线性代数 - 矩阵乘法能换括号，不能换顺序；满足结合律，不满足交换律

线性代数 - 矩阵乘法能换括号，不能换顺序；满足结合律，不满足交换律

flyfish

交换律 ：对任意矩阵A、B，是否满足 ( AB = BA )？（答案：不满足，除非是特殊矩阵，比如A是单位矩阵）
结合律：对任意矩阵A、B、C（或矩阵与向量），是否满足 ( (AB)C = A(BC) )？（答案：满足）

矩阵乘法不满足交换律（AB≠BA），逆矩阵除外

普通矩阵例子（AB≠BA）

取 A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}A=[1324]，B=[0110]B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}B=[0110]：

1. 计算 ABABAB：
   AB=[1×0+2×11×1+2×03×0+4×13×1+4×0]=[2143] AB = \begin{bmatrix} 1×0 + 2×1 & 1×1 + 2×0 \\ 3×0 + 4×1 & 3×1 + 4×0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} AB=[1×0+2×13×0+4×11×1+2×03×1+4×0]=[2413]
2. 计算 BABABA：
   BA=[0×1+1×30×2+1×41×1+0×31×2+0×4]=[3412] BA = \begin{bmatrix} 0×1 + 1×3 & 0×2 + 1×4 \\ 1×1 + 0×3 & 1×2 + 0×4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} BA=[0×1+1×31×1+0×30×2+1×41×2+0×4]=[3142]
   明显 [2143]≠[3412]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} ≠ \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}[2413]=[3142]，证明交换律不成立。

可逆矩阵举例 例外情况

已知 A=[2113]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}A=[2113]，逆矩阵 B=[35−15−1525]B = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}B=[53−51−5152]：

1. 计算 ABABAB（之前验证过）：
   AB=[2113]×[35−15−1525]=[1001]=I AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I AB=[2113]×[53−51−5152]=[1001]=I
2. 计算 BABABA（特意验证交换顺序）：
   BA=[35−15−1525]×[2113]=[35×2−15×135×1−15×3−15×2+25×1−15×1+25×3]=[1001]=I BA = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5}×2 - \frac{1}{5}×1 & \frac{3}{5}×1 - \frac{1}{5}×3 \\ -\frac{1}{5}×2 + \frac{2}{5}×1 & -\frac{1}{5}×1 + \frac{2}{5}×3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I BA=[53−51−5152]×[2113]=[53×2−51×1−51×2+52×153×1−51×3−51×1+52×3]=[1001]=I
   可逆矩阵和逆矩阵相乘，交换顺序仍等于单位矩阵

矩阵乘法满足结合律（(AB)C = A(BC)）

用具体矩阵举例（验证等式成立）

取 A=[1234]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}A=[1324]，B=[0110]B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}B=[0110]，C=[1324]C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}C=[1234]：

1. 先算左边 (AB)C(AB)C(AB)C：

   第一步算 AB=[2143]AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}AB=[2413]（上面已算）；

   第二步算 (AB)C=[2143]×[1324]=[2×1+1×22×3+1×44×1+3×24×3+3×4]=[4101024](AB)C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2×1 + 1×2 & 2×3 + 1×4 \\ 4×1 + 3×2 & 4×3 + 3×4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 24 \end{bmatrix}(AB)C=[2413]×[1234]=[2×1+1×24×1+3×22×3+1×44×3+3×4]=[4101024]。

2. 再算右边 A(BC)A(BC)A(BC)：

   第一步算 BC=[0×1+1×20×3+1×41×1+0×21×3+0×4]=[2413]BC = \begin{bmatrix} 0×1 + 1×2 & 0×3 + 1×4 \\ 1×1 + 0×2 & 1×3 + 0×4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}BC=[0×1+1×21×1+0×20×3+1×41×3+0×4]=[2143]；

   第二步算 A(BC)=[1234]×[2413]=[1×2+2×11×4+2×33×2+4×13×4+4×3]=[4101024]A(BC) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} × \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1×2 + 2×1 & 1×4 + 2×3 \\ 3×2 + 4×1 & 3×4 + 4×3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 24 \end{bmatrix}A(BC)=[1324]×[2143]=[1×2+2×13×2+4×11×4+2×33×4+4×3]=[4101024]。

3. 结果对比：左边 (AB)C=[4101024]=(AB)C = \begin{bmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 24 \end{bmatrix} =(AB)C=[4101024]= 右边 A(BC)A(BC)A(BC)，结合律成立。