A2+A−4E=0A^2 + A - 4E = 0A2+A−4E=0 (A−E)(A+2E)−2E=0(A - E)(A + 2E) - 2E = 0(A−E)(A+2E)−2E=0 (A−E)(A+2E)=2E(A - E)(A + 2E) = 2E(A−E)(A+2E)=2E (A−E)−1=A+2E2=A2+E(A - E)^{-1} = \frac{A + 2E}{2} = \frac{A}{2} + E(A−E)−1=2A+2E=2A+E
【小结】已知某矩阵方程求某个矩阵的逆矩阵，用因式分解法。
A∗=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann)=(−a11−a21⋯−an1−a12−a22⋯−an2⋮⋮⋮−a1n−an2⋯−ann)=−ATA^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{21} & \cdots & -a_{n1} \\ -a_{12} & -a_{22} & \cdots & -a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{1n} & -a_{n2} & \cdots & -a_{nn} \end{pmatrix} = -A^TA∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann = −a11−a12⋮−a1n−a21−a22⋮−an2⋯⋯⋯−an1−an2⋮−ann =−AT ∣−AT∣=(−1)3∣AT∣=−∣A∣, ∣A∗∣=∣A∣2, ∣A∣2=−∣A∣|-A^T| = (-1)^3 |A^T| = -|A|,\ |A^*| = |A|^{2},\ |A|^{2} = -|A|∣−AT∣=(−1)3∣AT∣=−∣A∣, ∣A∗∣=∣A∣2, ∣A∣2=−∣A∣ ∣A∣(∣A∣+1)=0|A|(|A| + 1) = 0∣A∣(∣A∣+1)=0 A≠0,不妨设第一个行不为0.按第一行展开A \neq 0, 不妨设第一个行不为0. 按第一行展开A=0,不妨设第一个行不为0.按第一行展开 ∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=−a112−a122−a132≠0|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} = -a_{11}^2 - a_{12}^2 - a_{13}^2 \neq 0∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=−a112−a122−a132=0 故∣A∣=−1故|A| = -1故∣A∣=−1
【总结公式】
若Aij=aij,A≠0,n>2,则有.若A_{ij}=a_{ij}, A \neq 0,n>2, 则有.若Aij=aij,A=0,n>2,则有. ① A∗=AT② ∣A∣>0③ ∣A∣=∣A∣n−1④ ∣A∣=1①\ A^* = A^T \quad ②\ |A| > 0 \quad ③\ |A| = |A|^{n-1} \quad ④\ |A| = 1① A∗=AT② ∣A∣>0③ ∣A∣=∣A∣n−1④ ∣A∣=1 ⑤ A为正交矩阵.⑤\ A为正交矩阵.⑤ A为正交矩阵.
证:A≠0,不妨设A的第一行不等于0,证: A \neq 0, 不妨设A的第一行不等于0,证:A=0,不妨设A的第一行不等于0, ∣A∣=a11A11+a12A12+⋯+a1nA1n|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + \cdots + a_{1n}A_{1n}∣A∣=a11A11+a12A12+⋯+a1nA1n =a112+a122+⋯+a1n2>0= a_{11}^2 + a_{12}^2 + \cdots + a_{1n}^2 > 0=a112+a122+⋯+a1n2>0 ∣A∗∣=∣A∣n−1, ∣A∗∣=∣AT∣=∣A∣.故∣A∣=∣A∣n−1|A^*| = |A|^{n-1},\ |A^*| = |A^T| = |A|. 故|A| = |A|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1, ∣A∗∣=∣AT∣=∣A∣.故∣A∣=∣A∣n−1 因为∣A∣>0, ∣A∣n−2=1, ∣A∣=1因为|A| > 0,\ |A|^{n-2} = 1,\ |A| = 1因为∣A∣>0, ∣A∣n−2=1, ∣A∣=1
AA∗=∣A∣E=E, AAT=E, 故A为正交矩阵.AA^* = |A|E = E,\ AA^T = E,\ 故A为正交矩阵.AA∗=∣A∣E=E, AAT=E, 故A为正交矩阵.
【小结】1.已知aij与Aij的关系求∣A∣，首先考虑用伴随矩阵的性质。【小结】1.已知a_{ij}与A_{ij}的关系求|A|，首先考虑用伴随矩阵的性质。【小结】1.已知aij与Aij的关系求∣A∣，首先考虑用伴随矩阵的性质。 2.本题的结论可以推广：若aij=Aij（A∗=AT），则有2.本题的结论可以推广：若a_{ij}=A_{ij}（A^*=A^T），则有2.本题的结论可以推广：若aij=Aij（A∗=AT），则有 ① ∣A∣=∑j=1naij2=∑i=1naij2；①\ |A| = \sum_{j=1}^n a_{ij}^2 = \sum_{i=1}^n a_{ij}^2；① ∣A∣=j=1∑naij2=i=1∑naij2； ② ∣A∣=∣A∣n−1，如果A≠0，则有∣A∣>0，且当n>2时，∣A∣=1（此时A为正交矩阵）。②\ |A| = |A|^{n-1}，如果A \neq 0，则有|A| > 0，且当n > 2时，|A| = 1（此时A为正交矩阵）。② ∣A∣=∣A∣n−1，如果A=0，则有∣A∣>0，且当n>2时，∣A∣=1（此时A为正交矩阵）。
不推荐:不推荐:不推荐: 思路1:A−1→A→A∗→(A∗)−1,思路2:(A∗)−1=(A−1)∗思路1: A^{-1} \to A \to A^* \to (A^*)^{-1}, 思路2: (A^*)^{-1} = (A^{-1})^*思路1:A−1→A→A∗→(A∗)−1,思路2:(A∗)−1=(A−1)∗ AA∗=∣A∣E ⟹ (A∗)−1=A∣A∣AA^* = |A|E \implies (A^*)^{-1} = \frac{A}{|A|}AA∗=∣A∣E⟹(A∗)−1=∣A∣A 推荐解:推荐 \qquad 解:推荐解: (111∣100121∣010113∣001)→(111∣100010∣−110002∣−101)→(100∣52−1−12010∣−110001∣−12012)\begin{pmatrix} 1&1&1&| &1&0&0 \\ 1&2&1&| &0&1&0 \\ 1&1&3&| &0&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&1&1&| &1&0&0 \\ 0&1&0&| &-1&1&0 \\ 0&0&2&| &-1&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&0&| &\frac{5}{2}&-1&-\frac{1}{2} \\ 0&1&0&| &-1&1&0 \\ 0&0&1&| &-\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} 111121113∣∣∣100010001 → 100110102∣∣∣1−1−1010001 → 100010001∣∣∣25−1−21−110−21021 ∣A−1∣=∣111121113∣=∣111010002∣=2, ∣A∣=12|A^{-1}| = \begin{vmatrix} 1&1&1 \\ 1&2&1 \\ 1&1&3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 2,\ |A| = \frac{1}{2}∣A−1∣= 111121113 = 100110102 =2, ∣A∣=21 (A∗)−1=(5−2−1−220−101)(A^*)^{-1} = \begin{pmatrix} {5}&-2&-1 \\ -{2}&2&0 \\ -1&0&1 \end{pmatrix}(A∗)−1= 5−2−1−220−101
解:法1:特殊值法.令n=2,(A∗)∗=A,排除ABD,选C.解: 法1: 特殊值法. 令n=2, (A^*)^*=A, 排除ABD, 选C.解:法1:特殊值法.令n=2,(A∗)∗=A,排除ABD,选C. 法2:(A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1⋅A∣A∣=∣A∣n−2A,选C.法2: (A^*)^* = |A^*|(A^*)^{-1} = |A|^{n-1} \cdot \frac{A}{|A|} = |A|^{n-2}A, 选C.法2:(A∗)∗=∣A∗∣(A∗)−1=∣A∣n−1⋅∣A∣A=∣A∣n−2A,选C.
【小结】求伴随矩阵有两种情况：【小结】求伴随矩阵有两种情况：【小结】求伴随矩阵有两种情况： 第一、A可逆，则计算或是讨论A∗的基本思路是用公式A∗=∣A∣A−1,第一、A可逆，则计算或是讨论A^*的基本思路是用公式A^* = |A|A^{-1},第一、A可逆，则计算或是讨论A∗的基本思路是用公式A∗=∣A∣A−1, 第二、如果矩阵不可逆或是否可逆未知，处理或计算其伴随矩阵的基本思路是用定义或是用公式AA∗=A∗A=∣A∣E。第二、如果矩阵不可逆或是否可逆未知，处理或计算其伴随矩阵的基本思路是用定义或是用公式AA^* = A^*A = |A|E。第二、如果矩阵不可逆或是否可逆未知，处理或计算其伴随矩阵的基本思路是用定义或是用公式AA∗=A∗A=∣A∣E。
解:法1:特殊值.A=(20011012032)解: 法1: 特殊值. A = \begin{pmatrix} 2&0&0 \\ 1&1&0 \\ \frac{1}{2}&0&\frac{3}{2} \end{pmatrix}解:法1:特殊值.A= 21210100023 A11=(−1)1+1∣10032∣=32A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1&0 \\ 0&\frac{3}{2} \end{vmatrix} = \frac{3}{2}A11=(−1)1+1 10023 =23 A21=0, A31=0A_{21} = 0,\ A_{31} = 0A21=0, A31=0
法2:A的属于特征值2的特征向量为(1,1,1)T法2: A的属于特征值2的特征向量为(1,1,1)^T法2:A的属于特征值2的特征向量为(1,1,1)T A∗的属于特征值32的特征向量为(1,1,1)TA^*的属于特征值\frac{3}{2}的特征向量为(1,1,1)^TA∗的属于特征值23的特征向量为(1,1,1)T A∗的每行元素之和为32.A^*的每行元素之和为\frac{3}{2}.A∗的每行元素之和为23. A11+A21+A31=32.A_{11} + A_{21} + A_{31} = \frac{3}{2}.A11+A21+A31=23.
解:(A−2E)B=A解: \quad (A-2E)B = A解:(A−2E)B=A 法1:∣A−2E∣=∣2231−10−121∣=∣4230−10121∣=−1≠0, A−2E可逆, B=(A−2E)−1A法1: |A-2E| = \begin{vmatrix} 2&2&3 \\ 1&-1&0 \\ -1&2&1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4&2&3 \\ 0&-1&0 \\ 1&2&1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0, \ A-2E可逆, \ B = (A-2E)^{-1}A法1:∣A−2E∣= 21−12−12301 = 4012−12301 =−1=0, A−2E可逆, B=(A−2E)−1A 法2:(A−2E∣A)→初等行变换(E∣B)法2: (A-2E \mid A) \stackrel{初等行变换}{\to} (E \mid B)法2:(A−2E∣A)→初等行变换(E∣B)
小结：
小结:三种矩阵方程A,B可逆小结: 三种矩阵方程 A,B可逆小结:三种矩阵方程A,B可逆 ① AX=B法1:X=A−1B,法2: (A∣B)→(E∣X)①\ AX=B \qquad 法1: X=A^{-1}B, \qquad法2:\ (A \mid B) \to (E \mid X)① AX=B法1:X=A−1B,法2: (A∣B)→(E∣X) ② XA=B法1:X=BA−1,法2: (AT∣BT)→(E∣XT)②\ XA=B \qquad 法1: X=BA^{-1}, \qquad法2:\ (A^T \mid B^T) \to (E \mid X^T)② XA=B法1:X=BA−1,法2: (AT∣BT)→(E∣XT)(XA)T=BT, ATXT=BT(XA)^T = B^T ,\qquad\ A^T X^T = B^T(XA)T=BT, ATXT=BT③ AXB=C, X=A−1CB−1③\ AXB=C, \ X=A^{-1}CB^{-1}③ AXB=C, X=A−1CB−1 因式分解6个字.从左看,从右看.因式分解6个字. \\ 从左看,从右看.因式分解6个字.从左看,从右看.
解:AXA+BXB−AXB−BXA=E解: AXA + BXB - AXB - BXA = E解:AXA+BXB−AXB−BXA=E AX(A−B)−BX(A−B)=EAX(A-B) - BX(A-B) = EAX(A−B)−BX(A−B)=E (A−B)X(A−B)=E①(A-B)X(A-B) = E \quad ①(A−B)X(A−B)=E① X=(A−B)−1⋅(A−B)−1=[(A−B)−1]2=[(A−B)2]−1②X = (A-B)^{-1} \cdot (A-B)^{-1} = [(A-B)^{-1}]^2 = [(A-B)^{2}]^{-1} \quad ②X=(A−B)−1⋅(A−B)−1=[(A−B)−1]2=[(A−B)2]−1② A−B=(1−1−101−1001)A-B = \begin{pmatrix} 1&-1&-1 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}A−B= 100−110−1−11 法1:推荐法1: 推荐法1:推荐 (1−1−1∣10001−1∣010001∣001)→(1−10∣112010∣011001∣001)\begin{pmatrix} 1&-1&-1&|&1&0&0 \\ 0&1&-1&|&0&1&0 \\ 0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&-1&0&|&1&1&2 \\ 0&1&0&|&0&1&1 \\ 0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} 100−110−1−11∣∣∣100010001 → 100−110001∣∣∣100110211 X=(112011001)(112011001)=(125012001)X = \begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&5 \\ 0&1&2 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}X= 100110211 100110211 = 100210521 法2:法2:法2: (A−B)2=(1−1−101−1001)(1−1−101−1001)=(1−2−101−2001)(A-B)^2 = \begin{pmatrix} 1&-1&-1 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-1&-1 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&-2&-1 \\ 0&1&-2 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}(A−B)2= 100−110−1−11 100−110−1−11 = 100−210−1−21 (1−2−1∣10001−2∣010001∣001)→(1−20∣125010∣012001∣001)\begin{pmatrix} 1&-2&-1&|&1&0&0 \\ 0&1&-2&|&0&1&0 \\ 0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&-2&0&|&1&2&5 \\ 0&1&0&|&0&1&2 \\ 0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} 100−210−1−21∣∣∣100010001 → 100−210001∣∣∣100210521
解:(1) A2=(E−ξξT)(E−ξξT)=E−2ξξT+ξξTξ‾ξT解:(1)\ A^2 = (E - \xi\xi^T)(E - \xi\xi^T) = E - 2\xi\xi^T + \xi\underline{\xi^T\xi}\xi^T解:(1) A2=(E−ξξT)(E−ξξT)=E−2ξξT+ξξTξξT =E+(ξTξ−2)ξξT=A的充要条件为ξTξ=1= E + (\xi^T\xi - 2)\xi\xi^T = A\quad的充要条件为\quad\xi^T\xi = 1=E+(ξTξ−2)ξξT=A的充要条件为ξTξ=1 (2)法1:假设A可逆.A2=A, A−1A⋅A=A−1A, A=E ⟹ E−ξξT=E(2)法1: 假设A可逆. A^2 = A, \ A^{-1}A \cdot A = A^{-1}A, \ A = E \implies E - \xi\xi^T = E(2)法1:假设A可逆.A2=A, A−1A⋅A=A−1A, A=E⟹E−ξξT=E ⟹ −ξξT=0,而ξ为n维非零列向量,矛盾.故A不可逆.\implies -\xi\xi^T = 0, 而\xi为n维非零列向量, 矛盾. 故A不可逆.⟹−ξξT=0,而ξ为n维非零列向量,矛盾.故A不可逆. 法2:用特征值.ξξT的特征值0(n−1重),tr(ξξT)=ξTξ=1法2: 用特征值. \xi\xi^T的特征值0(n-1重), tr(\xi\xi^T) = \xi^T\xi = 1法2:用特征值.ξξT的特征值0(n−1重),tr(ξξT)=ξTξ=1 A的特征值为1(n−1重),0, ∣A∣=0,A不可逆.A的特征值为1(n-1重), 0, \ |A| = 0, A不可逆.A的特征值为1(n−1重),0, ∣A∣=0,A不可逆.
小结
【小结】1.假设n阶矩阵A的秩为1，则有【小结】1.假设n阶矩阵A的秩为1，则有【小结】1.假设n阶矩阵A的秩为1，则有 (1)存在n维列向量α,β，使得A=αβT；(1)存在n维列向量\alpha,\beta，使得A = \alpha\beta^T；(1)存在n维列向量α,β，使得A=αβT； (2)对于上述α,β，有αTβ=βTα=tr(A)；(2)对于上述\alpha,\beta，有\alpha^T\beta = \beta^T\alpha = tr(A)；(2)对于上述α,β，有αTβ=βTα=tr(A)； (3)An=[tr(A)]n−1A；(3)A^n = \left[tr(A)\right]^{n-1}A；(3)An=[tr(A)]n−1A； (4)A的特征值为0(n−1重)，tr(A)。(4)A的特征值为0(n-1重)，tr(A)。(4)A的特征值为0(n−1重)，tr(A)。αβT的特征值为0(n−1重)，βTα。\alpha\beta^T的特征值为0(n-1重)，\beta^T\alpha。αβT的特征值为0(n−1重)，βTα。(5) 0的特征向量只看A的第一行 tr(A)的特征向量为A的第一列(5)\ 0的特征向量只看A的第一行 \qquad\ tr(A)的特征向量为A的第一列(5) 0的特征向量只看A的第一行 tr(A)的特征向量为A的第一列
2.矩阵可逆的充要条件，假设A为n阶矩阵，则有2.矩阵可逆的充要条件，假设A为n阶矩阵，则有2.矩阵可逆的充要条件，假设A为n阶矩阵，则有 A可逆⇔∣A∣≠0A可逆 \Leftrightarrow |A| \neq 0A可逆⇔∣A∣=0 ⇔r(A)=n\Leftrightarrow r(A) = n⇔r(A)=n ⇔齐次线性方程组Ax=0仅有零解\Leftrightarrow 齐次线性方程组Ax = 0仅有零解⇔齐次线性方程组Ax=0仅有零解 ⇔非齐次线性方程组Ax=b有唯一解\Leftrightarrow 非齐次线性方程组Ax = b有唯一解⇔非齐次线性方程组Ax=b有唯一解 ⇔A的特征值中不含零\Leftrightarrow A的特征值中不含零⇔A的特征值中不含零
拓：
已知r(A)=1,证明:tr(A)=1时,有(A−E)3=A−E已知r(A)=1, 证明: tr(A)=1时, 有(A-E)^3 = A-E已知r(A)=1,证明:tr(A)=1时,有(A−E)3=A−E 解:(A−E)3=A3−3A2+3A−E解: (A-E)^3 = A^3 - 3A^2 + 3A - E解:(A−E)3=A3−3A2+3A−E =[tr(A)]2A−3tr(A)⋅A+3A−E= \left[tr(A)\right]^2 A - 3tr(A) \cdot A + 3A - E=[tr(A)]2A−3tr(A)⋅A+3A−E =A−3A+3A−E=A−E.= A - 3A + 3A - E = A - E.=A−3A+3A−E=A−E.
选D
【小结】初等变换会改变行列式的值，但是不会改变行列式的零性。【小结】初等变换会改变行列式的值，但是不会改变行列式的零性。【小结】初等变换会改变行列式的值，但是不会改变行列式的零性。
求A.求A.求A. 法1:(100001010)A(100−110001)=(−21−11−10−100),法1: \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ -1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2&1&-1 \\ 1&-1&0 \\ -1&0&0 \end{pmatrix},法1: 100001010 A 1−10010001 = −21−11−10−100 , A=(100001010)−1(−21−11−10−100)(100−110001)−1A = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} -2&1&-1 \\ 1&-1&0 \\ -1&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ -1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}^{-1}A= 100001010 −1 −21−11−10−100 1−10010001 −1 法2:A=(100001010)(−21−11−10−100)(100110001)=(−11−1−1000−10)法2: A = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2&1&-1 \\ 1&-1&0 \\ -1&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ -1&0&0 \\ 0&-1&0 \end{pmatrix}法2:A= 100001010 −21−11−10−100 110010001 = −1−1010−1−100
已知A=(−11−1−1000−10),求tr(A−1) 已知A = \begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ -1&0&0 \\ 0&-1&0 \end{pmatrix}, 求tr(A^{-1})已知A= −1−1010−1−100 ,求tr(A−1) 法1:法1:法1: (−11−1∣100−100∣0100−10∣001)→(100∣0−10010∣00−1−11−1∣100)→(100∣0−10010∣00−1001∣−11−1)\begin{pmatrix} -1&1&-1&|&1&0&0 \\ -1&0&0&|&0&1&0 \\ 0&-1&0&|&0&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&0&|&0&-1&0 \\ 0&1&0&|&0&0&-1 \\ -1&1&-1&|&1&0&0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&0&0&|&0&-1&0 \\ 0&1&0&|&0&0&-1 \\ 0&0&1&|&-1&1&-1 \end{pmatrix} −1−1010−1−100∣∣∣100010001 → 10−101100−1∣∣∣001−1000−10 → 100010001∣∣∣00−1−1010−1−1 tr(A−1)=0+0+(−1)=−1tr(A^{-1}) = 0 + 0 + (-1) = -1tr(A−1)=0+0+(−1)=−1 法2:用伴随矩阵.设B=A−1,∣A∣=∣−11−1−1000−10∣=−1,法2: 用伴随矩阵. 设B = A^{-1}, |A| = \begin{vmatrix} -1&1&-1 \\ -1&0&0 \\ 0&-1&0 \end{vmatrix} = -1,法2:用伴随矩阵.设B=A−1,∣A∣= −1−1010−1−100 =−1, A−1=A∗∣A∣=−A∗A^{-1} = \frac{A^*}{|A|} = -A^*A−1=∣A∣A∗=−A∗ tr(B)=tr(−A∗)=−A11−A22−A33=0+0−1=−1tr(B) = tr(-A^*) = -A_{11} - A_{22} - A_{33} = 0 + 0 - 1 = -1tr(B)=tr(−A∗)=−A11−A22−A33=0+0−1=−1 法3:用特征值.法3: 用特征值.法3:用特征值. ∣A−λE∣=∣−1−λ1−1−1−λ00−1−λ∣=∣−1−λ1−1−1−λ0−1−λ0−1+λ∣|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -1-\lambda&1&-1 \\ -1&-\lambda&0 \\ 0&-1&-\lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1-\lambda&1&-1 \\ -1&-\lambda&0 \\ -1-\lambda&0&-1+\lambda \end{vmatrix} ∣A−λE∣= −1−λ−101−λ−1−10−λ = −1−λ−1−1−λ1−λ0−10−1+λ =∣−λ1−1−1−λ000−1+λ∣=(−1−λ)(λ2+1)=0,特征值−1,i,−i= \begin{vmatrix} -\lambda&1&-1 \\ -1&-\lambda&0 \\ 0&0&-1+\lambda \end{vmatrix} = (-1-\lambda)(\lambda^2 + 1)=0, 特征值-1, i, -i= −λ−101−λ0−10−1+λ =(−1−λ)(λ2+1)=0,特征值−1,i,−i A−1的特征值−1,1i,1−i,tr(A−1)=−1+1i+1−i=−1A^{-1}的特征值-1, \frac{1}{i}, \frac{1}{-i}, tr(A^{-1}) = -1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{-i} = -1A−1的特征值−1,i1,−i1,tr(A−1)=−1+i1+−i1=−1
改：
改:A=(29131103103725),求tr(A−1)改: A = \begin{pmatrix} 29&1&311 \\ 0&31&0 \\ 3&7&25 \end{pmatrix}, 求tr(A^{-1})改:A= 29031317311025 ,求tr(A−1) 解:∣A∣=31⋅(29×25−933)=α解: |A| = 31 \cdot (29 \times 25 - 933) = \alpha解:∣A∣=31⋅(29×25−933)=α A−1=1αA∗A^{-1} = \frac{1}{\alpha}A^*A−1=α1A∗ tr(A−1)=tr(1αA∗)=1α(A11+A22+A33)tr(A^{-1}) = tr\left(\frac{1}{\alpha}A^*\right) = \frac{1}{\alpha}(A_{11} + A_{22} + A_{33})tr(A−1)=tr(α1A∗)=α1(A11+A22+A33) =1α∣310725∣+1α∣29311325∣+1α∣291031∣= \frac{1}{\alpha}\begin{vmatrix} 31&0 \\ 7&25 \end{vmatrix} + \frac{1}{\alpha}\begin{vmatrix} 29&311 \\ 3&25 \end{vmatrix} + \frac{1}{\alpha}\begin{vmatrix} 29&1 \\ 0&31 \end{vmatrix}=α1 317025 +α1 29331125 +α1 290131 改:A=(2913110310315725),求tr(A−1)改: A = \begin{pmatrix} 29&1&311 \\ 0&31&0 \\ 315&7&25 \end{pmatrix}, 求tr(A^{-1})改:A= 2903151317311025 ,求tr(A−1) 解:用特征值:解: 用特征值:解:用特征值: (2931131525)(11)=340(11)\begin{pmatrix} 29&311 \\ 315&25 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 340\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}(2931531125)(11)=340(11) 用快速计算特征值方法得出A的特征值为31,340,−286用快速计算特征值方法得出A的特征值为31, 340, -286用快速计算特征值方法得出A的特征值为31,340,−286 A−1的特征值为131,1340,1−286A^{-1}的特征值为\frac{1}{31}, \frac{1}{340}, \frac{1}{-286}A−1的特征值为311,3401,−2861 tr(A−1)=131+1340−1286=?tr(A^{-1}) = \frac{1}{31} + \frac{1}{340} - \frac{1}{286} =?tr(A−1)=311+3401−2861=?
法1:Q=P(100001001),Q−1AQ=(100110001)−1P−1AP(100110001)法1: Q = P\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}, Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}^{-1}P^{-1}AP\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}法1:Q=P 100000011 ,Q−1AQ= 110010001 −1P−1AP 110010001 =(100−110001)(100010002)(100111001)=(100010002)= \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ -1&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}= 1−10010001 100010002 110010011 = 100010002 法2:AP=P(100010002),A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)(100010002)=(α1,α2,2α3)法2: AP = P\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}, A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix} = (\alpha_1,\alpha_2,2\alpha_3)法2:AP=P 100010002 ,A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3) 100010002 =(α1,α2,2α3) {Aα1=α1Aα2=α2Aα3=2α3\begin{cases} A\alpha_1 = \alpha_1 \\ A\alpha_2 = \alpha_2 \\ A\alpha_3 = 2\alpha_3 \end{cases}⎩ ⎨ ⎧Aα1=α1Aα2=α2Aα3=2α3 α1+α2,α2为A的特征值1的两个线性无关的特征向量.\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2为A的特征值1的两个线性无关的特征向量.α1+α2,α2为A的特征值1的两个线性无关的特征向量. α3为A的特征值2的特征向量.\alpha_3为A的特征值2的特征向量.α3为A的特征值2的特征向量. Q−1AQ=(100110002)Q^{-1}AQ = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}Q−1AQ= 110010002 小结:若Q的列向量仍为A的特征向量,能用发2,若不是,只能用法1小结: 若Q的列向量仍为A的特征向量, 能用发2, 若不是, 只能用法1小结:若Q的列向量仍为A的特征向量,能用发2,若不是,只能用法1