线性代数 - 3 阶方阵的行列式
flyfish
只有方阵（行数与列数相等的矩阵）才有行列式。
2×2行列式表示平行四边形的面积
3×3行列式，其绝对值表示平行六面体的体积。
1. 长方体
三个向量 v 1 ⃗ = ( a , 0 , 0 ) \vec{v_1} = (a,0,0) v1 =(a,0,0)、 v 2 ⃗ = ( 0 , b , 0 ) \vec{v_2} = (0,b,0) v2 =(0,b,0)、 v 3 ⃗ = ( 0 , 0 , c ) \vec{v_3} = (0,0,c) v3 =(0,0,c) 分别沿x、y、z轴方向延伸，张成一个长方体 。
根据长方体体积公式，其体积为：
体积 = 长 × 宽 × 高 = a × b × c \text{体积} = \text{长} \times \text{宽} \times \text{高} = a \times b \times c 体积=长×宽×高=a×b×c
2. 矩阵与行列式部分（对角矩阵）
由这三个向量构成的3×3矩阵是对角矩阵 ：
∣ a 0 0 0 b 0 0 0 c ∣ \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} a000b000c
对角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积 ，因此：
行列式值 = a × b × c \text{行列式值} = a \times b \times c 行列式值=a×b×c
平行六面体
三个向量 v 1 ⃗ 、 v 2 ⃗ 、 v 3 ⃗ \vec{v_1}、\vec{v_2}、\vec{v_3} v1 、v2 、v3 从同一起点出发，"拉伸"后围成一个平行六面体。
行列式
若三个向量的坐标分别为 v 1 ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) \vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1) v1 =(x1,y1,z1)、 v 2 ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2) v2 =(x2,y2,z2)、 v 3 ⃗ = ( x 3 , y 3 , z 3 ) \vec{v_3}=(x_3,y_3,z_3) v3 =(x3,y3,z3)，则平行六面体的体积 V V V 满足：
V = ∣ ∣ x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 ∣ ∣ V = \left| \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} \right| V= x1y1z1x2y2z2x3y3z3
V = ∣ h ∣ ∥ a × b ∥ = ∥ c ∥ ∣ cos ( θ ) ∣ ∥ a × b ∥ = ∣ c ⋅ ( a × b ) ∣ V = |h| \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|\mathbf{c}\| |\cos(\theta)| \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})| V=∣h∣∥a×b∥=∥c∥∣cos(θ)∣∥a×b∥=∣c⋅(a×b)∣
上面式子的由来
3阶行列式
1. 基于三维向量的行列式
在三维空间 R 3 \mathbb{R}^3 R3中，三个有序向量 a \mathbf{a} a、 b \mathbf{b} b、 c \mathbf{c} c的行列式定义为标量三重积 ：
det ( a , b , c ) = a ⋅ ( b × c ) \det(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) det(a,b,c)=a⋅(b×c)
其中：
b × c \mathbf{b} \times \mathbf{c} b×c是叉积 （结果为垂直于 b \mathbf{b} b、 c \mathbf{c} c平面的向量，模长等于 b \mathbf{b} b、 c \mathbf{c} c张成的平行四边形面积）；
a ⋅ ( b × c ) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) a⋅(b×c)是点积 （结果为标量，其绝对值等于 a \mathbf{a} a、 b \mathbf{b} b、 c \mathbf{c} c张成的平行六面体体积）。
2. 基于3×3矩阵的行列式
若将三个向量 a \mathbf{a} a、 b \mathbf{b} b、 c \mathbf{c} c作为列向量 构成3×3矩阵：
A = ( a b c ) = ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ) A = (\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}) = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} A=(a b c)= a1a2a3b1b2b3c1c2c3
则该矩阵的行列式为：
det A = ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ = a ⋅ ( b × c ) \det A = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) detA= a1a2a3b1b2b3c1c2c3 =a⋅(b×c)
3阶行列式既可以理解为"三个三维向量的标量三重积"，也可以理解为"由这三个向量作为列（或行）构成的3×3矩阵的行列式"，其数值本质是这三个向量张成的平行六面体的体积的代数度量（符号反映定向，绝对值是体积）。
3阶行列式的"拉普拉斯展开，将3阶行列式分解为3个2阶行列式的线性组合，并通过标量三重积验证其正确性
1. 3阶行列式的按列展开（拉普拉斯展开）
3阶行列式按第一列展开 ：
∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ = a 1 ∣ b 2 c 2 b 3 c 3 ∣ − a 2 ∣ b 1 c 1 b 3 c 3 ∣ + a 3 ∣ b 1 c 1 b 2 c 2 ∣ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 \begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix} a1a2a3b1b2b3c1c2c3 =a1 b2b3c2c3 −a2 b1b3c1c3 +a3 b1b2c1c2
每一项的结构：第一列的元素 × 对应的2阶余子式 × 符号（由行号+列号的奇偶性决定，第一列列号为1，故符号为 ( − 1 ) i + 1 (-1)^{i+1} (−1)i+1，即 a 1 a_1 a1正、 a 2 a_2 a2负、 a 3 a_3 a3正）。
展开为多项式：将2阶行列式按" m q − n p mq - np mq−np"公式展开后，得到：
a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 − a 2 b 1 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 a1b2c3−a1b3c2−a2b1c3+a2b3c1+a3b1c2−a3b2c1
这与3阶行列式的对角线法则结果完全一致。
2. 通过标量三重积验证
证明通过标量三重积 （点积与叉积的结合）验证展开式的正确性：
设向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3) a=(a1,a2,a3)， b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3) b=(b1,b2,b3)， c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) \mathbf{c} = (c_1, c_2, c_3) c=(c1,c2,c3)。
先计算叉积 b × c \mathbf{b} \times \mathbf{c} b×c：
b × c = ( b 2 c 3 − b 3 c 2 b 3 c 1 − b 1 c 3 b 1 c 2 − b 2 c 1 ) \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{pmatrix} b_2c_3 - b_3c_2 \\ b_3c_1 - b_1c_3 \\ b_1c_2 - b_2c_1 \end{pmatrix} b×c= b2c3−b3c2b3c1−b1c3b1c2−b2c1
再计算点积 a ⋅ ( b × c ) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) a⋅(b×c)：
a ⋅ ( b × c ) = a 1 ( b 2 c 3 − b 3 c 2 ) − a 2 ( b 1 c 3 − b 3 c 1 ) + a 3 ( b 1 c 2 − b 2 c 1 ) \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - a_2(b_1c_3 - b_3c_1) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1) a⋅(b×c)=a1(b2c3−b3c2)−a2(b1c3−b3c1)+a3(b1c2−b2c1)
展开后与行列式展开的多项式形式完全一致，从而证明了按列展开的公式是正确的。将3阶行列式分解为3个2阶行列式的线性组合（拉普拉斯展开），并通过标量三重积的代数运算验证其正确性。即通过递归，将n阶行列式分解为n个(n-1)阶行列式的组合。
平行六面体的体积与行列式的关系 ，是"底面积（叉积的模长）× 高度（向量的投影）= 体积"
向量 a ⃗ \vec{a} a 、 b ⃗ \vec{b} b ：在底面（X-Y平面）张成平行四边形 O P Q R OPQR OPQR的两个边向量；
向量 c ⃗ \vec{c} c ：垂直于底面的"高度方向"向量；
向量 a ⃗ × b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} a ×b ： a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 的叉积向量，其方向垂直于底面，模长等于底面平行四边形的面积。
高度 h h h ：向量 c ⃗ \vec{c} c 在底面法向（即 a ⃗ × b ⃗ \vec{a} \times \vec{b} a ×b 方向）的投影长度，计算公式为：
h = ∥ c ⃗ ∥ ⋅ cos ( 0.16 π ) = 2.61 h = \|\vec{c}\| \cdot \cos(0.16\pi) = 2.61 h=∥c ∥⋅cos(0.16π)=2.61
其中 ∥ c ⃗ ∥ \|\vec{c}\| ∥c ∥是向量 c ⃗ \vec{c} c 的模长， 0.16 π 0.16\pi 0.16π是 c ⃗ \vec{c} c 与底面法向的夹角， cos ( 0.16 π ) \cos(0.16\pi) cos(0.16π)是投影系数。
底面积 A \mathcal{A} A ：底面平行四边形 O P Q R OPQR OPQR的面积，等于 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 叉积的模长：
A = ∥ a ⃗ × b ⃗ ∥ = 5.82 \mathcal{A} = \|\vec{a} \times \vec{b}\| = 5.82 A=∥a ×b ∥=5.82
体积 V \mathcal{V} V ：平行六面体的体积 = 底面积 × 高度，即：
V = h ⋅ A = 2.61 × 5.82 = 15.2 \mathcal{V} = h \cdot \mathcal{A} = 2.61 \times 5.82 = 15.2 V=h⋅A=2.61×5.82=15.2
若将 a ⃗ 、 b ⃗ 、 c ⃗ \vec{a}、\vec{b}、\vec{c} a 、b 、c 作为3×3矩阵的列向量，则该矩阵的行列式的绝对值 就等于这个平行六面体的体积（即 ∣ det ( a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ ) ∣ = V |\det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})| = \mathcal{V} ∣det(a ,b ,c )∣=V）。而推导中，体积又被分解为"叉积的模长（底面积）× 点积的投影（高度）"。