第3节 RSA算法开启公钥加密时代

在1977年的麻省理工学院（MIT）计算机科学实验室，三位年轻而富有远见的学者------罗纳德·李维斯特（Ronald Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德尔曼（Leonard Adleman）------正夜以继日地解决一个困扰人类千年、在数字时代变得尤为紧迫的问题：如何在不泄露秘密的前提下，安全地分享秘密？

他们的研究成果，后来被命名为RSA算法（取自他们三人姓氏的首字母），不仅是人类历史上第一个实用的公钥加密算法，更是数字安全领域的一块基石，至今仍是支撑全球电子商务、安全通信和数字身份的核心技术。

1. 黎明前的迷雾：密钥分配的难题

在RSA诞生之前，所有的加密系统，无论是古老的凯撒密码，还是当时最先进的DES（数据加密标准，也于1977年发布），都属于对称加密的范畴。

对称加密系统的特点是：加密和解密使用同一把密钥。这就像一把双向锁。问题在于，如果你想与远在天边的朋友安全通信，你必须先通过一个完全安全（且难以实现）的渠道，将这把密钥秘密地交给对方。

在网络化通信的世界里，这被称为"密钥分配危机"。

1976年，Whitfield Diffie和马丁·赫尔曼Martin Hellman发表了具有里程碑意义的论文，提出了公钥密码学的颠覆性概念。

他们设想了一套非对称 的密钥系统：每人拥有一个公钥（用于加密，可公开）和一个私钥（用于解密，必须保密）。这套系统被称为"单向陷门函数"：用公钥加密信息很容易，但没有私钥，几乎不可能解密。

然而，他们并没有提供一个实用、高效且安全的算法来实例化这个概念。

2. MIT三剑客：从理论到实践的飞跃

在MIT，罗纳德·李维斯特（Ronald Linn Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德尔曼（Leonard Adleman）接受了挑战。他们尝试了四十多种数学函数，但都未能找到一个既能安全加密、又能轻松解密的"陷门"。

直到有一天，李维斯特受到了一个数学问题的启发：大数的因数分解。

简单讲，如果一个数N是两个大质数p和q的乘积（即N = p * q），那么计算出N非常容易。但反过来，如果只知道N，想要找出p和q（即对N进行因数分解），在数学上是一个极其困难 和耗时的问题，尤其当p和q是数百位长的质数时。

RSA三位学者意识到，这正是他们寻找的"单向陷门"：

**单向性：**从p, q计算N很容易（加密过程）。
**陷门：**只有知道p和q（即私钥），才能轻松解密。

经过进一步的数学推导，他们将这个因数分解的难题与数论中的欧拉函数 和模幂运算结合起来，创造了今天我们所知的RSA算法。

1977年，他们正式发表了算法。RSA的诞生，一举解决了困扰数字通信的密钥分配难题，真正将公钥密码学从理论带入了实用的数字世界。

公钥密码也叫非对称密码，对比对称密码，非对称密码的加密密钥和解密密钥是不一样的。在非对称的加密算法中，分为公钥和私钥，其中公钥是公开的，私钥是所有者独自使用。公钥加密的数据可以使用私钥解密，私钥加密的数据可以使用公钥解密，因此这样可以节省所有参与加解密的人的存储密钥的压力，也可以解决密钥分配的问题。

3. 深度解析：RSA算法的技术心脏

RSA算法的安全性完全基于一个简单的数学难题：对极大整数进行因数分解的困难性。

它的核心机制在于利用一对密钥：公钥用于加密，私钥用于解密。

RSA的数学基础是：

欧拉定理/费马小定理的推广： 这是保证解密能够还原原始数据的理论依据。
大数因数分解的困难性： 这是保证算法安全的基石。

RSA算法的三个步骤

（1）密钥生成 (Key Generation)

这是最关键的一步，用于生成公钥和私钥：

步骤 I：选择质数

选择两个非常大且随机的质数p和q。这两个质数的长度通常在数百位（例如，1024位或2048位）。

步骤 II：计算模数N

计算N = p * q。

N将作为公钥和私钥的一部分，是公开的。
p和q必须严格保密。

步骤 III：计算欧拉函数

计算欧拉函数值，即小于N且与N互质的正整数的数量。对于质数p和q，计算公式为：

也必须严格保密。

步骤 IV：选择公钥指数e

选择一个整数e，作为公钥指数。 $e$ 必须满足：

1 < e <
e与互质（即它们的最大公约数为1）。

步骤 V：计算私钥指数d

计算一个整数d，作为私钥指数。d是e的模的乘法逆元。

简单来说，d必须满足等式：

这个d就是解密的"陷门"；它可以通过扩展欧几里得算法快速计算出来。

密钥对：

公钥 (Public Key, PK)： (N, e)。可以公开发布。
私钥 (Private Key, SK)： (N, d) 或 (p, q, d)。必须保密。

2. 加密 (Encryption)

假设A想向B发送消息M。A需要知道B的公钥(N, e)。

A将消息M（先通过某种方式转换成一个小于N的整数）进行加密，得到密文C：

原理： 模幂运算是一个单向函数。即使知道C, e, N，在不知道d或p, q的情况下，想要从C中求出M是非常困难的。

3. 解密 (Decryption)

B收到密文C后，使用自己的私钥指数d进行解密，还原出原始消息M：

原理： 由于d和e是特殊的逆元关系，根据欧拉定理，这个模幂运算可以完美地还原原始数据。d就是那个打开"陷门"的秘密钥匙。

4. RSA的另一应用：数字签名

RSA算法的伟大之处在于它的可逆性------公钥可以加密，私钥可以解密；反过来，私钥也可以"加密"（即签名），公钥可以"解密"（即验证）。

数字签名 是RSA的另一项核心功能。如果用户A用自己的私钥对一段信息进行加密，任何持有A的公钥的人都可以解密并验证。由于私钥只有A拥有，这证明了信息确实来源于A，从而实现了不可否认性和身份认证。这为电子商务和安全通信奠定了信任的基础。

5. 核心技术的地位与挑战

RSA算法的成功是史无前例的。从在线购物的安全套接层（SSL/TLS）握手，到SSH远程登录，再到VPN连接，RSA构成了现代网络安全体系的骨架。

然而，RSA的安全性完全取决于因数分解的困难性 。随着量子计算理论的发展，肖尔算法（Shor's algorithm）被证明可以在理论上以极快的速度破解RSA。因此，密码学界正在积极寻找"后量子密码学"（Post-Quantum Cryptography）的新标准，以应对未来的挑战。

RSA的成功也让更多数学家投入密码学的发展，将算法的强度与数学难题结合起来，从而使算法具有了可用数学解释的、科学验证的健壮性。

回到我们谈到的1977年诞生的RSA算法，至今仍是"不解之谜"的代名词。它以数学的优雅和力量，将信任和保密性融入了全球数字基础设施，彻底改变了人类通信和交易的方式。

它的贡献，如同它所依赖的质数一样，是数字世界中最基础、最坚不可摧的存在。