从零开始刷算法-二分-搜索插入位置

在刷算法题时，很多人对二分查找（Binary Search）不陌生，但实际在面试或者实战中，如何利用二分查找解决插入位置问题 ，却常常容易犯错。今天我们主要巩固昨天的内容，来看一个简单题 LeetCode 第 35 题 "搜索插入位置（Search Insert Position）"，并用 C++ 代码实现。

题目描述

给定一个升序排列 的整数数组 nums 和一个目标值 target，请你在数组中找到目标值的索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

示例：

cs 复制代码

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

要求时间复杂度 O(log n) ，也就是自然想到使用二分查找。

思路分析

这道题其实就是寻找大于等于目标值的第一个元素的位置 ，也可以理解为lower bound（二分查找模板）。

具体思路：

定义两个指针 left 和 right 分别指向数组两端。
使用二分法循环：
- 计算中点 mid = (left + right) / 2。
- 如果 nums[mid] < target，说明目标值在右侧，left = mid + 1。
- 否则说明目标值在左侧（包括 mid 本身），right = mid - 1。
循环结束后，left 指向的就是目标值的插入位置。

小技巧：这里我们用的是闭区间 $left, right$ 二分查找。

C++ 代码实现

cpp 复制代码

#include <vector>
using namespace std;

class Solution {
    // lower_bound：寻找大于等于 target 的第一个位置
    int lower_bound(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (nums[mid] < target) {
                left = mid + 1; // target 在右侧
            } else {
                right = mid - 1; // target 在左侧或就是 mid
            }
        }
        return left; // 循环结束后，left 就是插入位置
    }

public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        return lower_bound(nums, target);
    }
};

核心技巧总结

闭区间 vs 开区间：
- 本题采用 [left, right] 闭区间模板。
- left 最终就是插入位置。
lower_bound 思想：
- 在排序数组中找到第一个不小于 target 的位置。
- 这也是 STL 中 std::lower_bound 的原理。
时间复杂度：
- 二分查找的时间复杂度为 O(log n)，符合题目要求。

扩展

1.如果题目要求找到最后一个小于等于 target 的位置 ，可以改成 upper bound 模板：

cpp 复制代码

if (nums[mid] <= target)
    left = mid + 1;  // 前面染成红色
else
    right = mid - 1;

// 这里对应最后就是返回left - 1了也就是最后一块红色

2.对于 最后一个小于等于 target 的位置：
- 让 target+1 做 lower_bound，然后返回 结果 - 1。参考上一节的内容：https://blog.csdn.net/m0_59624833/article/details/154658810?spm=1001.2014.3001.5501
- 这样不会破坏边界，逻辑也更清晰，代码可读性更好。

总结

这道题本质是查找插入位置 ，可以抽象为 lower bound。
核心是熟练掌握二分查找模板。
结合面试角度：二分查找不仅仅用于查找元素，也可以用来求最优解、最小值或最大值等问题。