m⋅n∣A∣∣B∣ \begin{align*} \begin{vmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} A & C \\ 0 & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & 0 \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B| \\ \begin{vmatrix} 0 & A \\ B & 0 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 0 & A \\ B & C \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} C & A \\ B & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{m \cdot n} |A||B| \end{align*} A00B 0BA0 = A0CB = AC0B =∣A∣∣B∣= 0BAC = CBA0 =(−1)m⋅n∣A∣∣B∣
逆矩阵
概念
- 内容：若 A,B 均为 n 阶方阵，且 AB=E，则称 A 可逆
- 推论：若 A 为n阶方阵，且 AB=E，则 BA=E
- 注：
- 方阵专属，类似：行列式，对角，数量，单位，上（下）三角，对称，反对称，正交，伴随，初等，特征值，相似，合同，正定
- 逆是双向（转置，倒数，相反数）
- 插队原理
ABCD=EABCDD−1=ED−1ABC=D−1DABC=DD−1=E \begin{align*} ABCD &= E \\ ABCDD^{-1} &= ED^{-1} \\ ABC &= D^{-1} \\ DABC &= DD^{-1} = E \end{align*} ABCDABCDD−1ABCDABC=E=ED−1=D−1=DD−1=E
性质
-
- 唯一性（证明方法，意义，判定正确）
-
- 自反性(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A
-
- 穿脱律(AB)−1=B−1A−1, (A1A2⋯An)−1=An−1An−1−1⋯A1−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1},\ (A_1A_2\cdots A_n)^{-1} = A_n^{-1}A_{n-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}(AB)−1=B−1A−1, (A1A2⋯An)−1=An−1An−1−1⋯A1−1
-
- 数乘(kA)−1=1kA−1 (k≠0)(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \ (k \neq 0)(kA)−1=k1A−1 (k=0)
-
- 行列式∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1
-
- 分块矩阵(A00B)−1=(A−100B−1)，(0AB0)−1=(0B−1A−10)\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \end{pmatrix}，\begin{pmatrix}0 & A \\B & 0\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}0 & B^{-1} \\A^{-1} & 0\end{pmatrix}(A00B)−1=(A−100B−1)，(0BA0)−1=(0A−1B−10)
可逆的充要条件
-
伴随
- 定义：每行元素的代数余子式放在列的位置
- 注：
- 存在性（方阵）；
- 独特性；
- 四个符号（n，T，-1，
*）； - 二阶矩阵伴随：主对调，副变号
-
性质
- 内容：AA∗=A∗A=∣A∣EAA^* = A^*A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E
- 关键；
- 得出可逆的充要条件的关键
- 意义：可逆的充要条件 ∣A∣≠0 ⟺ A 可逆|A| \neq 0 \iff A \text{ 可逆}∣A∣=0⟺A 可逆
- 内容：AA∗=A∗A=∣A∣EAA^* = A^*A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E
-
计算
- 伴随矩阵：二阶A−1=A∗∣A∣A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}A−1=∣A∣A∗
- 利用初等行变换：(A∣E)→初等行变换(E∣A−1)(A \mid E) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (E \mid A^{-1})(A∣E)初等行变换 (E∣A−1)
初等矩阵
概念
- 矩阵的三种初等变换
- 内容：
- 交换矩阵的两行；
- 某一行乘以非零数 k；
- 某行的 k 倍加到另外一行
- 注：
- 区别：
- 行列式用等号，矩阵用箭头；
- 行列式的 k 可能为零，矩阵 k 不能为零
- 联系：矩阵初等变换不改变行列式的零性
- 区别：
- 内容：
- 初等矩阵
- 分类：对E做一次初等变换
- 一类
- 二类
- 三类
- 性质：
- 转置；
- 行列式；
- 逆矩阵；
- 幂矩阵（当 n=1 时，可联想记忆逆矩阵）
- 重要定理：左行右列
- 注：初等矩阵与初等变换建立联系
- 分类：对E做一次初等变换
- 矩阵等价
- 内容：A 通过有限次初等列变换化为 B
- 充要条件：A 与 B 等价 ⟺ r(A)=r(B)A \text{ 与 } B \text{ 等价} \iff r(A) = r(B)A 与 B 等价⟺r(A)=r(B)
- 矩阵与符号
- 符号内部
行列式数乘自反性穿脱律T∣AT∣=∣A∣(kA)T=kAT(AT)T=A(AB)T=BTAT−1∣A−1∣=1∣A∣(kA)−1=1kA−1(A−1)−1=A(AB)−1=B−1A−1∗∣A∗∣=∣A∣n−1(kA)∗=kn−1A∗(A∗)∗=∣A∣n−2A(AB)∗=B∗A∗ \begin{array}{c|c|c|c|c} & \text{行列式} & \text{数乘} & \text{自反性} & \text{穿脱律} \\ \hline T & |A^T| = |A| & (kA)^T = kA^T & (A^T)^T = A & (AB)^T = B^T A^T \\ \hline -1 & |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} & (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} & (A^{-1})^{-1} = A & (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \\ \hline* & |A^*| = |A|^{n-1} & (kA)^* = k^{n-1}A^* & (A^*)^* = |A|^{n-2}A & (AB)^* = B^* A^* \\ \hline \end{array} T−1∗行列式∣AT∣=∣A∣∣A−1∣=∣A∣1∣A∗∣=∣A∣n−1数乘(kA)T=kAT(kA)−1=k1A−1(kA)∗=kn−1A∗自反性(AT)T=A(A−1)−1=A(A∗)∗=∣A∣n−2A穿脱律(AB)T=BTAT(AB)−1=B−1A−1(AB)∗=B∗A∗
AA∗=∣A∣EA∗(A∗)∗=∣A∗∣E=∣A∣n−1E(A∗)∗=∣A∣n−1⋅(A∗)−1=∣A∣n−1⋅A∣A∣=∣A∣n−2A \begin{align*} AA^* &= |A|E \\ A^*(A^*)^* &= |A^*|E = |A|^{n-1}E \\ (A^*)^* &= |A|^{n-1} \cdot (A^*)^{-1} \\ &= |A|^{n-1} \cdot \frac{A}{|A|} = |A|^{n-2}A \end{align*} AA∗A∗(A∗)∗(A∗)∗=∣A∣E=∣A∗∣E=∣A∣n−1E=∣A∣n−1⋅(A∗)−1=∣A∣n−1⋅∣A∣A=∣A∣n−2A
- 符号之间：两两可交换位置